优化知识链，构建中考代数复习策略
项潇莹
【摘要】中考复习是要将碎片化的知识点进行整合与归纳，形成系统性、条理性的知识体系，渗透多维度、多方法的思想方法，以便大范围地解决综合问题.笔者以“一元一次不等式及其应用”的中考专题复习课为例，搭建不等式与方程、函数的关系，呈现不等式的不同形式，帮助学生深刻地了解不等式在初中代数学习中的角色，渗透函数与方程、数形结合、数学建模等思想方法，构建有效的中考代数复习策略.
【关键词】不等式;函数;中考专题
中考复习是基于学生已经具备了初中三年必要的知识基础而展开的，而不是碎片式复习单一知识点.教师在备课时，要思考如何在有限的时间内帮助学生梳理知识结构，进行查漏补缺，从而提高复习效率.这就要求教师在了解学生平时知识的积累后，进一步做出知识迁移引导.基于学生的学情，本文以“搭建知识链——更新知识链——丰富知识链”的复习结构为例，尝试设计有效的中考复习策略.类似的复习方式不仅适用于代数专题复习.
一、确定教学目标
《义务教育数学课程标准（2011版）》对“不等式、函数、方程”提出了两点要求：①掌握用方程、不等式、函数进行表述的方法;②通过用方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识.基于此，本文确定了如下核心教学目标：①了解不等式的意义，掌握不等式的基本性质;②能解一元一次不等式，并在数轴上表示出解集;③能根据具体问题的数量关系列出一元一次不等式，并解决简单的实际问题;④结合函数、方程建立模型意识.同时，本文将教学重点放在利用不等式求最值问题时寻找隐含的不等量关系，引导学生在不等式不同的呈现形式下挖掘不等式的本质，并建立起它与函数、方程的联系.
二、呈现教学预设
活动1：类比引入.
给出方程x+12=2（x+1）3-1，并回顾一元一次方程需满足的条件.将方程的“等号”改为“不等号”，比如x+12≥2（x+1）3-1，那么這个不等式叫作一元一次不等式，类比一元一次方程的定义，回忆起一元一次不等式的定义.
设计意图：作为中考复习课，不选择采用几个具体的不等式来提炼出一元一次不等式的定义，而是以一元一次方程的定义类比引入，不拖泥带水.
活动2：示范讲解，梳理解一元一次不等式的步骤.
提问1：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤相同.
第一步，去分母.两边同时乘最简公分母，不等号方向不改变.这是依据不等式的哪个性质？
提问2：移项要注意什么？
提问3：两边同时除以一个数，依据不等式的哪个性质？要注意什么？
教师请学生代表回答，回顾解不等式的步骤、依据和注意点，最后由教师点拨解不等式与解方程的相同点与不同点.相同点为这两者的步骤相同，皆为“去分母——去括号——移项——合并同类项——两边同时除以未知数前面的系数”;不同点在于解一元一次不等式要注意不等式两边都乘（或都除以）同一个负数要改变不等号的方向.
活动3：配套练习，巧用“差错”解不等式.
例1 解下列不等式：（1）4（x-1）+3≤3x，（2）x+14-4x+36<1，并把解集在数轴上表示出来.
[处理方式]第（1）题直接校对答案;第（2）题展示一位学生的解题过程，请同学们找找错误.
把（2）题作为典型错题展示，让多名同学竞相纠错.
纠错①：第一步去分母，两边同乘24时，1漏乘.
纠错②：最后一步两边同除以同一个负数，没有改变不等号的方向.
追问：改正过后，同学们跟这位同学的做法是一致的吗？
改进：第一步两边同时乘12更快.
教师引导学生完善解不等式的步骤后，请同学代表总结优化解不等式的策略：①不等式两边同时乘同一个数，不能漏乘;②不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向;③去分母时要乘最简公分母，简便计算.
通过此巧用“差错”解不等式环节，学生用主动找错误的方式加深了解不等式的印象，培养了学生的数感和运算能力，达成了目标①和②.
设计意图：继续以作为引入示范的不等式为例示范解不等式的步骤和注意点，再以精选两道练习题加以巩固.第（1）道练习题思维较简单，有两层用途，第一层起到全体学生都能获得解不等式的成就感，第二层是为了后面变式训练的过渡而设计;而第（2）道练习题是初中掌握解不等式的技巧的最高要求，采用了故意试错的方式，既营造了师生互动的氛围，又提炼出学生在解不等式中出现的易错点和最优解题方法，达到了教学目的.
活动4：一题多变，挖掘不等式的本质.
变式1 求不等式4（x-1）+3≤3x的非负整数解.
在上面例1的基础上进行变式，师生共同归纳求不等式的非负整数解（整数解等）的步骤：①解不等式;②利用数轴或解的形式求非负整数解.
变式2 已知关于x的一元一次不等式4（x-1）+2m≤mx，若它的解集是x≥4-2m4-m，求m的取值范围.
一部分学生遇到含参不等式时，不知道参数m该如何处理，无从下手;另外一部分学生直接把两边同时除以（4-m），默认了（4-m）为正数，无法通过题意挖掘隐含的不等式关系.此时教师应先帮助学生理清解题思路，再要求学生作答.
[难点突破]
提问1：题目中既有字母x又有m，谁才是未知数？
预设1：x作为未知数，m是用字母表示的常数，因此我们要将字母m看作常数来解一元一次不等式.
提问2：根据题意你能找到隐含的m的取值范围吗？
预设2：注意不等式两边同时除以含参数的代数式时要先判断正负，并结合题意判断参数的取值范围.
变式3 已知关于x的一元一次不等式4（x-1）+2m≤mx，是否存在这样的m，使它的解集为x≥12？
问题1：变式3与变式2相比，有什么相同与不同？
预设1：不等式的解集范围从含m的代数式变为具体的数，说明可以求出m的具体值.
问题2：求出的m存在吗？为什么？
预设2：m存在的前提是m>4，与求出的m=43矛盾，故m不存在.
通过三道变式题，教师可引导学生归纳含参数的一元一次不等式的解题策略：要把参数看作常数来处理，再结合题意判断出参数的取值范围（或值）.
设计意图：最新的导引本节知识要点去掉了解“数字系数”的一元一次不等式中的“数字系数”，说明初中数学教学提高了对含参不等式的要求，这既是为了加深学生对一元一次不等式的本质理解，有利于后续的函数教学，又起到初高衔接的作用.因此，改编变式1，化数为参，设置变式2，3，能使学生进一步感悟含参不等式的求解方法，且与方程相结合，更加深入理解解不等式的本质.
活动5：数形结合，体会不等式与函数的联系.
例2 如图，函数y=mx+3和y=2x的图像相交于点A（1，n），则不等式mx+3>2x的解集为.
学生自主思考，教师巡视指导，展示两类不同的解题方法.
方法1：把（1，n）代入y=2x，得n=2.
∴A（1，2）.
把A（1，2）代入y=mx+3，得
m+3=2，∴m=-1.则-x+3>2x，解得x<1.
方法2：图像法.记y1=mx+3，y2=2x，当y1>y2时，求自变量x的取值范围，结合图像可直接得出答案：x<1.
两种方式对比鲜明，从视觉体验上冲突学生的认知，用函数图像法解决类似的不等式问题比代数法更为简便，这让学生对函数、不等式、方程三者之间的关系转化有了初步的感觸.
设计意图：例2的设计意图是将不等式作为有效载体，其本质是让学生对函数解析式用几何意义来理解，渗透数形结合的数学思想，含参方程的解可以看作两个函数图像的交点的横坐标，含参不等式可以看作两个函数图像交点左右两侧函数值的大小比较，本题既是对函数、方程、不等式三者之间关系的链接，也是对函数、方程、不等式代数知识几何化的解释.
活动6：例题精析，用不等式知识解决生活中的问题.
【PPT展示】温瑞塘河是我们的母亲河，千百年来一直滋润着温州.近几年，市政府提出“保护母亲河”的计划.现有甲、乙两个工程队承包治污某段长2000米的河段，甲工程队平均每天治污30米，乙工程队平均每天治污25米.由于该工程的施工总时间不超过38天，该区塘河综合治理办让乙工程队先做m天，剩下的工程由甲、乙工程队共同完成，求m的最大值.
提问：小组内相互讨论，并尝试用不同的方法求最值.
方法1：直接利用不等量关系——总时间不超过38天列不等式求解.
m+2000-25m25+30≤38，解得m≤3.所以m的最大值为3.
方法2：间接利用不等量关系——乙m天的工作总量+甲、乙合修（38-m）天的工作量≥2000列不等式求解.
25m+（25+30）（38-m）≥2000，解得m≤3.所以m的最大值为3.
[方法比较]比较两种方法各自的优劣.
方法1列直接不等式
方法2列间接不等式
优点
不等量关系明显
不等量关系需要转化
劣点
解不等式稍显麻烦
解不等式方便、简单
细节处理
解法优化：去分母前先化简，将最简公分母55变为11，能使计算更简便
学生分析完两种不同的方法，对利用不等式求最值有了新的认知，继而在教师引导下归纳出列不等式的关键即为寻求不等量关系.
变式 某村有一段长2000米的河段需要治理，现由甲、乙、丙三个工程队轮流承包完成.已知甲队每天治污30米，乙队每天治污25米，丙队每天治污10米，乙队治理的天数是甲队的2倍，设甲队治理的天数为x天，该工程施工的总天数为n天，求n的最小值.（x，n均为正整数）
方法1：求n的最小值，联想到例题的解法，即寻找关于x的不等关系，步骤如下：①寻找题目隐含的不等关系;②用含n的代数式表示x，消去x;③解只含n的不等式.
在第③步的时候，教师故意示范错误答案，下结论n的最小值为76，然后停顿几秒给予学生思考的时间，再纠正.用不等式求函数最值还要注意考虑实际意义，这是难点也是重点，需要给予学生充足的时间反思.
方法2：求n的最小值，联想到求函数的最值问题，步骤如下：①用含x的代数式表示n;②求出自变量x的取值范围; ③根据函数的增减性确定n的最小值.
通过变式题，学生掌握了求最值问题较为全面的解题策略：①函数的增减性;②不等式.
同时，对于实际问题要考虑自变量的取值范围，求得的结果还要符合实际意义.
设计意图：本环节利用两道题体现了不等式在实际生活中的应用，第1个题侧重于对不等式解应用题中找不等量关系的方法指导，变式题侧重于用不同的方法求最值的问题，进一步凸显函数与不等式的联系.两道题都各自通过不同的角度让学生对应用题有更多的思考，使学生直观地感受到数学知识的实用价值.
【参考文献】
[1]朱从亮.浅谈中考数学复习策略[J].语数外学习（初中版：下旬刊），2014（07）：69.
