从知识教学到素养育人
曲晓平
【摘要】核心素养背景下逆向教学设计二项式定理的学习，目的是要让学生体会研究数学问题的方法和思路，为之后的学习奠定基础.整体教学设计要促进学生逻辑思维能力的培养，要有利于学生核心素养的形成和发展.
【关键词】数学核心素养;逆向教学设计;二项式定理;数学文化
一、课程标准陈述
2018年1月《普通高中数学课程标准（2017年版）》正式提出数学学科的六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.新课程标准强调高中数学课程以学生发展为本，立德树人，提升学生素养，引导学生用数学语言来表达世界.
二、学情分析
本节课的授课对象是高二的学生，他们具有了一定的归纳推理能力，思维比较活跃，已经初步具备了用联系的观点分析问题的能力.而且学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，这对二项式的展开式中各项系数的研究会有很大帮助.
三、教材分析
本节是高中数学人教A版选修2-3第一章第3节的内容.二项式定理是初中所学多项式乘法的延伸.本节内容安排在排列组合之后，随机变量及其分布之前，既是排列组合知识的一个应用，也是为学习二项分布做准备.
四、学习目标
根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：
（1）学生亲自体验二项式定理的发现过程，感受“从特殊到一般的发展历程，从一般到特殊的实践应用”的思想.
（2）通过具体实例让学生掌握二项式定理的内容及推导方法、通项公式的特点，理解二项式系数.
（3）通过二项展开式的探究，培养学生主动学习、勇于探索、乐于创新的精神，感受与同学合作探究的乐趣，体会数学符号语言的简洁美，结合数学史激发学生的爱国主义热情.
五、评价设计
逆向教学设计重视教学评价，尤其强调过程性评价.教师要基于学生的自我评价反思教学过程，总结经验，发现问题，提出改进思路.
六、教学活动设计
（一）创设情境 引入课题
【教师】今天是一个难忘的周三，有好多的数学老师和我们一起学习.同学们，你们知道15天后是星期几吗？33天后又是星期几？82019天后呢？
【学生1】学生口答解决前两个问题.
【教师】要解决最后一个问题就要开始今天“二项式定理”的学习，请同学们阅读学案上的学习目标，了解本节课的学习任务.
【教师】“二项式”并不神秘，我们很早就学习过的完全平方公式就是二项式的一种特殊情况，课前又让大家尝试了用多项式乘法把（a+b）3展开，下面同学们对照大屏幕核对一下答案.
【设计意图】以课堂的真实情况以及生活中的实例引入新课内容的学习，既能引起学生的兴趣，又符合新课程理念，还能提升课堂的实用性.
（二）体验感知 探究归纳
【知识探究一】核对（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b2.
【知識探究二】借助实物教具开展课堂小实验，用黑豆代表字母a，黄豆代表字母b，用排列组合的思想来分析（a+b）3的展开式中的每一项（如下图）.
【学生2】三个括号都选字母a得到a3项，只有一种选法，系数为1;三个括号中一个括号选择字母b，共C13种选法，那么另外两个括号选字母a，只有一种选法，得到a2b，它的系数是C13;三个括号中两个括号选择字母b，共C23种选法，那么另外一个括号选字母a，只有一种选法，得到ab2，它的系数是C23;三个括号都选字母b得到b3项，只有一种选法，系数为1.
【知识探究三】借助刚才的分析，大家尝试写一下（a+b）4的展开式.
【学生3】学生展示（a+b）4=C04a4b0+C14a3b1+C24a2b2+C34ab3+C44a0b4.
【知识探究四】归纳总结（a+b）n的展开式.
【学生4】学生展示（a+b）n=C0nanb0+C1nan-1b1+C2nan-2b2+…+Cnna0bn.
【设计意图】四个探究活动的设置，由易到难，层层递进，遵循学生 “最近发展区”的规律.只有将具体实例进行对比分析，才能得到接近一般性规律的结论.
【知识探究五】形成定理，说理证明.
【教师】（a+b）n=C0nanb0+C1nan-1b1+C2nan-2b2+…+Cnna0bn就是本节课要学习的“二项式定理”，右侧就是二项展开式，它的每一项都是从n个括号中选择k个字母b，从（n-k）个括号中选择字母a，系数是Ckn，从而得到Cknan-kbk（k=0，1，2，3，…，n）.
【教师】学生整理学案，对刚才定理生成部分的学习做出评价.
【过程评价 自我反思】 从下列选项中选择较为贴合自己的学习情况打“”.
（1）参与课堂试验，发表自己观点.（? ）
（2）参与课堂试验，用排列组合思想分析试验结果.（? ）
（3）组织课堂试验，用语言叙述试验过程形成结论.（? ）
【知识探究六】形成定理，归纳特点.
【学生5】学生展示：
（1）通项Cknan-kbk是第k+1项;
（2）项数为n+1;
（3）每一项字母的指数和是n;
（4）a的指数从n→0降序排列，b的指数从0→n升序排列;
（5）C0n，C1n，C2n，…，Cnn叫二项式系数.
【设计意图】先由学生独立完成，然后组织学生分享，完成由特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力.在讨论过程中要明确每一项的形式.
（三）巩固新知，提升能力
巩固应用1：求（1+2x）7的展开式;求展开式中第四项的系数;求展开式中x4的系数.
【学生6】学生展示：
（1+2x）7=C07（2x）0+C17（2x）1+C27（2x）2+C37（2x）3+C47（2x）4+C57（2x）5+C67（2x）6+C77（2x）7，第四项的系数是：C3723=280，
x4的系数是：C4724=560.
【教师】总结展开式中二项式系数和系数的区别.
巩固应用2：求2x-1x6的展开式中第三项的二项式系数和第三项的系数.
【学生7】学生展示：
C26=6×52=15，
C2624=240.
巩固应用3：求x-1x9的展开式中x3的系数.
【学生8】学生展示：
Ck9x9-k-1xk=Ck9-1kx9-2k，
令9-2k=3 得k=3，∴C39-13x3的系数是-84.
【教师】总结用通项求解指定项的问题.
【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系数和系数，培养学生的运算能力.
【教师】学生整理学案，对刚才知识的应用部分的学习做出评价.
【过程评价 自我反思】 从下列选项中选择较为贴合自己的学习情况打“”.
（1）知道二项式定理的原理.（? ）
（2）会独立动手操作，用排列组合思想解释二项式定理.（? ）
（3）[ZK（]掌握二项式定理的原理，能说明白二项式定理的发现过程.（? ）[ZK）]
（四）回顾反思，归纳总结
【学生9】学生分享自己的评价结果，对自己的收获和不足进行反思.
【教师】本节课我们围绕“二项式定理”这个中心目标学习了“从特殊到一般，再由一般到特殊”的数学思想，形成了数学素養.
【设计意图】课堂小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生对本节课的知识进行自我评价，掌握基本数学思维方法，落实数学核心素养.
（五）回扣主题，解决问题
【教师】学习数学的价值在于服务生活，解决实际问题，我们再一次回到本节课一开始的那个问题：82019天后是星期几？同学们可以利用今天所学到的知识和方法尝试解决这个问题.
【学生10】82019=（1+7）2019=C0201970+C1201971+C2201972+…+C2019201972019，
上式中，只有第一项不能被7整除，其余项均能被7整除，所以上式除以7后余数是1，这一天应该是星期四.
【设计意图】在一节课的结尾处回扣一开始的实际问题，锻炼了学生应用数学解决实际问题的能力，同时让学生感悟数学来源于生活，又高于生活的学科特点，增强学生的学习热情.
（六）课下作业，思维延伸
1.巩固型作业
（1）写出（x-1）6的展开式;
（2）写出3x-123xn的展开式的第r+1项.
2.拓展型作业
（1）查阅古代著名数学家杨辉一生的主要成就;
（2）探究二项式系数的性质.
【设计意图】通过课下作业使学生深入理解知识，培养学生的创新精神，增强学生主动探究知识的意识和能力;通过对古代著名数学家生平事迹的查阅，增强学生的爱国主义精神，培养学生学习数学的兴趣.
七、教后反思
这节课结构清晰、环节紧凑、探究性强，生成与预设相映生辉，知识明线与素养暗线交相辉映.笔者在教学过程中放手让学生自主学习探究，充分体现了课堂教学中“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学理念，取得了理想的效果.
