基于Jacobi—Ritz法的旋转组合结构自由振动特性分析
庞福振 李海超 霍瑞东
摘要： 提出了一种分析旋转组合壳结构自由振动特性的半解析法。首先将组合壳结构在交界面处进行分解，获得各个子结构；其次，將各个子结构在径向方向进一步分解为若干壳段，用沿旋转轴方向的Jacobi多项式和沿周向的Fourier级数来表示各个壳段的位移函数，并用不同的弹簧刚度对组合结构的边界条件和壳体内的连续性条件进行模拟；最后，基于Rayleigh-Ritz法获得组合壳结构的自由振动特性。该研究以球-柱-球组合结构为例，开展基于Jacobi-Ritz法的旋转组合结构自由振动特性分析。研究表明：该方法具有较好的收敛性，与有限元及区域能量分解法等相比有较高的一致性，研究成果可为复杂边界条件下球-柱-球组合结构自由振动特性分析提供数据积累和方法依据。
关键词： 自由振动； 旋转组合结构； Jacobi-Ritz法； 复杂边界条件
中图分类号： O327； TB123 文献标志码：A 文章编号1004-4523（2018）05-0827-10
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.05.012
引 言
由球壳、圆柱壳、双曲率壳等组成的旋转壳在航空航天、船舶、民用机械等各个领域应用广泛。开展旋转组合结构自由振动特性分析研究，获取旋转组合结构复杂边界条件下典型特征频率，对指导相应的工程应用具有重要的意义。在此研究方面，Hu等[1]提出一种分段整合法来分析圆锥-圆柱组合壳的自由振动特性；Irie等[2]使用传递矩阵法研究了锥壳-环形板状圆柱壳组合结构的自由振动特性；靳国永等[3-4]基于改进傅里叶级数法，研究了弹性约束条件下复合双曲率旋转壳的振动特性。邹明松等[5]基于经典弹性板壳理论，通过解析方法求解了两端圆板封闭的圆柱壳自由振动。王大钧等[6]用模态综合法计算了任意形状曲线旋转壳的固有振动特性。瞿叶高等[7]提出了一种区域分解法，研究了由锥壳、圆柱壳、球壳和环形加强筋组成的各种组合壳结构的振动特性。
由上述分析可知，一方面现有文献对复杂边界条件下旋转组合结构自由振动特性研究较少；另一方面，现有研究方法在位移函数选取等方面主要基于特殊的多项式（如切夫雪比多项式等），尚未形成统一的形式。为此，本文基于Jacobi-Ritz法，开展旋转组合结构自由振动特性分析，旨在提出统一的求解公式，为复杂边界条件旋转组合结构自由振动特性分析提供数据积累和方法依据。
1 理论方法
1.1 组合壳结构几何模型 旋转壳结构是由圆弧绕中心轴旋转而成，其几何结构如图1所示。
如图1所示，厚度为h的旋转壳由母线s0s1绕轴线Oζ旋转而成。L为旋转壳结构总长，φ为径向角度，θ为周向角度，Rφ为径向曲率半径，Rθ为周向曲率半径，R为水平半径，且R=Rθsinφ。旋转组合剖面结构如图2所示。
假定每个旋转壳都由均质和各向同性的材料组成，且组合壳子结构厚度均相同。左右旋转壳由球坐标系Ol，r-φl，r，θl，r，zl，r描述，其中φ为径向坐标，θ为圆周坐标；中间圆柱壳用柱坐标系Oc-x，θc，zc描述，其半径为Rc，长度为Lc，下标l，r和c分别代表左壳、右壳和圆柱壳。各个壳组的位移分量分别表示为uξ， vξ， uξ （ξ=l，c，r）。组合结构沿径向方向在交界面处划分为几个典型子结构，再在此基础上，将子结构沿径向方向进一步分解为Nl，Nc，Nr个壳段，Ni表示线弹簧间第i个分段数。
由表2可知，随着子结构划分壳段数的不断增加，旋转组合结构无量纲频率参数逐渐趋于收敛；同时，当子结构分段数等于4时，旋转组合结构无量纲频率参数已具有较高的精度，此后继续增加子结构分段数对计算精度影响可忽略不计。
2.1.3 Jacobi多项式参数的影响
旋转组合壳结构材料和结构参数与图3相同；分段数Nl = Nc= Nr=5，M=N=8，以α=β=0为基准来衡量自由边界条件下不同Jacobi多项式参数取值对计算结果影响的相对误差。
由图4可知，其他参数一定条件下，Jacobi多项式参数α，β对旋转组合结构振动特性的影响较小，不同Jacobi多项式参数下的最大相对误差不大于6×10-5，对计算结果的影响可忽略不计。也就是说。雅克比多项式在本文方法可以任意取值，而不仅仅局限于改进傅里叶方法或区域能量分解方法所采用的切夫雪比多项式、勒让德多项式等，即本文提出的统一的雅克比多项式来求解旋转组合结构自由振动分析是完全可行的。
2.2 计算结果的有效性验证
为验证本方法计算结果的有效性，将经典边界条件（F-F，F-C，C-C）下旋转组合结构无量纲频率参数与有限元仿真结果进行比对。组合壳结构参数取值与2.1节（1）处相同，有限元（ABAQUS）分析网格类型为S4R，网格数量为33928，对比结果如表3所示。
由表3可知，本文方法计算结果与有限元仿真结果具有较好的一致性，最大相对误差不超过0.66%，由此可证得本方法的有效性；从计算效率上来看，本文方法相较于传统有限元法体现出了巨大的优势，本文方法基于MATLAB程序总求解时间仅需2.5 s （ PC，3.4 GHz），而在同一计算机下，有限元求解时间超过1 min，若需计算较低周向波数下较高阶的模态，求解效率将更低。本文方法模态图与有限元结果对比如图6所示。
2.3 复杂边界条件下旋转组合结构自由振动特性分析 基于上述研究内容，开展复杂边界条件（SD-SD，SS-SS，E1-E1，E2-E2，E3-E3，SD-E1，SD-E2，SD-E3，SS-E1，SS-E2，SS-E3，E1-E2，E1-E3，E2-E3）下旋转组合结构自由振动特性研究，旨在为复杂边界条件下旋转组合结构自由振动分析提供数据参考。
由表4～6中可知，边界条件对旋转组合结构（球-柱-球组合结构）低阶周向波数的振动特性影响较大，但随着周向波数的不断增加，边界条件对旋转组合结构（球-柱-球组合结构）振动特性的影响逐渐减弱。
3 结 论
本文提出Jacobi-Ritz法来求解旋转组合壳结构的自由振动，组合壳结构被划分为几種典型子结构，再将子结构沿旋转轴方向划分为若干壳段，各壳段的位移分量由Jacobi多项式和Fourier级数表示，并使用弹簧刚度法对组合壳结构的边界条件和连续性条件进行模拟，最后通过Rayleigh-Ritz法计算求解。通过与FEM法及现有文献计算结果进行对比，验证了本文方法的收敛性和有效性。同时，由于本文方法主要基于Flügge薄壳理论进行推导，故本文方法现阶段主要适用于薄壳结构，暂不能处理中厚结构振动问题。通过本文研究，可得如下主要结论：
1. 旋转组合结构收敛性与弹簧刚度值、子结构壳段数、Jacobi多项式参数及最大容许函数选取等有关。当弹簧刚度值kt≥102E时，组合壳结构收敛，可视为刚性边界条件；当弹簧刚度值kt=0时，可视为自由边界条件；当弹簧刚度值10-4E≤kt≤10-2E可视为弹性边界条件。子结构壳段数划分越多，组合壳结构收敛性越好，计及求解效率等因素，子结构壳段数划分不宜过大。Jacobi多项式参数对组合壳结构求解结果影响较小，可忽略不计。
2. 典型边界条件下，基于Jacobi-Ritz法的球-柱-球组合结构振动特性分析结果与现有文献及有限元法分析结果吻合较好，且较有限元法有更高的求解效率。
3. 给出了复杂边界条件下球-柱-球组合结构自由振动特性规律，为球-柱-球组合结构自由振动特性分析提供了数据积累及方法依据。
参考文献：
[1] Hu W C L， Raney J P. Experimental and analytical study of vibrations of joined shells[J]. AIAA Journal 2012，5（5）：976—980.
[2] Irie T， Yamada G， Muramoto Y. Free vibration of joined conical-cylindrical shells[J]. Journal of Sound and Vibration， 1984，95（1）：31—39.
[3] Ye T， Jin G， Zhang Y. Vibrations of composite laminated doubly-curved shells of revolution with elastic restraints including shear deformation， rotary inertia and initial curvature[J]. Composite Structures 2015，133：202—225.
[4] Jin G， Ye T， Wang X， et al. A unified solution for the vibration analysis of FGM doubly-curved shells of revolution with arbitrary boundary conditions[J]. Composites Part B Engineering， 2016，89：230—252.
[5] 邹明松，吴文伟，孙建刚，等. 两端圆板封闭圆柱壳自由振动的半解析解[J]. 船舶力学， 2012，16（11）：1306—1313.
Zou Mingsong， Wu Wenwei， Sun Jiangang， et al. A semianalytical solution for free vibration of a cylindrical shell with two end plates[J]. Journal of Ship Mechanics， 2012，16（11）： 1306—1313.
[6] 王大钧，任钧国，陈 平.用模态综合法计算旋转壳的振动[J].固体力学学报， 1981，（3）：343—351.
Wang Dajun， Ren Junguo， Chen Ping. Vibration analysis of shells of revolution by model synthesis method[J]. Chinese Journal of solid mechanics， 1981，（3）： 343—351.
[7] 瞿叶高，华宏星，孟 光，等. 基于区域分解的圆锥壳-圆柱壳-圆锥壳组合结构自由振动[J]. 振动与冲击， 2012，31（22）：1—7.
Qu Y G， Hua H X， Meng G， et al. A domain decomposition method for free vibration analysis of a joined conical-cylindrical-conical shell[J]. Journal of Vibration and Shock， 2012， 31（22）： 1—7.
[8] Shi D， Zhao Y， Wang Q， et al. A unified spectro-geometric-ritz method for vibration analysis of open and closed shells with arbitrary boundary conditions[J]. Shock and Vibration， 2016，2016（1）：1—30.
[9] Wang Q， Shi D， Liang Q， et al. Free vibrations of composite laminated doubly-curved shells and panels of revolution with general elastic restraints[J]. Applied Mathematical Modelling， 2017， 46：227—262.
[10] Bhrawy A H， Taha T M， Machado J A T. A review of operational matrices and spectral techniques for fractional calculus[J]. Nonlinear Dynamics， 2015， 81（3）：1023—1052.
[11] Wu S， Qu Y， Hua H. Vibration characteristics of a spherical-cylindrical-spherical shell by a domain decomposition method[J]. Mechanics Research Communications， 2013， 49（3）：17—26.
Abstract： A semi-analytical method for the analysis of free vibration characteristics of combined shells in revolution is proposed. Firstly， the combined shells of revolution are divided into substructures at the interface. Secondly， the substructures are further divided into several shell segments along the radial direction， with the displacement function of each shell segment represented by the Jacobi polynomials along the axis and the Fourier series along the radial direction. The continuity conditions at the interface and the boundary conditions at the two ends of the combined shells are modeled by using different spring stiffness. Finally， the free vibration frequencies of the combined shell structures are obtained based on Rayleigh-Ritz method. The joined spherical-cylindrical-spherical structure is used as an example. Based on the method of Jacobi-Ritz， the analysis of the free vibration characteristics of a joined spherical-cylindrical-spherical structure is carried out. The results show that the present method has good convergence and a good agreement with the method of FEM. The research results of this paper provide a useful method and data accumulation preparation for free vibration characteristics analysis of combined shells of revolution under complex boundary conditions.
Key words： free vibration； combined shells of revolution； Jacobi-Ritz method； complex boundary condition
作者簡介： 庞福振（1980—），男，教授，博士生导师。电话：13945074820；E-mail：pangfuzhen@hrbeu.edu.cn
通讯作者： 李海超（1988—），男，博士研究生。电话：18845636873；E-mail：lihaichao@hrbeu.edu.cn
摘要： 提出了一种分析旋转组合壳结构自由振动特性的半解析法。首先将组合壳结构在交界面处进行分解，获得各个子结构；其次，將各个子结构在径向方向进一步分解为若干壳段，用沿旋转轴方向的Jacobi多项式和沿周向的Fourier级数来表示各个壳段的位移函数，并用不同的弹簧刚度对组合结构的边界条件和壳体内的连续性条件进行模拟；最后，基于Rayleigh-Ritz法获得组合壳结构的自由振动特性。该研究以球-柱-球组合结构为例，开展基于Jacobi-Ritz法的旋转组合结构自由振动特性分析。研究表明：该方法具有较好的收敛性，与有限元及区域能量分解法等相比有较高的一致性，研究成果可为复杂边界条件下球-柱-球组合结构自由振动特性分析提供数据积累和方法依据。
关键词： 自由振动； 旋转组合结构； Jacobi-Ritz法； 复杂边界条件
中图分类号： O327； TB123 文献标志码：A 文章编号1004-4523（2018）05-0827-10
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.05.012
引 言
由球壳、圆柱壳、双曲率壳等组成的旋转壳在航空航天、船舶、民用机械等各个领域应用广泛。开展旋转组合结构自由振动特性分析研究，获取旋转组合结构复杂边界条件下典型特征频率，对指导相应的工程应用具有重要的意义。在此研究方面，Hu等[1]提出一种分段整合法来分析圆锥-圆柱组合壳的自由振动特性；Irie等[2]使用传递矩阵法研究了锥壳-环形板状圆柱壳组合结构的自由振动特性；靳国永等[3-4]基于改进傅里叶级数法，研究了弹性约束条件下复合双曲率旋转壳的振动特性。邹明松等[5]基于经典弹性板壳理论，通过解析方法求解了两端圆板封闭的圆柱壳自由振动。王大钧等[6]用模态综合法计算了任意形状曲线旋转壳的固有振动特性。瞿叶高等[7]提出了一种区域分解法，研究了由锥壳、圆柱壳、球壳和环形加强筋组成的各种组合壳结构的振动特性。
由上述分析可知，一方面现有文献对复杂边界条件下旋转组合结构自由振动特性研究较少；另一方面，现有研究方法在位移函数选取等方面主要基于特殊的多项式（如切夫雪比多项式等），尚未形成统一的形式。为此，本文基于Jacobi-Ritz法，开展旋转组合结构自由振动特性分析，旨在提出统一的求解公式，为复杂边界条件旋转组合结构自由振动特性分析提供数据积累和方法依据。
1 理论方法
1.1 组合壳结构几何模型 旋转壳结构是由圆弧绕中心轴旋转而成，其几何结构如图1所示。
如图1所示，厚度为h的旋转壳由母线s0s1绕轴线Oζ旋转而成。L为旋转壳结构总长，φ为径向角度，θ为周向角度，Rφ为径向曲率半径，Rθ为周向曲率半径，R为水平半径，且R=Rθsinφ。旋转组合剖面结构如图2所示。
假定每个旋转壳都由均质和各向同性的材料组成，且组合壳子结构厚度均相同。左右旋转壳由球坐标系Ol，r-φl，r，θl，r，zl，r描述，其中φ为径向坐标，θ为圆周坐标；中间圆柱壳用柱坐标系Oc-x，θc，zc描述，其半径为Rc，长度为Lc，下标l，r和c分别代表左壳、右壳和圆柱壳。各个壳组的位移分量分别表示为uξ， vξ， uξ （ξ=l，c，r）。组合结构沿径向方向在交界面处划分为几个典型子结构，再在此基础上，将子结构沿径向方向进一步分解为Nl，Nc，Nr个壳段，Ni表示线弹簧间第i个分段数。
由表2可知，随着子结构划分壳段数的不断增加，旋转组合结构无量纲频率参数逐渐趋于收敛；同时，当子结构分段数等于4时，旋转组合结构无量纲频率参数已具有较高的精度，此后继续增加子结构分段数对计算精度影响可忽略不计。
2.1.3 Jacobi多项式参数的影响
旋转组合壳结构材料和结构参数与图3相同；分段数Nl = Nc= Nr=5，M=N=8，以α=β=0为基准来衡量自由边界条件下不同Jacobi多项式参数取值对计算结果影响的相对误差。
由图4可知，其他参数一定条件下，Jacobi多项式参数α，β对旋转组合结构振动特性的影响较小，不同Jacobi多项式参数下的最大相对误差不大于6×10-5，对计算结果的影响可忽略不计。也就是说。雅克比多项式在本文方法可以任意取值，而不仅仅局限于改进傅里叶方法或区域能量分解方法所采用的切夫雪比多项式、勒让德多项式等，即本文提出的统一的雅克比多项式来求解旋转组合结构自由振动分析是完全可行的。
2.2 计算结果的有效性验证
为验证本方法计算结果的有效性，将经典边界条件（F-F，F-C，C-C）下旋转组合结构无量纲频率参数与有限元仿真结果进行比对。组合壳结构参数取值与2.1节（1）处相同，有限元（ABAQUS）分析网格类型为S4R，网格数量为33928，对比结果如表3所示。
由表3可知，本文方法计算结果与有限元仿真结果具有较好的一致性，最大相对误差不超过0.66%，由此可证得本方法的有效性；从计算效率上来看，本文方法相较于传统有限元法体现出了巨大的优势，本文方法基于MATLAB程序总求解时间仅需2.5 s （ PC，3.4 GHz），而在同一计算机下，有限元求解时间超过1 min，若需计算较低周向波数下较高阶的模态，求解效率将更低。本文方法模态图与有限元结果对比如图6所示。
2.3 复杂边界条件下旋转组合结构自由振动特性分析 基于上述研究内容，开展复杂边界条件（SD-SD，SS-SS，E1-E1，E2-E2，E3-E3，SD-E1，SD-E2，SD-E3，SS-E1，SS-E2，SS-E3，E1-E2，E1-E3，E2-E3）下旋转组合结构自由振动特性研究，旨在为复杂边界条件下旋转组合结构自由振动分析提供数据参考。
由表4～6中可知，边界条件对旋转组合结构（球-柱-球组合结构）低阶周向波数的振动特性影响较大，但随着周向波数的不断增加，边界条件对旋转组合结构（球-柱-球组合结构）振动特性的影响逐渐减弱。
3 结 论
本文提出Jacobi-Ritz法来求解旋转组合壳结构的自由振动，组合壳结构被划分为几種典型子结构，再将子结构沿旋转轴方向划分为若干壳段，各壳段的位移分量由Jacobi多项式和Fourier级数表示，并使用弹簧刚度法对组合壳结构的边界条件和连续性条件进行模拟，最后通过Rayleigh-Ritz法计算求解。通过与FEM法及现有文献计算结果进行对比，验证了本文方法的收敛性和有效性。同时，由于本文方法主要基于Flügge薄壳理论进行推导，故本文方法现阶段主要适用于薄壳结构，暂不能处理中厚结构振动问题。通过本文研究，可得如下主要结论：
1. 旋转组合结构收敛性与弹簧刚度值、子结构壳段数、Jacobi多项式参数及最大容许函数选取等有关。当弹簧刚度值kt≥102E时，组合壳结构收敛，可视为刚性边界条件；当弹簧刚度值kt=0时，可视为自由边界条件；当弹簧刚度值10-4E≤kt≤10-2E可视为弹性边界条件。子结构壳段数划分越多，组合壳结构收敛性越好，计及求解效率等因素，子结构壳段数划分不宜过大。Jacobi多项式参数对组合壳结构求解结果影响较小，可忽略不计。
2. 典型边界条件下，基于Jacobi-Ritz法的球-柱-球组合结构振动特性分析结果与现有文献及有限元法分析结果吻合较好，且较有限元法有更高的求解效率。
3. 给出了复杂边界条件下球-柱-球组合结构自由振动特性规律，为球-柱-球组合结构自由振动特性分析提供了数据积累及方法依据。
参考文献：
[1] Hu W C L， Raney J P. Experimental and analytical study of vibrations of joined shells[J]. AIAA Journal 2012，5（5）：976—980.
[2] Irie T， Yamada G， Muramoto Y. Free vibration of joined conical-cylindrical shells[J]. Journal of Sound and Vibration， 1984，95（1）：31—39.
[3] Ye T， Jin G， Zhang Y. Vibrations of composite laminated doubly-curved shells of revolution with elastic restraints including shear deformation， rotary inertia and initial curvature[J]. Composite Structures 2015，133：202—225.
[4] Jin G， Ye T， Wang X， et al. A unified solution for the vibration analysis of FGM doubly-curved shells of revolution with arbitrary boundary conditions[J]. Composites Part B Engineering， 2016，89：230—252.
[5] 邹明松，吴文伟，孙建刚，等. 两端圆板封闭圆柱壳自由振动的半解析解[J]. 船舶力学， 2012，16（11）：1306—1313.
Zou Mingsong， Wu Wenwei， Sun Jiangang， et al. A semianalytical solution for free vibration of a cylindrical shell with two end plates[J]. Journal of Ship Mechanics， 2012，16（11）： 1306—1313.
[6] 王大钧，任钧国，陈 平.用模态综合法计算旋转壳的振动[J].固体力学学报， 1981，（3）：343—351.
Wang Dajun， Ren Junguo， Chen Ping. Vibration analysis of shells of revolution by model synthesis method[J]. Chinese Journal of solid mechanics， 1981，（3）： 343—351.
[7] 瞿叶高，华宏星，孟 光，等. 基于区域分解的圆锥壳-圆柱壳-圆锥壳组合结构自由振动[J]. 振动与冲击， 2012，31（22）：1—7.
Qu Y G， Hua H X， Meng G， et al. A domain decomposition method for free vibration analysis of a joined conical-cylindrical-conical shell[J]. Journal of Vibration and Shock， 2012， 31（22）： 1—7.
[8] Shi D， Zhao Y， Wang Q， et al. A unified spectro-geometric-ritz method for vibration analysis of open and closed shells with arbitrary boundary conditions[J]. Shock and Vibration， 2016，2016（1）：1—30.
[9] Wang Q， Shi D， Liang Q， et al. Free vibrations of composite laminated doubly-curved shells and panels of revolution with general elastic restraints[J]. Applied Mathematical Modelling， 2017， 46：227—262.
[10] Bhrawy A H， Taha T M， Machado J A T. A review of operational matrices and spectral techniques for fractional calculus[J]. Nonlinear Dynamics， 2015， 81（3）：1023—1052.
[11] Wu S， Qu Y， Hua H. Vibration characteristics of a spherical-cylindrical-spherical shell by a domain decomposition method[J]. Mechanics Research Communications， 2013， 49（3）：17—26.
Abstract： A semi-analytical method for the analysis of free vibration characteristics of combined shells in revolution is proposed. Firstly， the combined shells of revolution are divided into substructures at the interface. Secondly， the substructures are further divided into several shell segments along the radial direction， with the displacement function of each shell segment represented by the Jacobi polynomials along the axis and the Fourier series along the radial direction. The continuity conditions at the interface and the boundary conditions at the two ends of the combined shells are modeled by using different spring stiffness. Finally， the free vibration frequencies of the combined shell structures are obtained based on Rayleigh-Ritz method. The joined spherical-cylindrical-spherical structure is used as an example. Based on the method of Jacobi-Ritz， the analysis of the free vibration characteristics of a joined spherical-cylindrical-spherical structure is carried out. The results show that the present method has good convergence and a good agreement with the method of FEM. The research results of this paper provide a useful method and data accumulation preparation for free vibration characteristics analysis of combined shells of revolution under complex boundary conditions.
Key words： free vibration； combined shells of revolution； Jacobi-Ritz method； complex boundary condition
作者簡介： 庞福振（1980—），男，教授，博士生导师。电话：13945074820；E-mail：pangfuzhen@hrbeu.edu.cn
通讯作者： 李海超（1988—），男，博士研究生。电话：18845636873；E-mail：lihaichao@hrbeu.edu.cn
