构造法在高中数学解题中的应用

    吴鸿儒

    

    

    【摘要】培养数学思维是高中教育环节中不可缺少的一部分，在日常教學过程中，教师虽然不会单独将数学思维的培养作为一门课程进行教授，但是将数学思维的培养渗透在知识的教学中却是十分必要的.构造法的数学思维是数学思想中比较重要的一类，通过对无法直接求解的问题进行抽象，然后将抽象后的问题利用现有知识进行求解框架的构造，再结合题目所给的已知条件进行求解，这类似于简单的数学建模思维.这种方法是解决复杂问题的常用方法，也是提高学生解题效果的重要手段.

    【关键词】构造法;高中数学;解题应用

    一、引言

    在高中数学学习中，如果学生面对复杂的综合性题目无法正面求解计算，就会产生挫败感并降低其学习数学的兴趣.构造法就是解决这一问题的方法之一，其利用数学建模思想对于复杂问题进行抽象和梳理，再构造出解决问题的初等模型，然后根据题目给出的信息进行求解.这个求解的过程就是开拓数学思维的过程，它可以充分锻炼学生的思维能力，以及面对复杂问题的分析能力.

    二、构造法的概念

    （一）构造法的基本概念

    构造法的含义是在面对正常思维无法直接求解的复杂问题时，根据题目所设定的条件，以及所求问题的特征，利用数学建模的思维，将已知的复杂问题进行抽象和分析，得出题目所给的条件和所求解问题的结论、计算结果间的联系[1].它利用题目中的数据、形式、变量名等特性，以题目里所设定的已知条件为基础，采用自身所掌握的数学知识以及理论关系为工具，在思维或其他媒介中构造出符合题目规定并且能够体现求解结果的数学公式或其他对象.学生利用上述方法可将原有题目中所隐藏的数学逻辑关系，以及数学性质在新构造的数学模型中更加清楚地体现出来，并且能根据其更迅速地分析题目所求解的问题，从而更加准确地得出问题的答案.

    （二）构造思维在数学中的体现

    在了解了构造法的基本概念之后，教师在日常教学过程中不仅应该锻炼学生应用构造法去解决实际数学问题，更应该在潜移默化中培养他们形成构造法的数学思维.数学思维的养成体现在平时的方方面面，表现在学生面对复杂问题时，能够灵活地对题目中所包含的有效信息进行抽象，并在脑海里构造出求解问题的基本方法.这种思维的养成有利于学生在未来的学习中更加高效地解决问题，这不仅对数学科目的学习有很大的意义，对其他理工类科目的学习也同等重要.

    三、构造法的意义

    （一）对于解题的意义

    构造法是学生面对复杂题目时常用的数学解题方法，其对于求解复杂的数学题目有着明显的优势，对于此类问题而言，一般的思维方式与解题方法是无法对其进行直接求解和计算的.构造法相当于利用简单的数学模型，对于复杂问题抽象出符号、公式进行中转处理，它是一种高效的间接求解法.对于比较复杂的高中数学题目，尤其是高考数学题目，构造法都是高效解题的重要方法.

    （二）对于培养数学思维的意义

    在学生的数学学习中，数学思维的培养远远比单纯数学能力的培养要重要得多.具有良好数学思维的学生总是可以很快地找到合适的解题方法，再利用自身储备的数学知识对问题进行求解[2].因此数学思维就好比医生治病的药方，而数学知识就像治病的良药，药方的确定自然是正确用药的基础，也是快速将病人医治好的保障.构造法作为数学思维中最重要的思维方式之一，其对于学生数学思维的培养有着巨大的作用，因此合理应用构造法进行题目的求解，是对数学思维的培养和锻炼.

    四、构造法的举例

    在面对复杂的难题时，知识的交叉应用就显得异常关键.构造法的思想之一就是利用较为简单的基础知识，例如数列、平面向量等的性质与运算方式，去解决一般需要利用导数或是产生较大运算量的题目.这就需要学生不仅要掌握构造法的相关知识，还要熟练掌握其他数学知识，并能够将其灵活运用.基于对数学构造法进行基础阐述之后，以下将针对高中数学知识中的几个实例，应用数学构造法对其求解，以具体地说明构造法的重要性.

    （一）构造向量

    在高中数学的解题方法中，向量的应用十分广泛，灵活使用构造向量法会使解题更加清晰和简单.例如，求解一个函数的最大值：fx=3 2-x+3 x+2.直接对其进行求解过程过于复杂，而且需要利用导数等计算量较大的运算方法，学生在计算时很容易出错、失去耐心或是在考试时浪费大量时间[3].而此时利用数学构造法思想构造出平面向量对函数f（x）进行表示，再利用平面向量的相关知识和性质对该问题进行简化计算，不但降低了计算难度，还大大减少了完成题目所需要的时间，可以使学生在考试过程中占得先机.例如，构造平面向量a（3，3），b（ 2-x， x+2），利用向量的数量积公式求a与b的数量积，得到的结果恰好为待求函数f（x），再利用向量的基本性质进行比较运算，则有a·b≤ab=6 2，至此就以向量形式实现了对于函数最大值的求解.其中，构造平面向量a，b是解决此问题的关键，也是构造法的实际体现之一.

    （二）构造数列

    数列在高中数学中占有重要的地位，熟练应用构造数列法可以更加快速地解题，并且还能提高准确性，其有着很高的使用价值.但是构造数列法对学生的数学基础要求很高，必须要有扎实的功底，灵活的思维，才能灵活、熟练地构造数列进行题目的证明与求解.

    1.简单数列的构造

    例如，证明不等式1+2nn<1+2n+1n+1，若要对此不等式进行直接证明需要比较复杂的定理，还需花费大量的时间[4]，但若采用构造数列的方式，就可以较为轻松且清晰地解决该问题.例如，构造数列x1=x2=…=xn=1+2n，xn+1=1，再利用均值不等式的性质对其进行化简，得到x1+…+xn+1n+1≥n+1x1·…·xn+1，因此得出n+1[]1+2nn≤1+n1+2nn+1=1+2[]n+1，结论显然成立.

    上述例题充分说明了构造法在求解复杂题目时的作用，熟练、灵活地掌握构造法的相关知识可以使学生的日常解题过程更加迅速、高效，正确率也将更上一个台阶，对于培养学生的自信心与成就感有着重要的作用.

    2.复杂数列的构造

    已知m1=1，m2=2，且mn+2=32mn+1-12mn（n=1，2，3，…），求mn.首先將该数列的通项公式化简为mn+2-mn+1=12（mn+1-mn）（n=1，2，3，…），再构造数列：nn

    =mn+1-mn，则nn+1=12nn（n=1，2，3，…），由此可知数列{nn}为等比数列，其首项n1=m2-m1=1，其公比q=12，即nn=12n-1，所以mn+1-mn=12n-1（n=1，2，3，…），又mn=（mn-mn-1）+（mn-1-mn-2）+…+（m2-m1）+m1，对该式进行整理以及变形可得到原式=12n-2+12n-3+…+12+1+1=3-12n-2（n=1，2，3，…）.通过该例题可以看出，构造数列对于问题的化简和求解有着巨大的帮助，但是其操作难度较高，对于学生的基础有着较高的要求，因此夯实数学基础对于计算复杂问题起着重要的作用.

    （三）构造方程

    在高中数学的学习中，尤其是高考中，许多问题都离不开方程与函数，因此对于许多并不是单纯的方程问题或是函数问题的问题，在解题时依然可以利用构造方程式的方法进行辅助计算.这不但可以降低计算量，也可以促进学生掌握方程以及函数的解题思想.下面将以两个实际问题为例，对构造方程法进行具体的描述与介绍.

    1.计算类例题

    已知等式x-1+x-2+1=0，y2+y4+1=0，且有1-xy2≠0，求xy2+1x的值.首先根据题目所示的已知条件可得（x-1）2+x-1+1=0，且（y2）2+y2+1=0，而1-xy2≠0，即有x-1≠y2，故求xy2+1[]x的值可转化为求x-1+y2的值，因此可构造方程式x2+x+1=0，把x-1以及y2看作是该方程式不相等的两个实数根，再根据求根公式即可轻易求解：x-1+y2=-1，因此xy2+1x的值为-1.这个实例是利用构造方程法计算复杂问题的典型例题，当待计算的问题过于复杂，或是计算量较大会造成时间上的浪费时，应该灵活地考虑采用构造法等简便方法对复杂问题进行转化后再进行求解，这样可以达到事半功倍的效果.

    2.证明分析类

    若在抛物线y=mx2-1（m≠0）上有关于直线c：x+y=0对称的两个点，求参数m的取值范围.首先对该问题进行分析有：若抛物线上存在着两个点关于直线c对称，则这两个点一定在抛物线关于直线c的对称抛物线上.直线c的解析式为x+y=0，是二、四象限的角平分线，故需要构造抛物线y=mx2-1（m≠0）关于直线c的对称抛物线-x=my2-1，此时原问题经构造方程后已转化为曲线交点问题，具体解法如下：由方程y=mx2-1，-x=my2-1可得x+y=m（x+y）（x-y），由于对称的点不可能在直线c上，因此x+y≠0，又因为m≠0，所以y=x-1m，将其代入y=mx2-1可得mx2-x+1m-1=0，此方程有两个不同实数根，其充分必要条件为：Δ=1-4m1m-1>0，解得m>34，因此m的取值范围为34，+∞.

    在巧妙应用构造方程法对原问题进行适当的转化后，使得原本复杂的问题变得更加形象、更加清晰，可见构造法在高中数学中占有重要的地位，可帮助考生在考试中争取更多的时间.

    根据上述例题所体现的构造法思想可知，教师在日常的教学中一定要注重培养学生的数学思维能力.这不仅体现在单一的数学解题方法的传授上，还体现在更广泛的、潜移默化的培养.例如，在教学过程中增加与学生的交流和互动，这不仅对于文史类学科的教学有着巨大的帮助，对于理科也可以使教师更好地发现学生对于知识掌握上的问题和缺失，并对其进行及时的辅导.数学思想的培养是终身的，其意义不仅在于学好数学科目，更在于培养严谨认真的学习态度以及灵活的思维.

    【参考文献】

    [1]杨丽菲.高中数学解题中应用构造法的实践尝试[J].科学大众（科学教育），2018（12）：7.

    [2]佟佳宏科.试论高中数学解题中运用构造法的措施[J].科学大众（科学教育），2016（11）：29.

    [3]德吉.试论高中数学解题中运用构造法的措施[J].西藏科技，2015（03）：38-39.

    [4]张守俊.探析构造法在数学解题中运用[J].赤子（中旬），2014（14）：240.