核心素养导向的一道正方形习题的变式教学探析

2022.08.18

罗志浩杨伟东

[摘? 要] 在初中数学习题教学中，教师不仅要教会学生怎样做题，更应渗透学科核心素养，优化数学习题教学，才更有助于培养与发展学生的创新思维能力. 文章以一道课本正方形习题为例，谈谈如何进行几何题变式教学探析.

[关键词] 核心素养;正方形;习题;变式

根据新课标要求，培养并提升学生的核心素养，成为当下数学课堂重要的教学目标. 本文以人教版八年级下册第 69 页第14题为例，综合运用正方形的性质、余角的性质、角平分线的性质、三角形全等等知识，通过一系列变式拓展探究，构建几何知识网络，寻求图形共性，挖掘问题本质特征，提高课堂教学效率，促进学生学科核心素养的发展.

原题引入

如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC的中点，∠AEF=90°，且 EF 交正方形外角∠DCG 的平分线 CF 于点 F，求证：AE=EF.

思路点拨? 取 AB 的中点 M，连接 ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF.

证明? 取 AB 的中点 M，连接EM，则AM=EC，因为∠AME=180°-45°=135°，∠ECF=90°+45°=135°，所以∠AME=∠ECF;因为∠MAE=90°-∠AEB，∠FEC=180°-90°-∠AEB，所以∠MAE=∠FEC，所以△AME≌△ECF，所以AE=EF.

考点分析? 此题考查了角平分线的性质、余角的性质、正方形的性质、三角形全等及添加辅助线等知识点.

注? 本题分析的重点是E点和∠AEF=90°这两个条件，能否将这两个条件进行改变，将E点变为动点，∠AEF角度的确定跟正多边形的边数和内角是否有关，对问题的设计能不能通过改变图形结构，改变命题的条件引入相似和特殊多边形的判定，最后加强条件引入坐标系，求线段最值问题以达到题目的升华.

变式探究

变式1? 从特殊变为一般，把“点E是BC的中点”改为“点E是BC边上（除 B，C 外）的任意一点”（如图2），或改为 “点E 是BC边延长线上的任意一点”（如图3），或改为“点E是BC边反向延长线上的任意一点”（如图4），但结论、解题思路都不发生改变.

设计意图? 以上变式是在正方形的基础上，通过改变点的位置，达到一图多变的目的，让学生体会从特殊到一般的魅力，有利于培养学生的几何直观和逻辑推理等核心素养.

变式2? 如图5，点M是等边△ ABC的边BC所在直线上的任意一点（除 B，C 外），作∠AMN=60°，射线 MN与三角形外角∠ACD 的平分线交于点 N，试探究AM与MN有怎样的数量关系？

解答? AM=NM. 理由如下：在AB上截取EA=MC，连接EM，因为∠1=∠AMP-∠B，∠2=∠ AMP-∠AMN，∠AMN=∠B=60°，所以∠1=∠2，又因为CN平分∠ACP，∠4=∠ACP=60°，所以∠MCN=∠3+∠4=120°，又因为BA=BC，EA=MC，所以BA-EA=BC-MC，即BE=BM，所以△BEM为等边三角形，∠6=60°，所以∠5=180°-∠6=120°，得到∠MCN=∠5. 所以△AEM≌△MCN（ASA），故AM=NM.

设计意图? 此变式改变图形载体，将原题中的“正方形ABCD”改为“正三角形 ABC”，同时改变夹角的度数，其他条件不变. 但此题与原题解读思路如出一辙，有利于让学生发现数学问题的规律及本质.

变式3? 如图6，M 是正五边形 ABCDE 的边BC所在直线上的任意一点（除B，C外），作∠AMN=108°，射线MN与外角∠DCF的平分线交于点N，结论“AM=MN”还成立吗？

证明? 在AB上截取AG=MC，连接MG. 因为五边形ABCDE是正五边形，所以∠B=∠BCD=108°，AB=BC;因为AG=MC，所以AB-AG=BC-MC，即BG=BM，所以∠BGM=∠BMG=36°，所以∠AGM=180°-∠BGM=180°-36°=144°. 因为CN是∠DCF的平分线，所以∠DCN =36°，所以∠MCN=∠MCD+∠DCN=108°+36°= 144°，所以∠AGM=∠MCN= 144°. 因为∠BMG+∠AMG+∠AMN+∠CMN=180°，∠ABM+∠BAM+∠BMA=180°，所以∠BAM=∠NMC，所以△AGM≌△MCN，所以AM=MN.

设计意图? 此变式旨在深化学生对问题的理解，提高学生发散性和创新性思维能力. 事实上在正五边形、正六边形、正八边形、正九边形等图形中，只要保证∠AMN的度数与正多边形每一个内角度数相等，其他条件不变，即可证明AM=MN.

变式4? 已知：如圖7，正方形ABCD，BM，DN分别是正方形的两个外角平分线，∠MAN= 45°，将∠MAN绕着正方形的顶点A旋转，边AM，AN分别交两条角平分线于点M，N，连接MN.

（1）求证：△ABM∽△NDA;

（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形？并加以证明.

解答? （1）因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°. 因为BM，DN分别是正方形的两个外角平分线，所以∠ABM=∠ADN=135°. 因为∠MAN=45°，所以∠BAM=∠AND=45°-∠DAN. 所以△ABM∽△NDA.

（2）因为四边形BMND为矩形，所以BM=DN，因为△ABM∽△NDA，所以=，所以BM2=AB2，所以BM=AB，所以∠BAM=∠BMA==22.5°.

设计意图? 此变式考查学生相似三角形、特殊四边形的性质和判定等知识的灵活应用，让学生体会从特殊到一般的过程，充分挖掘了学生思维的深度、广度，培养了学生的探究能力.

变式5? 如图8，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，3），点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠ADE=90°，连接OE，求OE的最小值.

解答? 因为∠AOD=∠ADE=∠EHD=90°，所以∠ADO+∠EDH=90°， ∠EDH+∠DEH=90°，所以∠ADO=∠DEH. 因为AD=DE，所以△ADO≌△DEH，所以OA=DH=OC，OD=EH，所以OD=CH=EH，所以∠ECH=45°. 因为y=x+b过点（3，0），所以点E在直线y=x-3上运动，作OE′⊥CE，则△OCE′是等腰直角三角形. 因为OC=3，所以OE′=. 所以OE的最小值为.

设计意图? 此变式相比原题，由浅入深，层层深入，环环相扣，增加相似和最值问题，但迁移应用原题的思路方法，即可找到新问题的本质特征，有利于培养学生化归等数学思想方法.

结束语

作为一线数学教师，我们应该活用、深挖教材例、习题资源，通过不断地融入新知识点，构建原题和变式题之间的知识网络，寻找解题思路的共性，提高几何课堂教学效率，这既可提高教师的专业素养，又能培养并提升学生的核心素养.