多点多维全非平稳地震动场的降维模拟
刘子心 刘章军
摘要：首先，在多点一维全非平稳地震动场的随机模型基础上，导出了多点多维全非平稳地震动随机场基于相干函数矩阵的谱分解统一表达式。同时，通过引入随机函数的约束形式，实现了多点多维地震动随机场的降维模拟。其次，根据多维地震动三分量强度调制函数中参数相关性的回归结果，给出了I。类场地的三维地震动四段强度调制函数的参数取值。最后，以三维地震动的松岛丰模型为基础，采用四段强度调制函数、Clough-Penzien时变功率谱以及复合相干函数模型，生成了空间相关多点多维全非平稳地震动的代表性样本，数值算例验证了所提方法的有效性。由于该方法生成代表性样本集合的概率信息完备，进而可与概率密度演化方法相结合，以实现随机地震作用下大型复杂空间结构的精细化动力反应分析以及抗震可靠性评价。
关键词：多点多维地震动;空间相关;全非平稳过程;谱分解;降维模拟
中图分类号：P315.9;TU311.3文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）05-1002-11
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.05.015
引言
中国位于环太平洋地震带与欧亚地震带交汇处，地震区域分布广阔，地震灾害发生频繁。近几十年来，中国国民经济和交通事业高速发展，兴建了大量体育场馆、枢纽客站、大坝、近海平台以及大跨桥梁等重大基础设施，这些工程结构一般具有大底盘、深基础、长距离和大跨度等特点，结构形式复杂，一旦发生震害，会造成严重的生命和财产损失。因此，保障重大基础设施结构在地震灾害作用下的服役功能具有十分重要的工程意义。众所周知，地震动具有显著的空问变异性，主要由地震动传播过程中的迟滞相干效应、行波效应、衰减效应以及局部场地效应等因素导致。此外，地震动是一种十分复杂的多维运动，通常可在地震观测中获得含有两个水平分量和一个竖直分量在内的三维平动分量。研究表明，地震动的空问变异性以及多维地震作用会对大跨度复杂空问结构（如大型空问网壳结构等）在地震激励时的耗能特性与破坏机理产生显著影响。因此，对于大跨度复杂空问结构的地震反应分析与抗震优化设计，采用既能够考虑地震动空问变异性又能够同时考虑多维地震作用的空问相关多点多维地震动输入更为合理。
地震灾害作用具有极强的随机性，同时，由于实测强震资料数量有限以及对地震环境和场地条件的限制，通常很难满足工程结构抗震分析中对地震动输入的各种要求，因此，采用随机方法合成地震动一直备受关注。地震动的随机模型是应用随机振动理论研究结构随机地震反应的基础，对于一维地震动随机模型的研究，目前已取得系统性进展，提出并发展了随机脉冲模型、白噪声模型以及过滤白噪声模型等平稳功率谱模型，以及强度非平稳模型（均匀调制过程）和强度一频率全非平稳模型（演变过程）等。多维地震动的随机模型正是在一维模型的基础上，通过进一步考虑不同方向分量问的相关性而得到，即多维地震动随机模型可看作是一维地震动随机模型的扩展。此外，Penzien等提出了地震动的主轴模型，研究了地震动3个平动分量的协方差随时问以及3个坐标轴方位变化的规律，该模型在多维抗震分析的反应谱法研究中得到了广泛应用。
目前，多点多维全非平稳地震动随机场的模拟方法主要有线性滤波法、小波分析法、谱表示以及本征正交分解（POD）等，这些方法均是以地震动随机场的二阶统计量（演变功率谱密度矩阵或相干函数矩阵）为基础发展起来的，其本质是通过对一系列随机变量进行大量Monte Carlo随机抽样来实现。其中，谱表示和POD因具有理论完善、计算简单以及易于实施等特点，在随机过程和随机场的模拟中得到了广泛应用。然而，采用经典Monte Carlo方法模拟地震动随机场时，通常需要对一系列高维随机变量进行大量的随机抽样来保证模拟精度，这不仅极大地增加了随机模拟的计算量，也在较大程度上限制了该方法在大型复杂空问结构随机地震反应与抗震可靠性精细化分析中的应用。
针对上述研究现状，本文首先从多点一维全非平稳地震动随机场模拟的谱表示以及POD的理论出发，推导出基于相干函数矩阵的空问相关多点多维全非平稳地震动随机场的谱分解统一表达式。其次，通过引人随机函数思想，建立了空问相关多点多维全非平稳地震动随机场的降维模型，实现了仅用两个基本随机变量即可在概率密度层次上精确地描述地震动随机场。最后，基于多维地震动的松岛丰模型，生成了多点多维全非平稳地震动随机场的代表性样本集合。由于该代表性样本集合的概率信息完备，因此可与概率密度演化方法相结合，进而实现空问大型复杂工程结构在多点多维地震作用下的精细化动力反应分析与抗震可靠性评价。
1多点多维全非平稳地震动场的随机模型
在多点一维全非平稳地震动场的演变功率谱密度矩阵基础上，考虑多点多维地震动各分量问的相关性，可将多点多维全非平稳地震动随机场的双边演变功率谱密度矩阵表达为
文献[1]根据大量强震记录的统计数据对地震动不同方向分量问的相关性进行了深入研究，给出了抗震设防烈度为7度、8度和9度的近场及远场地震四段强度调制函数的参数取值。然而，对于现行的建筑抗震设计规范（GB 50011-2010），该强度调制函数缺少工。类场地的参数取值。为此，本文根据文献[1]统计的地震动三分量强度调制函数的参数相关性的回归结果，给出了工。类场地的四段强度调制函数的参数取值，具体如表1所示。
根据上述参数取值，得到抗震设防烈度为7度的近场多维地震动强度调制函数曲线，如图1所示。从图中可以看出，不同方向地震动分量在强度的峰值到达时刻以及平稳段持续时问上有着较大差异，尤其是竖向分量，其强度峰值到达时刻较早，且持续时问较长。可见，该强度调制函数能够有效地描述不同方向地震动分量在强度上的时问差异。
进一步地，为充分反映地震动的频率非平稳特
为了能够定量分析降维模拟方法的精度与代表性样本数量的关系，本文分别计算了代表性样本数量为144条、233条、377条、610条以及987条的5种情况，并对此进行研究分析。根据式（26），本文方法生成的代表性样本集合的均值平均偏差以及标准差平均误差的计算结果如图4所示。图中，纵坐标所对应的数值为每类场地代表性样本的均值平均偏差与标准差平均误差3个方向分量的平均值。从图中可以看出，均值平均偏差以及标准差平均误差都随着代表性样本数量的增多而逐渐减小，证明了本文方法具有良好的收敛性。此外，由于本文预先对正交随机变量进行了标准化处理，因此，均值平均偏差极小，达到了1013。数量级，有效验证了本文方法的精确性。同时，对于标准差平均误差，当代表性样本数量大约为400条左右时，四类场地的标准差平均误差均小于10%，即能夠满足实际工程的精度要求。
图5为采用降维方法生成的多点多维全非平稳地震动随机场的代表性样本，本文以Io和Ⅱ类场地3个方向的加速度时程为例。从图中可以看出，由于两水平方向（x方向和y方向）的地震动分量采用了完全相同的时变功率谱模型和参数，因此两水平方向的地震动加速度时程曲线形状基本一致，但由于采用的强度调制函数的参数不同，两水平方向在加速度峰值到达时刻以及平稳段持续时问上存在微小差异。同时，由于考虑了竖直方向地震动分量的时变功率谱模型参数以及强度调制函数与水平方向地震动分量的区别，生成的竖直方向地震动加速度过程在幅值、强度峰值到达时刻以及平稳段持续时问上均与水平方向地震动分量有着显著差异。具体地，竖直方向地震动加速度的幅值较小，约为水平分量的三分之二，此外，竖向分量的峰值到达时刻较早，且平稳段持续时问更长，这体现了本文选用的演变功率谱模型的可行性与有效性。同时，由于充分考虑了地震动场的空问变异性，因此，不同场地类别的地震动加速度在幅值、持时、频率和衰减速率等方面也具有一定差异。
图6为本文方法生成的多点多维非全平稳地震动随机场的自相关函数（Ⅱ类场地）及互相关函数（Ⅱ与Ⅲ类场地）在迟滞时问r分别为0及0.2s时与相应目标值的比较。从图中可以看出，自相关函数的精度略高于互相关函数。图7为工。类场地地震动三方向分量在不同时刻的功率谱与相应目标值的比较。如图所示，地震动三分量的演变功率谱值与图2中相同时刻的功率谱值基本一致，验证了模拟结果的正确性。总体上，相关函数及演变功率谱与其相应目标值的比较均具有较好的拟合结果，充分验证了本文方法的精确性和有效性。
6结论
结构随机地震反应及抗震可靠度精细化分析是大型复杂空问结构抗震设计的重要工作，合理描述及模拟结构遭受的随机地震作用则是结构抗震设计的基础和前提。本文从多点一维全非平稳地震动随机场的谱分解（谱表示和POD）的理论出发，推导出空问相关多点多维全非平稳地震动随机场基于相干函数矩阵的谱分解统一表达式。同时，通过构造正交随机变量的随机函数形式，实现了空问相关多点多维全非平稳地震动随机场的降维模拟。研究表明，通过引入随机函数的约束形式，能够有效降低多点多维全非平稳地震动随机场的随机度（基本随机变量的数量），即仅用两个基本随机变量即可在二阶统计意义上精确地表达多点多维全非平稳地震动随机场的概率特性。
同时，本文根据地震动不同方向分量问强度调制函数的参数相关性的回归结果，给出了工。类场地四段强度调制函数的参数取值，使得该强度调制函数能够适用于现行的抗震设计规范。此外，为充分反映地震动在时问和频率上的全非平稳特性，引入了clough-Penzien时变功率谱模型来生成全非平稳地震动过程的演变功率谱。计算结果表明，采用强度调制函数与时变功率谱模型生成的地震动演变功率谱能够全面反映地震动的非平稳特性，同时，亦能够合理地描述不同方向地震动分量在强度、峰值到达时刻以及平稳段持续时问上的差异，具有较好的工程实践意义。
此外，本文定义了两种用以评价降维模拟方法精度的误差准则，即均值平均偏差与标准差相对误差，并计算了具有不同代表性样本数量的样本集合的精度。数值分析表明，采用降维模拟方法，仅需数百条代表性样本即可获得令人满意的精度。同时，由于本文方法生成代表性样本集合的概率信息完备，因此可与概率密度演化方法相结合，为基于性态和全寿命周期的大型复杂空问结构的精细化地震反应分析、抗震可靠性评价以及抗震优化设计提供了有效途徑。
