慎用“质心等效法”处理连接体的能量转化问题

    许庆元

    

    摘? ?要：连接体中的能量转化问题实质是质点组能量转化问题，往往要用到质点组动能定理。但由于高中学生的知识储备和思维定势，错误地使用“质心等效法”解决问题，思维上出现偏差，导致结论的错误。

    关键词：连接体;质点组动能定理;能量转化

    中图分类号：G633.7 文献标识码：A ? ? 文章编号：1003-6148（2020）12-0055-2

    质点组动能定理内容：在惯性参考系中，外力对质点组做的功与质点组间内力做功之和等于质点组中各质点动能的变化量，其表达式：∑iW■+∑iW■=∑jEk2-∑jEk1。但是，由于高中学生的知识储备和思维定势，在使用质点组动能定理时常用“质心等效法”解决问题，这样容易导致两类错误：一是质心的动能代替整个质点组的动能，二是质心的位移代替外力作用点的位移[1]。下面通过几个例题来分析学生出现思维偏差的具体原因。

    1? ? 质心的动能代替整个质点组的动能，导致结论错误

    例1 如图1所示，质量都是M的两个小球，分别固定在一长为2L的轻杆的中点和一端，整个装置从水平位置绕固定端O下落到竖直位置时，两球的速度各为多大？

    错误解法：由动能定理WG=Ek2-Ek1得：

    2Mg×■L=■×2Mv■■-■×2Mv■■

    vC'=■

    根据圆周运动的公式：v=ωr

    得：v■=■，vB=■

    正确解法：由质点组动能定理∑iW■+∑iW■=∑jEk2-∑jEk1得：

    MgL+2MgL=■Mv■■+■Mv■■

    根据圆周运动的公式：v=ωr

    得：vB=2v■

    解出：

    v■=■，vB=2■

    错解的原因分析：

    由柯尼希定理，A球和B球的总动能等于A球和B球质心C'的动能与A球和B球相对于质心的平动动能之和■Mv■■+■Mv■■=■Mv■■+■（vA-vC'）2+■（vB-vC'）2，质心C'处的动能应该小于整个质点组的动能，错误解法中用质心C'的动能代替整个质点组的动能，导致解法错误。

    2? ? 质心的位移代替外力作用点的位移，导致结论错误

    例2 如图2所示，两个楼层的高度为h，在自动扶梯以恒定的速度v运转时，第一次人站在扶梯上相对扶梯静止不动，扶梯在他上楼过程中对他做功为W1，做功功率为P1。第二次这人在运动的扶梯上又以相对扶梯的速度u同时匀速向上走。则这次扶梯对人做功为W2，做功功率为P2，则（? ? ?）

    A.W1>W2? ? P1>P2? ? ? ? B.W1>W2? ? P1=P2

    C.W1=W2? ? P1<P2? ? ? ? D.W1=W2? ? P1=P2

    解：假设人的质量为m ，速度v与竖直方向的夹角为θ， 第一次人站在扶梯上静止不动，扶梯对人的支持F=mg，根据做功公式得：

    W1=Fxcosθ=mgh，P1=Fvcosθ=mgvcosθ

    第二次人上升过程中，学生在求解扶梯对人做功W2和功率P2时出现了不同错误解法：

    错解一：第二次人沿扶梯以相对扶梯的速度u匀速向上走，扶梯对人的支持力F=mg，根据做功公式得：W2=Fxcosθ=mgh=W1

    第二次人运动的时间t2小于第一次的时间t1，由功率的计算公式P1=■<P2=■（答案：C选项）。

    错解二：以人为研究对象，由动能定理W2+W■-mgh=0，得出：W2=mgh-W■P1，学生说没有答案。

    错解的原因分析：为了弄清本题我们不妨先通过一个例题让学生来讨论。

    例3 如图3所示，在水平桌面的竖直方向上有两个物体质量分别为m1、m2，中间用轻质弹簧连接，先用手压缩物体m2，使弹簧处于压缩状态，然后突然把手拿开，请问手离开到m2到达最高点过程中地面对m1有没有做功？

    学生根据功的定义很容易就知道在支持力的方向上，m1没有发生位移，尽管m1、m2和弹簧组成的系统的质心位置上移了，但地面对m1作用点没有发生位移，地面对m1没有做功。m1 和m2机械能的增加是由于弹簧的弹力做功，弹簧弹性势能转化为m1 和m2的机械能的缘故。

    现在我们不难发现错解一的原因是以系统的质心的位移等效为支持力F作用点的位移，错解二的原因是以质心的速度等效为力作用点的速度，这既是对做功理解不够深入，也是在前面学习过程中形成思维定势导致认识偏差，最终产生错误的解法。

    正确解法一：第二次人沿扶梯以相对扶梯的速度u匀速向上走，扶梯对人的支持力F=mg，整个过程所用时间为t=■，则扶梯支持力F作用点的位移x1=vt=v■，扶梯支持力F对人做功W2=Fx1cosθ=mgx■<W1， 支持力F做功功率应为P2=Fvcosθ=mgvcosθ=P1，答案为B选项。

    通过以上分析我们发现，在处理连接体（刚体）平动没有转动时，我们可以用“质心等效法”来处理，当刚体有转动时不能把整个质点组的动能等效为质心的动能;在对待软体类连接体能量转化问题时，既要考虑外力作用点的位移是否是质心的位移，还要考虑质点组质点间有没有相对运动，内力有没有做功等问题[2]，审慎考虑是否可以用“质心等效法”，要具体问题具体对待。

    参考文献：

    [1]陈栋梁，吴春良.“质心等效法”的动能“丢失”问题的讨论[J].物理教师，2015，36（11）：57-58.

    [2]黃建云.人对自己做功了吗？——对一道自动扶梯例题探究[J].物理教学，2013，35（3）：20.

    （栏目编辑? ? 罗琬华）