传递路径分析中计算子系统频响函数的方法
廖旭晖 李舜酩 孟浩东
摘要： 传递路径分析是在振动噪声控制领域被广泛应用的一种有效方法。传递路径分析中将振动系统分成主动部分、被动部分以及连接主、被动部分的若干传递路径。在传递路径分析中需要对被动部分的频响函数进行测量。传统的传递路径分析需要先拆除子结构然后再测量频响函数，测试过程十分繁琐。提出了一种全新的方法来计算子系统的频响函数，直接由整个系统的频响函数矩阵推导得到子系统的频响函数矩阵的计算公式。该方法不需要对子系统进行物理解耦，大大缩短了测量子系统频响函数所需要的时间。数值算例和实验均验证了该方法的正确性和有效性。
关键词： 子系统； 传递路径分析； 频响函数； 解耦
中图分类号： O321； TB123文献标志码：A文章编号1004-4523（2018）04-0681-07
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.016
引言
传递路径分析（Transfer Path Analysis， TPA）在车辆的NVH（Noise， Vibration & Harshness）研究、船舶的减振降噪、隔振系统设计等振动噪声控制领域应用十分广泛，是一种对系统进行减振降噪十分有效的工程手段。TPA的一个关键步骤是测量子系统的频响函数。在传统的TPA中，需要先将子结构之间的连接拆除然后再对子结构的频响函数进行测量。在实际应用中将子系统物理解耦需要耗费较长的时间，并且物理解耦后子系统的边界条件通常会发生改变，因此使得传递路径分析方法的应用受到了较大的限制。为了提高传递路径分析方法的应用效率，研究者们提出了许多改进的方法，如工况传递路径分析[1-2]、基于直接传递率的方法[3-4]、基于组件的传递路径分析[5-6]等。这些方法都规避了对子系统频响函数的直接测量，虽然提高了测试效率，但是由于并不能将响应严格地表示成频响函数和工况力相乘的形式，因此从本质上来说，这些方法都已经和传统的传递路径分析相背离了[7]。传统的传递路径分析由于有着明确的物理意义和准确的数学表达，因此仍然被广泛应用于工程实践或者用来作为其他改进方法的参照标准。
相对而言，由于不需要解耦，所以获取整个系统的频响函数更加方便。从哲学上来说，整体大于部分之和，因此，子系统的动力学特性一定是被包含在整个系统的动力学特性之中的。如何从作为整体信息的系统频响函数矩阵中“提取出”反应局部信息的子系统频响函数矩阵是非常有意义的一项课题。
之前的研究者们已经做过很多这方面的尝试，并且取得了许多的研究成果，其中研究较多的是从动态子结构[8-9]的角度来获取子系统的频响函数。Okubo和Miyazaki[10-11]首先提出了根据整个系统和已知子系统动力学特性来获取未知子系统动力学特性的方法。Gontier和Bensaibi[12]提出了一种时域的方法来对子系统进行解耦。Silva等[13-14]研究了子系统之间具有不同连接特性时的解耦方法以及识别连接特性的方法。Kalling等[15]采用状态空间模型识别方法来研究子系统解耦的问题。近年来，一种新的基于逆子结构方法的解耦技术得到了重视，即将子系统看成是整个系统和一个虚拟系统相耦合而成[16]，从而实现解耦。上述这些解耦方法都假设子系统之间的连接是刚性的。另外，这些子系统解耦方法大多需要已知整个系统以及剩余部分子系统的动力学特性，才能实现对未知子系统的解耦。
Keersmaekers[17]则另辟蹊径，提出了所谓的连接保留解耦（Link-Preserving Decoupling， LPD）方法，首先列出整个系统的动刚度矩阵，根据耦合连接处耦合刚度对于两个子系统完全相同的特性，通过复杂的数学推导，得出了子系统频响函数矩阵的公式。该方法不需要对耦合系统进行物理解耦，也无需知道相耦合的另一子系统的动力学特性，根据系统的频响函数矩阵即可得到解耦子系统的频响函数矩阵。
值得注意的是，LPD方法与本文所得出的结论有相似之处，但是该方法并未将内部自由度（非耦合处的自由度）考虑进来，而传递路径分析中，所感兴趣的响应点通常是子系统的内部自由度，因此，该方法有一定的局限性。
本文首先给出传统的TPA模型，在线性假设和弹性假设的基础上，可以将路径简化成线性弹簧和阻尼的组合。然后通过系统的频响函数推导出解耦子系统的频响函数。最后，通过数值算例和实验验证本文所提出方法的正确性。
1TPA基本理论及耦合系统模型
TPA理论将振动系统分成主动部分A、传递路径和被动部分B。激励力作用在主动部分上，通过若干条传递路徑将振动传递到被动部分上。典型的TPA模型如图1所示。
被动部分上的目标点的振动响应可以看成是所有路径对该点响应的贡献之和。TPA的基本公式可以表示成yi=∑jHijFj（1）式中yi表示目标点i的响应，Fj表示第j条传递路径上传递的力，Hij表示力Fj到响应yi的频响函数。从式（1）中可以发现运用传递路径分析方法必须测量被动部分的频响函数。为了简化分析，对图1所示系统作如下假设：（1）系统为线性的；（2）连接子系统A和B的路径具有足够大的弹性，确保路径传递力时有充分的变形量；（3）子系统A和B之间相互耦合的自由度是一一对应的，即子系统之间不存在多个自由度对一个自由度的耦合。
假设（1）保证了可以通过频响函数矩阵来描述系统，本文的结论是在线性假设的前提下得到的。在许多情况下，系统可以做近似线性假设。假设（2）保证了对频响函数矩阵进行求逆运算时，不会出现奇异性。假设（3）使得模型更加简化，便于分析，且该假设在大多数情况下是能够满足的。通过上述几点假设，可以将各传递路径简化成线性弹簧和阻尼的组合。上述的传递路径模型实际上就是两个子系统通过线性弹簧和阻尼相互耦合起来的振动系统。
2子系统频响函数矩阵计算方法
假设在向量XAC和XBC中各自自由度排列顺序是一致的，即XAC的第n个元素和XBC中第n个元素正好代表一对耦合自由度，XAC-XBC则表示由各条路径上的变形量所构成的一组向量。式（8）的物理意义非常清楚，就是将子系统B上的的响应表达成三部分之和。第一部分是作用于子系统B上的外力所产生的对响应的贡献，第二部分是由于连接子系统A和B的路径的变形所导致的对响应的贡献，第三部分则是由于子系统A内部自由度上的位移所导致的对响应的贡献。
该方法也适用于计算子系统A的频响函数矩阵。可以看出，公式（10）中存在矩阵求逆运算。如果子系统之间的路径不具有足够大的弹性，那么HAcAi和HBcAc以及HAcAc和HBcAc将会十分接近，这样将导致矩阵求逆时出现奇异性问题。上一节中所做出的假设（2）就是为了保证矩阵求逆时不会出现奇异性问题。公式（10）给出了一般情况下计算子系统频响函数的计算公式，在该公式中包括了所有自由度的信息。实际上，对于计算子系统频响函数，所有的耦合自由度信息的确是必不可少的，而内部自由度信息则并不是必须知道的。如果不考虑某个子系统的内部自由度，则将式（10）中与该内部自由度有关的部分用空矩阵替代即可。比如，如果子系统A和B上的内部自由度均不考虑，即XAi和XBi均为空向量。这种情况下，式（10）中所有下角标中含有i的项将消失。式（10）将退化成HB=HBB-HBA（HAA-HBA）-1HAB-HBB（11）这与文献[17]中的结论完全一致，说明文献[17]的结论是本文结论的一个特例，即在不考虑任何内部自由度的情况下所得出的结论。而在实际情况下，通常是要考虑内部自由度的。比如，对由发动机传递至车身某处的振动进行传递路径分析，作者所感兴趣的这个响应点就是一个内部自由度。因此，本文所提出的方法更具有普适性。
3数值算例
为验证上一节所提出的方法的正确性，建立如图2所示的8自由度振动系统模型。该模型中包含两个子系统，即主动部分子系统A和被动部分子系统B。两个子系统之间通过3条由线性弹簧和阻尼组成的路径相连接。子系统A所产生的振动通过三条路径传递至子系统B上。模型参数如表1所示。
自由度类型所包含的自由度主动部分内部自由度Aim1主动部分耦合自由度Acm2， m3， m4被动部分耦合自由度Bcm5， m6， m7被动部分内部自由度Bim8
根据表2所做的自由度类型划分，可以将式 （13）所计算得到的系统频响函数矩阵表示成如式（3）的分块矩阵的形式。然后再根据所得出的分块运用式（10）进行计算，可以求出子系统B的频响函数矩阵。将该计算结果与直接计算子系统B的频响函数矩阵所得到的结果进行比较，如图3所示，发現两种方法计算结果完全一致，证明了所提出的方法的正确性。
4实验验证
为了进一步验证本文所提出方法的正确性及其在实际应用中的有效性，通过如图6（a）所示的实验进行了验证。
实验对象为由两块钢板通过4个弹簧相互连接而成的系统。下面的钢板通过4个弹簧与台面相连接。上面的钢板为子系统A，下面的钢板为子系统B。总共考虑9个自由度，分别是两块钢板与弹簧的连接处共8个点以及位于下面一块钢板上的目标响应点9（如图6（b）所示）。首先，测量整个系统的9×9的频响函数矩阵，然后根据本文所提出的方法求取下面钢板的在解耦状态下的5×5频响函数矩阵，从而实现子系统的解耦。
选取5×5频响函数矩阵中与TPA有关的四个频响函数进行分析，将其与直接测量的结果进行比较，如图7所示。
从图7中可以看出，本文方法所得出的结果与直接测量的结果比较接近，进一步证明了本文方法的正确性。测量误差主要来自于频响函数测量时传感器布置及力锤敲击时的位置偏差。
5结论
（1） 提出了一种计算子系统频响函数矩阵的新方法。该方法不需要拆除子系统，只需要知道整体的频响函数矩阵即可推导出子系统的频响函数矩阵，大大缩短了测量子系统频响函数所需要的时间。
（2） 传递路径分析中被动部分子系统的频响函数的测量，可以用本文所提出的解耦方法进行计算。
（3） 用所提出的方法计算子系统频响函数时，耦合点的信息必须是已知的，即所测量的整体系统频响函数矩阵中必须包括所有的耦合点在内。在条件允许的情况下，运用非接触式测量会获得更好的结果。
参考文献：
[1]Klerk D D， Ossipov A. Operational transfer path analysis： theory， guidelines and tire noise application[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2010， 24（7）：1950—1962.
[2]Gajdatsy P， Janssens K， Desmet W， et al. Application of the transmissibility concept in transfer path analysis[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2010， 24（7）：1963—1976.
[3]Guasch O， García C， Jové J， et al. Experimental validation of the direct transmissibility approach to classical transfer path analysis on a mechanical setup[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2013， 37（1-2）：353—369.
[4]Wang Z， Zhu P. Response prediction for modified mechanical systems based on in-situ frequency response functions： Theoretical and numerical studies[J]. Journal of Sound & Vibration， 2017， 400：417—441.
[5]Lennstrm D， Olsson M， Wullens F， et al. Validation of the blocked force method for various boundary conditions for automotive source characterization[J]. Applied Acoustics， 2016， 102：108—119.
[6]Klerk D D， Rixen D J. Component transfer path analysis method with compensation for test bench dynamics[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2010， 24（6）：1693—1710.
[7]Seijs M V V D， Klerk D D， Rixen D J. General framework for transfer path analysis： History， theory and classification of techniques[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2016， （68-69）： 217—244.
[8]Klerk D D， Rixen D J， Voormeeren S N. General framework for dynamic substructuring： history， review and classification of techniques[J]. AIAA Journal， 2012， 46（5）：1169—1181.
[9]D′Ambrogio W， Sestieri A. A unified approach to substructuring and structural modification problems[J]. Shock & Vibration， 2014， 11（3）：295—309.
[10]Okubo N， Miyazaki M. Development of uncoupling technique and its application[C]. Proceedings of 4th International Modal Analysis Conference， Florida， USA， 1984：1194—1200.
[11]Okubo N， Miyazaki M. Development of uncoupling technique to extract component′s dynamics from assembly structure[J]. Journal of the Japan Society of Precision Engineering， 1987， 53：711—716.
[12]Gontier C， Bensaibi M. Time domain identification of a substructure from in situanalysis of the whole structure[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 1995， 9（4）：379—396.
[13]Silva J M M， Maia N M M， Ribeiro P M L. Dynamic modeling： application of uncoupling techniques[C]. Proceedings of the 14th International Modal Analysis Conference， Michigan， USA， 1996：1165—1172.
[14]Maia N M M， Silva J M M， Ribeiro A M R， et al. On the dynamic characterization of joints using uncoupling techniques[C]. Proceedings of the 16th International Modal Analysis Conference， California， USA， 1998：1132—1138.
[15]Kalling P， Abrahamsson T， Mckelvey T. Subsystem state-space model identification and its sensitivity to test variability[C]. International Conference on Noise and Vibration Engineering， Leuven， Belgium， 2004： 2729—2744.
[16]D′Ambrogio W， Fregolent A. Inverse dynamic substructuring using the direct hybrid assembly in the frequency domain[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2014， 45（2）：360—377.
[17]Keersmaekers L， Mertens L， Penne R， et al. Decoupling of mechanical systems based on in-situ frequency response functions： the link-preserving， decoupling method[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2015， （58-59）： 340—354.An approach to calculate subsystems′ frequency response
Abstract： Transfer path analysis（TPA） is a widely used and effective method in the field of vibration and noise control. In TPA， vibrational systems are divided into the active part， passive part and some transfer paths through which the active and passive parts are connected. In TPA， it is necessary to measure the frequency response functions（FRFS） of the passive part. In classical TPA， the substructure needs to be disassembled firstly and then the frequency response function is measured. Therefore， the test process is very cumbersome. In this paper， a novel method is proposed to calculate the FRFs of the subsystem. The formulation of the FRF matrix of the subsystem is derived from the FRF matrix of the whole system directly. Obviously， the proposed method does not require the physical decoupling of subsystems. Consequently， the time required to measure the frequency response function of the subsystem is greatly shorten. The correctness and effectiveness of this method are validated by a numerical case and an experimental case.
Key words： subsystem； transfer path analysis； frequency response function； decoupling
摘要： 传递路径分析是在振动噪声控制领域被广泛应用的一种有效方法。传递路径分析中将振动系统分成主动部分、被动部分以及连接主、被动部分的若干传递路径。在传递路径分析中需要对被动部分的频响函数进行测量。传统的传递路径分析需要先拆除子结构然后再测量频响函数，测试过程十分繁琐。提出了一种全新的方法来计算子系统的频响函数，直接由整个系统的频响函数矩阵推导得到子系统的频响函数矩阵的计算公式。该方法不需要对子系统进行物理解耦，大大缩短了测量子系统频响函数所需要的时间。数值算例和实验均验证了该方法的正确性和有效性。
关键词： 子系统； 传递路径分析； 频响函数； 解耦
中图分类号： O321； TB123文献标志码：A文章编号1004-4523（2018）04-0681-07
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.016
引言
传递路径分析（Transfer Path Analysis， TPA）在车辆的NVH（Noise， Vibration & Harshness）研究、船舶的减振降噪、隔振系统设计等振动噪声控制领域应用十分广泛，是一种对系统进行减振降噪十分有效的工程手段。TPA的一个关键步骤是测量子系统的频响函数。在传统的TPA中，需要先将子结构之间的连接拆除然后再对子结构的频响函数进行测量。在实际应用中将子系统物理解耦需要耗费较长的时间，并且物理解耦后子系统的边界条件通常会发生改变，因此使得传递路径分析方法的应用受到了较大的限制。为了提高传递路径分析方法的应用效率，研究者们提出了许多改进的方法，如工况传递路径分析[1-2]、基于直接传递率的方法[3-4]、基于组件的传递路径分析[5-6]等。这些方法都规避了对子系统频响函数的直接测量，虽然提高了测试效率，但是由于并不能将响应严格地表示成频响函数和工况力相乘的形式，因此从本质上来说，这些方法都已经和传统的传递路径分析相背离了[7]。传统的传递路径分析由于有着明确的物理意义和准确的数学表达，因此仍然被广泛应用于工程实践或者用来作为其他改进方法的参照标准。
相对而言，由于不需要解耦，所以获取整个系统的频响函数更加方便。从哲学上来说，整体大于部分之和，因此，子系统的动力学特性一定是被包含在整个系统的动力学特性之中的。如何从作为整体信息的系统频响函数矩阵中“提取出”反应局部信息的子系统频响函数矩阵是非常有意义的一项课题。
之前的研究者们已经做过很多这方面的尝试，并且取得了许多的研究成果，其中研究较多的是从动态子结构[8-9]的角度来获取子系统的频响函数。Okubo和Miyazaki[10-11]首先提出了根据整个系统和已知子系统动力学特性来获取未知子系统动力学特性的方法。Gontier和Bensaibi[12]提出了一种时域的方法来对子系统进行解耦。Silva等[13-14]研究了子系统之间具有不同连接特性时的解耦方法以及识别连接特性的方法。Kalling等[15]采用状态空间模型识别方法来研究子系统解耦的问题。近年来，一种新的基于逆子结构方法的解耦技术得到了重视，即将子系统看成是整个系统和一个虚拟系统相耦合而成[16]，从而实现解耦。上述这些解耦方法都假设子系统之间的连接是刚性的。另外，这些子系统解耦方法大多需要已知整个系统以及剩余部分子系统的动力学特性，才能实现对未知子系统的解耦。
Keersmaekers[17]则另辟蹊径，提出了所谓的连接保留解耦（Link-Preserving Decoupling， LPD）方法，首先列出整个系统的动刚度矩阵，根据耦合连接处耦合刚度对于两个子系统完全相同的特性，通过复杂的数学推导，得出了子系统频响函数矩阵的公式。该方法不需要对耦合系统进行物理解耦，也无需知道相耦合的另一子系统的动力学特性，根据系统的频响函数矩阵即可得到解耦子系统的频响函数矩阵。
值得注意的是，LPD方法与本文所得出的结论有相似之处，但是该方法并未将内部自由度（非耦合处的自由度）考虑进来，而传递路径分析中，所感兴趣的响应点通常是子系统的内部自由度，因此，该方法有一定的局限性。
本文首先给出传统的TPA模型，在线性假设和弹性假设的基础上，可以将路径简化成线性弹簧和阻尼的组合。然后通过系统的频响函数推导出解耦子系统的频响函数。最后，通过数值算例和实验验证本文所提出方法的正确性。
1TPA基本理论及耦合系统模型
TPA理论将振动系统分成主动部分A、传递路径和被动部分B。激励力作用在主动部分上，通过若干条传递路徑将振动传递到被动部分上。典型的TPA模型如图1所示。
被动部分上的目标点的振动响应可以看成是所有路径对该点响应的贡献之和。TPA的基本公式可以表示成yi=∑jHijFj（1）式中yi表示目标点i的响应，Fj表示第j条传递路径上传递的力，Hij表示力Fj到响应yi的频响函数。从式（1）中可以发现运用传递路径分析方法必须测量被动部分的频响函数。为了简化分析，对图1所示系统作如下假设：（1）系统为线性的；（2）连接子系统A和B的路径具有足够大的弹性，确保路径传递力时有充分的变形量；（3）子系统A和B之间相互耦合的自由度是一一对应的，即子系统之间不存在多个自由度对一个自由度的耦合。
假设（1）保证了可以通过频响函数矩阵来描述系统，本文的结论是在线性假设的前提下得到的。在许多情况下，系统可以做近似线性假设。假设（2）保证了对频响函数矩阵进行求逆运算时，不会出现奇异性。假设（3）使得模型更加简化，便于分析，且该假设在大多数情况下是能够满足的。通过上述几点假设，可以将各传递路径简化成线性弹簧和阻尼的组合。上述的传递路径模型实际上就是两个子系统通过线性弹簧和阻尼相互耦合起来的振动系统。
2子系统频响函数矩阵计算方法
假设在向量XAC和XBC中各自自由度排列顺序是一致的，即XAC的第n个元素和XBC中第n个元素正好代表一对耦合自由度，XAC-XBC则表示由各条路径上的变形量所构成的一组向量。式（8）的物理意义非常清楚，就是将子系统B上的的响应表达成三部分之和。第一部分是作用于子系统B上的外力所产生的对响应的贡献，第二部分是由于连接子系统A和B的路径的变形所导致的对响应的贡献，第三部分则是由于子系统A内部自由度上的位移所导致的对响应的贡献。
该方法也适用于计算子系统A的频响函数矩阵。可以看出，公式（10）中存在矩阵求逆运算。如果子系统之间的路径不具有足够大的弹性，那么HAcAi和HBcAc以及HAcAc和HBcAc将会十分接近，这样将导致矩阵求逆时出现奇异性问题。上一节中所做出的假设（2）就是为了保证矩阵求逆时不会出现奇异性问题。公式（10）给出了一般情况下计算子系统频响函数的计算公式，在该公式中包括了所有自由度的信息。实际上，对于计算子系统频响函数，所有的耦合自由度信息的确是必不可少的，而内部自由度信息则并不是必须知道的。如果不考虑某个子系统的内部自由度，则将式（10）中与该内部自由度有关的部分用空矩阵替代即可。比如，如果子系统A和B上的内部自由度均不考虑，即XAi和XBi均为空向量。这种情况下，式（10）中所有下角标中含有i的项将消失。式（10）将退化成HB=HBB-HBA（HAA-HBA）-1HAB-HBB（11）这与文献[17]中的结论完全一致，说明文献[17]的结论是本文结论的一个特例，即在不考虑任何内部自由度的情况下所得出的结论。而在实际情况下，通常是要考虑内部自由度的。比如，对由发动机传递至车身某处的振动进行传递路径分析，作者所感兴趣的这个响应点就是一个内部自由度。因此，本文所提出的方法更具有普适性。
3数值算例
为验证上一节所提出的方法的正确性，建立如图2所示的8自由度振动系统模型。该模型中包含两个子系统，即主动部分子系统A和被动部分子系统B。两个子系统之间通过3条由线性弹簧和阻尼组成的路径相连接。子系统A所产生的振动通过三条路径传递至子系统B上。模型参数如表1所示。
自由度类型所包含的自由度主动部分内部自由度Aim1主动部分耦合自由度Acm2， m3， m4被动部分耦合自由度Bcm5， m6， m7被动部分内部自由度Bim8
根据表2所做的自由度类型划分，可以将式 （13）所计算得到的系统频响函数矩阵表示成如式（3）的分块矩阵的形式。然后再根据所得出的分块运用式（10）进行计算，可以求出子系统B的频响函数矩阵。将该计算结果与直接计算子系统B的频响函数矩阵所得到的结果进行比较，如图3所示，发現两种方法计算结果完全一致，证明了所提出的方法的正确性。
4实验验证
为了进一步验证本文所提出方法的正确性及其在实际应用中的有效性，通过如图6（a）所示的实验进行了验证。
实验对象为由两块钢板通过4个弹簧相互连接而成的系统。下面的钢板通过4个弹簧与台面相连接。上面的钢板为子系统A，下面的钢板为子系统B。总共考虑9个自由度，分别是两块钢板与弹簧的连接处共8个点以及位于下面一块钢板上的目标响应点9（如图6（b）所示）。首先，测量整个系统的9×9的频响函数矩阵，然后根据本文所提出的方法求取下面钢板的在解耦状态下的5×5频响函数矩阵，从而实现子系统的解耦。
选取5×5频响函数矩阵中与TPA有关的四个频响函数进行分析，将其与直接测量的结果进行比较，如图7所示。
从图7中可以看出，本文方法所得出的结果与直接测量的结果比较接近，进一步证明了本文方法的正确性。测量误差主要来自于频响函数测量时传感器布置及力锤敲击时的位置偏差。
5结论
（1） 提出了一种计算子系统频响函数矩阵的新方法。该方法不需要拆除子系统，只需要知道整体的频响函数矩阵即可推导出子系统的频响函数矩阵，大大缩短了测量子系统频响函数所需要的时间。
（2） 传递路径分析中被动部分子系统的频响函数的测量，可以用本文所提出的解耦方法进行计算。
（3） 用所提出的方法计算子系统频响函数时，耦合点的信息必须是已知的，即所测量的整体系统频响函数矩阵中必须包括所有的耦合点在内。在条件允许的情况下，运用非接触式测量会获得更好的结果。
参考文献：
[1]Klerk D D， Ossipov A. Operational transfer path analysis： theory， guidelines and tire noise application[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2010， 24（7）：1950—1962.
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[3]Guasch O， García C， Jové J， et al. Experimental validation of the direct transmissibility approach to classical transfer path analysis on a mechanical setup[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2013， 37（1-2）：353—369.
[4]Wang Z， Zhu P. Response prediction for modified mechanical systems based on in-situ frequency response functions： Theoretical and numerical studies[J]. Journal of Sound & Vibration， 2017， 400：417—441.
[5]Lennstrm D， Olsson M， Wullens F， et al. Validation of the blocked force method for various boundary conditions for automotive source characterization[J]. Applied Acoustics， 2016， 102：108—119.
[6]Klerk D D， Rixen D J. Component transfer path analysis method with compensation for test bench dynamics[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2010， 24（6）：1693—1710.
[7]Seijs M V V D， Klerk D D， Rixen D J. General framework for transfer path analysis： History， theory and classification of techniques[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2016， （68-69）： 217—244.
[8]Klerk D D， Rixen D J， Voormeeren S N. General framework for dynamic substructuring： history， review and classification of techniques[J]. AIAA Journal， 2012， 46（5）：1169—1181.
[9]D′Ambrogio W， Sestieri A. A unified approach to substructuring and structural modification problems[J]. Shock & Vibration， 2014， 11（3）：295—309.
[10]Okubo N， Miyazaki M. Development of uncoupling technique and its application[C]. Proceedings of 4th International Modal Analysis Conference， Florida， USA， 1984：1194—1200.
[11]Okubo N， Miyazaki M. Development of uncoupling technique to extract component′s dynamics from assembly structure[J]. Journal of the Japan Society of Precision Engineering， 1987， 53：711—716.
[12]Gontier C， Bensaibi M. Time domain identification of a substructure from in situanalysis of the whole structure[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 1995， 9（4）：379—396.
[13]Silva J M M， Maia N M M， Ribeiro P M L. Dynamic modeling： application of uncoupling techniques[C]. Proceedings of the 14th International Modal Analysis Conference， Michigan， USA， 1996：1165—1172.
[14]Maia N M M， Silva J M M， Ribeiro A M R， et al. On the dynamic characterization of joints using uncoupling techniques[C]. Proceedings of the 16th International Modal Analysis Conference， California， USA， 1998：1132—1138.
[15]Kalling P， Abrahamsson T， Mckelvey T. Subsystem state-space model identification and its sensitivity to test variability[C]. International Conference on Noise and Vibration Engineering， Leuven， Belgium， 2004： 2729—2744.
[16]D′Ambrogio W， Fregolent A. Inverse dynamic substructuring using the direct hybrid assembly in the frequency domain[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2014， 45（2）：360—377.
[17]Keersmaekers L， Mertens L， Penne R， et al. Decoupling of mechanical systems based on in-situ frequency response functions： the link-preserving， decoupling method[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2015， （58-59）： 340—354.An approach to calculate subsystems′ frequency response
Abstract： Transfer path analysis（TPA） is a widely used and effective method in the field of vibration and noise control. In TPA， vibrational systems are divided into the active part， passive part and some transfer paths through which the active and passive parts are connected. In TPA， it is necessary to measure the frequency response functions（FRFS） of the passive part. In classical TPA， the substructure needs to be disassembled firstly and then the frequency response function is measured. Therefore， the test process is very cumbersome. In this paper， a novel method is proposed to calculate the FRFs of the subsystem. The formulation of the FRF matrix of the subsystem is derived from the FRF matrix of the whole system directly. Obviously， the proposed method does not require the physical decoupling of subsystems. Consequently， the time required to measure the frequency response function of the subsystem is greatly shorten. The correctness and effectiveness of this method are validated by a numerical case and an experimental case.
Key words： subsystem； transfer path analysis； frequency response function； decoupling
