突发事件影响下应急物资的库存管理策略
王芹 高志军 徐最 王筱莉 赵来军
摘要：
为优化应急物资的资源配置，最大化零售商的利润，引入突发事件可控性系数和应急物资需求率弹性系数，构建反映突发事件响应期和恢复期特征的两阶段需求率函数，建立两阶段应急物资库存模型，研究突发事件可控性和应急物资需求弹性对零售商订货批量和利润的影响规律。运用最优性原理分析应急物资最优订货批量、最佳订货周期和零售商最大利润的存在性问题。通过数值分析提出突发事件影响下应急物资的库存管理策略。
关键词：
应急管理; 弹性需求; 库存损耗; 订货批量
中图分类号： F253
文献标志码： A
Inventory management strategy of emergency materials
under influence of emergencies
WANG Qin1，2， GAO Zhijun1， XU Zui1， WANG Xiaoli3， ZHAO Laijun2
（1. School of Transport & Communications， Shanghai Maritime University， Shanghai 201306， China;
2a. Sino-US Global Logistics Institute， Shanghai Jiaotong University， Shanghai 200030， China;
2b. Antai College of Economics and Management， Shanghai Jiaotong University， Shanghai 200052， China;
3. School of Management， Shanghai University of Engineering Science， Shanghai 201620， China）
Abstract：
To optimize resource allocation of emergency materials and maximize the profit of retailers， the controllability coefficient of emergencies and the demand rate elasticity coefficient of emergency materials are introduced， two-stage demand rate functions are built to reflect the characteristics of the response period and the recovery period of emergencies， and a two-stage inventory model of emergency materials is established. The influence of the controllability of emergencis and the demand elasticity of emergency materials on the order quantity and profit of retailers is studied. By the principle of optimality， the existence issues of the optimal order quantity， the optimal order cycle period and the maximum profit of retailers are analyzed. Through numerical analysis， the inventory management strategies of emergency materials under influence of emergencies are proposed.
Key words：
emergency management; elastic demand; inventory shrinkage; order quantity
收稿日期： 2017-06-07
修回日期： 2017-09-06
基金项目： 国家自然科学基金（71402094;71503163）;国家社会科学基金（15CJY057）;上海市浦江人才计划（14PJC073，14PJC060）;上海高校青年教师培养资助计划（ZZGCD15093）;上海市哲学社会科学规划青年项目（2015EGL007）
作者簡介：
王芹（1983—），女，山东枣庄人，讲师，博士，研究方向为物流管理理论与实践，（E-mail）qinwang@shmtu.edu.cn
0 引 言
近年来，突发事件频繁发生，严重扰乱了供应链上各节点企业的正常运作，造成原材料、零部件、在制品和产成品的缺货或库存积压[1-2]。例如，日本核辐射事件引发碘盐抢购，我国大范围雾霾天气造成短期内口罩和净化器需求急剧上升，埃博拉疫情爆发引发全球巧克力供应链危机，2016年的韩进海运破产引发全球供应链混乱。此种情景下，众多学者研究了突发事件背景下应急物资的库存管理、定价、转运和应急生产能力储备等问题，以降低供应链风险，实现各节点企业间良好的协调运作。
突发事件发生后，采用应急转运策略有利于应急物资的库存优化。AXSATE[3]提出在二级应急物流系统中采用转运策略可以有效提高应急物资的库存管理水平。KUTANOGLU等[4]研究了不同转运策略与应急物资库存数量之间的相互作用机制。刘学恒等[5]和汪传旭等[6]运用粒子群算法分析了二级应急物资供应链的应急转运策略和库存优化问题，并且在时限约束影响下，通过比较不同策略下的总成本，指出在一定条件下采用完全转运和就近原则有利于进一步优化应急物资的库存管理水平。
采取应急物资战略库存策略能够有效应对突发事件。丁斌等[7]考虑应急物资储备的库存管理策略，指出政府提前支付给供应商贷款有利于供应商代储应急物资库存策略的顺利实施。孙琦等[8]研究了供应链突发事件影响下企业独立应对和建立联盟联合应对的应急物资库存管理策略，指出企业采取联合应急战略库存策略能够应对突发事件造成的需求激增问题。通过调整数量折扣可提高零售商的利润。张捍东等[9]认为数量折扣对需求率和最优订货批量有很大的影响，折扣前需求率仅与时间相关，折扣后需求率还受到库存水平的影响。祝志强等[10]建立了需求率为反比例函数的最优订货模型，并给出了最优订货策略。许甜甜等[11]研究了时滞变质物品的库存协调策略，指出单个生产商和单个零售商可以通过调整最优批发价格和数量折扣实现利润最大化。
突发事件的发生会影响应急物资的需求量和企业的库存水平，研究应急物资的库存优化问题有利于零售商规避风险，提高利润[12-13]。孙琦等[14]建立了一个考虑突发事件发生概率的安全库存模型，从成本控制的角度提出了一种既能抵抗突发事件冲击又能提高服务水平的库存管理策略。秦军昌等[15]从纵向集成角度分析了恢复期应急物资需求量与响应期应急物资短缺量之间的非线性关系，构建了基于跨期一体化的应急物资库存模型，指出适当的应急物资库存量可以降低总成本。张自立等[16]研究了在突发事件不同发展阶段应急物资的增量变化规律和生产能力储备问题，给出了短期内应对应急物资需求波动的有效策略。突发事件的发生会使某物资需求发生波动，供应商为了应对这种情况往往采取随机发货和动态定价策略，从而最大化企业的利润。张文杰等[17]指出当单位库存持有成本较低时，设置缓冲库存是零售商应对供应不稳定时供应商随机定价和随机发货的有效策略。张庆等[18]的研究表明在需求不稳定的情况下，随机需求是销售价格的线性函数，通过建立双渠道（在线渠道和传统渠道）情景下的库存模型，提出联合库存决策可以降低系统的缺货风险。
上述参考文献主要研究突发事件不确定情景下应急库存的协调策略，为降低供应链风险和提高企业利润作出了重大贡献。相关模型研究中的产品需求呈现两种特征：（1）产品需求是显性函数，一般是时间或价格的线性函数，或者是时间的反比例函数或指数函数。（2）产品需求是隐函数，服从某种分布（均匀分布，Poisson分布），且标准差与安全库存呈线性关系。然而，考虑突发事件可控性和应急物资需求弹性对零售商订货批量和利润的影响机理的研究比较少。本文首先引入突发事件可控性系數和应急物资需求率弹性系数，构建反映突发事件响应期和恢复期特征的两阶段需求率函数。与之前的研究相比，考虑的因素更贴近现实，有利于零售商根据突发事件响应期和恢复期的需求率函数特征，合理规划订货批量和预测利润变化趋势。在此基础上，分析突发事件可控性和应急物资需求弹性对零售商订货批量和利润的影响机理，并提出突发事件影响下应急物资库存管理策略。
1 应急物资的库存管理模型
1.1 基本假设与符号说明
突发事件带来的突发需求对应急物资的需求率和经济订货批量会产生显著影响，假设：（1）由单一供应商和单一零售商组成的短周期供应链，一次订货满足一个订货周期的需求;（2）在突发事件持续时间内，应急物资需求量较大，应急物资没有剩余;（3）不考虑仓库容量的限制。
Q为突发事件发生初期应急物资的经济订货批量;T为应急物资供给的持续周期;t0为应急物资需求率突变转折时刻，t0≤T;ε1和ε2分别为响应期和恢复期突发事件可控性系数，ε1>0，ε2>0;k1和k2分别为响应期和恢复期应急物资需求率弹性系数，k1>0，k2>0;П为零售商获得的利润;p为零售商销售单位应急物资的价格;q为零售商购买单位应急物资的价格;α为一次订货的固定费用;β为单位应急物资的单次订货成本;h为单位应急物资单位时间的库存持有成本;γ为应急物资的损耗率，0≤γ≤1;D1（t）为突发事件响应期t时刻应急物资的需求率，0<t≤t0;D2（t）为突发事件恢复期t时刻应急物资的需求率，t0<t≤T;I1（t）为突发事件响应期t时刻应急物资的库存量，0<t≤t0;I2（t）为突发事件恢复期t时刻应急物资的库存量，t0<t≤T。
1.2 模型的建立、分析与求解
突发事件大多具有爆发时间非常短、波及范围比较大和破坏性非常强等特点。此种情景下，应急物资需求率呈现先增后减的变化趋势，见图1。在突发事件爆发时，应急物资需求率随时间的推移逐渐增加，且当突发事件负面效应显现时，公众的恐慌心理和从众抢购行为使得应急物资需求量瞬间剧增，致使整个响应期应急物资需求率增长速度呈现出先慢后快的趋势;在突发事件恢复期，随着应急预案的启动和实施，顾客的非理性抢购行为得到进一步控制，又由于前期购买力已经透支，应急物资需求市场呈现疲软状态，致使市场上应急物资的实际需求率快速下降，且下降速度先快后慢。基于文献[2]和[10]，具有这种变化特征的需求率可以用分段反比例函数进行拟合：
D1（t）=k1t0-t+ε1， 0<t≤t0 （1）
D2（t）=k2t-t0+ε2， t0<t≤T （2）
ki（i=1，2）反映应急物资需求率变化的弹性大小：ki越小，应急物资需求率越低，单位时间内应急物资需求率波动幅度越小;ki越大，应急物资需求率越高，单位时间内应急物资需求率波动幅度越大。突发事件可控性系数εi不同时应急物资需求率随时间变化的曲线见图2：εi越小，应急物资需求率随时间变化越剧烈;εi越大，应急物资需求率随时间变化越缓慢。
考虑初期订货批量Q，在一次订货的持续周期内，库存变化率[9]满足
dI（t）dt=-D（t）1-γt （3）
假设制造商或供应商在0时刻将应急物资运送到零
图1 需求率随时间变化曲线
图2 εi不同时需求率随时间变化曲线
售商，零售商在T时刻销售出所有应急物资，那么
I1（0）=Q， I2（T）=0， I1（t0）=I2（t0） （4）
故有k1ε2=k2ε1。
在应急物资需求量急剧增加的响应期和应急物资需求量急剧下降的恢复期，零售商的库存变化率分别满足
dI1（t）dt=-k1（t0-t+ε1）（1-γt）， 0<t≤t0
dI2（t）dt=-k2（t-t0+ε2）（1-γt）， t0<t≤T
由边界条件（4），可得
I1（t）=-k1A1γlnt0-t+ε11/γ-t+c1， 0<t≤t0
I2（t）=k2A2γln（t-t0+ε2）（1-γT）（1-γt）（T-t0+ε2）， t0<t≤T
其中，
A1=-γ1-γ（t0+ε1）， A2=-γ1-γ（t0-ε2）
c1=k1A1γlnε11/γ-t0+k2A2γlnε2（1-γT）（1-γt0）（T-t0+ε2）
由边界条件（4）可知，初期订货批量为
Q=k1A1γlnε1（1-γt0）（t0+ε1）+
k2A2γlnε2（1-γT）（1-γt0）（T-t0+ε2）
（5）
在一次訂货的持续周期内，零售商的库存持有成本为响应期与恢复期的库存持有成本之和：
CH=h∫t00I1（t）dt+h∫Tt0I2（t）dt=
hk1A1γ（t0+ε1）lnε1t0+ε1+1γln11-γt0+
hk2A2γ（t0-ε2）lnε2T-t0+ε2+1γln1/γ-T1/γ-t0
零售商的总销售收入为响应期与恢复期的销售收入之和：
CR=p∫t00D1（t）dt+p∫Tt0D2（t）dt=
pk1lnt0+ε1ε1+pk2lnT-t0+ε2ε2
零售商的利润函数为其总销售收入减去库存持有成本、购买成本和订货成本，即
Π（T）=CR-CH-qQ-（α+βQ）=
C0+pk2ln（T-t0+ε2）-
hk2A2γ-1（ε2-t0）ln（T-t0+ε2）+γ-1×
ln（1/γ-T）-
（q+β）k2A2γln1/γ-TT-t0+ε2
（6）
其中，
C0=pk1lnt0+ε1ε1-pk2ln ε2-
hk1A1γ（t0+ε1）lnε1t0+ε1-1γln（1-γt0）-
hk2A2γ（t0-ε2）ln ε2-1γln（1/γ-t0）-α-
（q+β）k1A1γlnε1（1-γt0）（t0+ε1）+
k2A2γlnε21/γ-t0
命题 存在唯一的T*， 使得应急物资零售商的利润函数Π（T）最大，且T*=（p-q-β）/（h+γp）。
证明 零售商获得利润的首要条件是单位应急物资的零售价格大于单位应急物资的购买成本与单次订货成本之和，即p-q-β>0。令
L1=pk2+k2A2（h（t0-ε2）+q+β）/γ
L2=k2A2（h/γ+q+β）/γ
则有
dΠ（T）dT=L1T-t0+ε2-L2T-1/γ
令dΠ（T）dT=0，可得Π（T）的唯一驻点T*=（p-q-β）/（h+γp）。
Π（T）关于订货周期T二阶可导，且
d2Π（T）dT2=-L1（T-t0+ε2）2+L2（T*-1/γ）2
由L2<0和dΠ（T）dTT=T=0可得
d2Π（T）dT2T=T*=L2（1/γ-t0+ε2）（T*-1/γ）2（T*-t0+ε2）<0
因为T*是Π（T）的唯一驻点，故Π（T）在T*处取得极大值。又因为
limT→0+ Π′（T）=L1/（ε2-t0）+γL2>0
limT→（1/γ）+ Π′（T）=-∞<0
所以П（T）在T*处存在最大值。证毕。
把T*=（p-q-β）/（h+γp）分别代入式（5）和（6），就能得到零售商的最优订货批量Q*和最大利润П*。
2 数值分析
在上述理论分析的基础上，通过固定次要参数，分析主要参数对零售商利润的影响规律。假设p=20元，q=15元，α=10元，β=0.02元，h=0.1元，γ=0.005，t0=1，ε1=0.1，ε2=0.01，k1=200，k2=20。根据模型进行求解，得到Q* ≈742件，П* ≈6 227元。Q和П随T的变化曲线如图3所示，随着T的增加，П先快速增加，后逐渐减少，最后迅速减少。图4为П随ε1和ε2变化的曲面图。由图4可知：在其他参数固定时，在突发事件的响应期，随着ε1的增加，П显著增加，且增加幅度先快后慢;在突发事件的恢复期，随着ε2的增加，П逐渐减少，且减少幅度先快后慢，最后趋于稳定。图5为П随k1和k2变化的曲面图。由图5可知：在突发事件响应期，随着k1的增加，П逐渐增加，但增加幅度逐渐变缓;在突发事件恢复期，随着k2的增加，П显著增加，且增加幅度先快后慢。
图3 Q和Π随T的变化曲线
图4 Π随ε1和ε2变化的曲面
图5 Π随k1和k2变化的曲面
由此可见，在突发事件响应期，应急物资需求率较高，政府应当采取措施降低需求突变的速度，如：与供应链企业合作，快速调运物品，从而提高应急响应能力;及时通过官方微博发布有关缺货产品的真实信息，并进一步疏导受众群体的恐慌心理，减少其抢购和囤积应急物资等非理性行为。突发事件恢复期，突发事件的影响范围和影响力度逐渐减小，应急物资需求率波动幅度不大，此时应当加强对应急物资的合理化管理，减少物品损耗率，如：对易腐物品进行分级、分类，确定合理的运输条件和运输设备;进行合理化储存，降低库存损耗。
3 结 论
突发事件发生时，顾客抢购和囤积应急物资的从众行为导致零售商的利润发生剧烈波动。本文构建了描述应急需求发生快速变化的两阶段需求率函数，建立了两阶段应急物资库存模型，研究了突发事件可控性和应急物资需求弹性对零售商订货批量和利润的影响。运用最优性原理分析了应急物资最优订货批量、最佳订货周期和零售商最大利润的存在性。通过数值分析提炼出订货周期、突发事件可控性系数和应急物资需求率弹性系数对零售商订货批量和利润的影响规律。
研究表明：（1）零售商利润随着订货周期的增加呈现出先快速增加，然后逐渐减少，最后快速减少的趋势。（2）突发事件可控性程度和需求波动情况影响零售商的利润。在突发事件响应期，应急物资需求率激增导致零售商利润快速增加;在突发事件恢复期，局势可控性强，零售商利润稳步增加。（3）随着应急物资需求率弹性系数的增加，在突发事件响应期和恢复期，零售商的利润都呈现出增加的趋势，但是增加幅度逐渐变缓。
相关部门可以采取如下措施降低供应链的风险：（1）在突发事件响应期，可以通过及时发布应急物资需求信息，完善应急管理信息平台，提高突发事件可控性，同时，应该客观评估应急物资的实际需求情况，与企业合作建立应急物资储备系统，加快应急物资供应，避免零售商为获取高额利润过度放大应急物资需求的局势的出现。（2）在突发事件恢复期，应急物资的库存管理策略应侧重于稳定需求，加强应急物资的合理化管理，避免短生命周期的应急物资出现质量问题造成需求率发生大的波动。
今后的工作主要考虑缺货、产品变质和随机需求率对应急物资零售商订货批量和利润的影响，这些扩展将增加理论分析的复杂性，但会使模型更贴近现实，为在需求不稳定时企业进行决策提供参考。
参考文献：
[1]WANG Q， ZHAO L J， HUANG R B， et al. Interaction of media and disease dynamics and its impact on emerging infection management[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B， 2015， 20（1）： 215-230.
[2]ZHAO L J， WANG Q， CHENG J J， et al. The impact of authorities media and rumor dissemination on the evolution of emergency[J]. Physica A， 2012， 391（15）： 3978-3987.
[3]AXSATE S. Evaluation of unidirectional lateral transshipments and substitutions in inventory systems[J]. European Journal of Operational Research， 2003， 149（2）： 438-447.
[4]KUTANOGLU E， MAHAJAN M. An inventory sharing and allocation method for a multi-location service parts logistics network with time-based service levels[J]. European Journal of Operational Research， 2009， 194（3）： 728-742.
[5]劉学恒， 汪传旭， 许长延. 带有时限的多点应急系统库存策略优化研究[J]. 计算机工程与应用， 2012， 48（7）： 212-216.
[6]汪传旭， 许长延， 刘学恒. 不确定环境下多需求点应急转运库存策略[J]. 计算机集成制造系统， 2011， 17（9）： 2022-2028.
[7]丁斌， 桂斌. 基于合作博弈的预付条件下应急物资库存策略[J]. 运筹与管理， 2011， 20（3）： 60-65.
[8]孙琦， 陈娟， 季建华. 供应网络横向联合应急战略库存策略研究[J]. 工业工程与管理， 2009， 14（2）： 16-20.
[9]张捍东， 王青云， 岑豫皖. 弹性需求条件下具有库存损耗的经济订货批量模型[J]. 计算机集成制造系统， 2009， 15（8）： 1528-1533.
[10]祝志强， 毛晓丽， 张双宝. 一类需求率为反比例型函数的库存模型[J]. 武汉科技大学学报（自然科学版）， 2007， 30（2）： 214-216.
[11]许甜甜， 肖条军. 基于数量折扣的时滞变质物品库存协调模型[J]. 系统工程理论与实践， 2013， 33（7）： 1690-1698.
[12]隽志如， 王海燕. 基于需求分布突变检测的两阶段库存管理方法[J]. 系统工程学报， 2013， 28（5）： 651-659.
[13]刘名武， 魏晓梅. 两类需求下双源供应的库存配置策略[J]. 系统工程， 2016， 34（4）： 84-88.
[14]孙琦， 季建华. 基于服务水平的供应链突发事件安全问题研究[J]. 上海管理科学， 2010， 32（5）： 72-75.
[15]秦军昌， 王刊良. 基于跨期的应急物资库存模型[J]. 系统管理学报， 2009， 18（1）： 100-106.
[16]张自立， 李向阳， 张紫琼. 基于生产能力储备的应急产品生产问题[J]. 计算机集成制造系统， 2009， 18（1）： 146-150.
[17]张文杰， 骆建文. 供应不稳定时零售商战略库存决策研究[J]. 管理工程学报， 2013， 27（4）： 62-66.
[18]张庆， 张智超， 赵伟峰， 等. 需求扰动下的双渠道联合库存控制策略[J]. 统计与决策， 2016（15）： 44-48.
摘要：
为优化应急物资的资源配置，最大化零售商的利润，引入突发事件可控性系数和应急物资需求率弹性系数，构建反映突发事件响应期和恢复期特征的两阶段需求率函数，建立两阶段应急物资库存模型，研究突发事件可控性和应急物资需求弹性对零售商订货批量和利润的影响规律。运用最优性原理分析应急物资最优订货批量、最佳订货周期和零售商最大利润的存在性问题。通过数值分析提出突发事件影响下应急物资的库存管理策略。
关键词：
应急管理; 弹性需求; 库存损耗; 订货批量
中图分类号： F253
文献标志码： A
Inventory management strategy of emergency materials
under influence of emergencies
WANG Qin1，2， GAO Zhijun1， XU Zui1， WANG Xiaoli3， ZHAO Laijun2
（1. School of Transport & Communications， Shanghai Maritime University， Shanghai 201306， China;
2a. Sino-US Global Logistics Institute， Shanghai Jiaotong University， Shanghai 200030， China;
2b. Antai College of Economics and Management， Shanghai Jiaotong University， Shanghai 200052， China;
3. School of Management， Shanghai University of Engineering Science， Shanghai 201620， China）
Abstract：
To optimize resource allocation of emergency materials and maximize the profit of retailers， the controllability coefficient of emergencies and the demand rate elasticity coefficient of emergency materials are introduced， two-stage demand rate functions are built to reflect the characteristics of the response period and the recovery period of emergencies， and a two-stage inventory model of emergency materials is established. The influence of the controllability of emergencis and the demand elasticity of emergency materials on the order quantity and profit of retailers is studied. By the principle of optimality， the existence issues of the optimal order quantity， the optimal order cycle period and the maximum profit of retailers are analyzed. Through numerical analysis， the inventory management strategies of emergency materials under influence of emergencies are proposed.
Key words：
emergency management; elastic demand; inventory shrinkage; order quantity
收稿日期： 2017-06-07
修回日期： 2017-09-06
基金项目： 国家自然科学基金（71402094;71503163）;国家社会科学基金（15CJY057）;上海市浦江人才计划（14PJC073，14PJC060）;上海高校青年教师培养资助计划（ZZGCD15093）;上海市哲学社会科学规划青年项目（2015EGL007）
作者簡介：
王芹（1983—），女，山东枣庄人，讲师，博士，研究方向为物流管理理论与实践，（E-mail）qinwang@shmtu.edu.cn
0 引 言
近年来，突发事件频繁发生，严重扰乱了供应链上各节点企业的正常运作，造成原材料、零部件、在制品和产成品的缺货或库存积压[1-2]。例如，日本核辐射事件引发碘盐抢购，我国大范围雾霾天气造成短期内口罩和净化器需求急剧上升，埃博拉疫情爆发引发全球巧克力供应链危机，2016年的韩进海运破产引发全球供应链混乱。此种情景下，众多学者研究了突发事件背景下应急物资的库存管理、定价、转运和应急生产能力储备等问题，以降低供应链风险，实现各节点企业间良好的协调运作。
突发事件发生后，采用应急转运策略有利于应急物资的库存优化。AXSATE[3]提出在二级应急物流系统中采用转运策略可以有效提高应急物资的库存管理水平。KUTANOGLU等[4]研究了不同转运策略与应急物资库存数量之间的相互作用机制。刘学恒等[5]和汪传旭等[6]运用粒子群算法分析了二级应急物资供应链的应急转运策略和库存优化问题，并且在时限约束影响下，通过比较不同策略下的总成本，指出在一定条件下采用完全转运和就近原则有利于进一步优化应急物资的库存管理水平。
采取应急物资战略库存策略能够有效应对突发事件。丁斌等[7]考虑应急物资储备的库存管理策略，指出政府提前支付给供应商贷款有利于供应商代储应急物资库存策略的顺利实施。孙琦等[8]研究了供应链突发事件影响下企业独立应对和建立联盟联合应对的应急物资库存管理策略，指出企业采取联合应急战略库存策略能够应对突发事件造成的需求激增问题。通过调整数量折扣可提高零售商的利润。张捍东等[9]认为数量折扣对需求率和最优订货批量有很大的影响，折扣前需求率仅与时间相关，折扣后需求率还受到库存水平的影响。祝志强等[10]建立了需求率为反比例函数的最优订货模型，并给出了最优订货策略。许甜甜等[11]研究了时滞变质物品的库存协调策略，指出单个生产商和单个零售商可以通过调整最优批发价格和数量折扣实现利润最大化。
突发事件的发生会影响应急物资的需求量和企业的库存水平，研究应急物资的库存优化问题有利于零售商规避风险，提高利润[12-13]。孙琦等[14]建立了一个考虑突发事件发生概率的安全库存模型，从成本控制的角度提出了一种既能抵抗突发事件冲击又能提高服务水平的库存管理策略。秦军昌等[15]从纵向集成角度分析了恢复期应急物资需求量与响应期应急物资短缺量之间的非线性关系，构建了基于跨期一体化的应急物资库存模型，指出适当的应急物资库存量可以降低总成本。张自立等[16]研究了在突发事件不同发展阶段应急物资的增量变化规律和生产能力储备问题，给出了短期内应对应急物资需求波动的有效策略。突发事件的发生会使某物资需求发生波动，供应商为了应对这种情况往往采取随机发货和动态定价策略，从而最大化企业的利润。张文杰等[17]指出当单位库存持有成本较低时，设置缓冲库存是零售商应对供应不稳定时供应商随机定价和随机发货的有效策略。张庆等[18]的研究表明在需求不稳定的情况下，随机需求是销售价格的线性函数，通过建立双渠道（在线渠道和传统渠道）情景下的库存模型，提出联合库存决策可以降低系统的缺货风险。
上述参考文献主要研究突发事件不确定情景下应急库存的协调策略，为降低供应链风险和提高企业利润作出了重大贡献。相关模型研究中的产品需求呈现两种特征：（1）产品需求是显性函数，一般是时间或价格的线性函数，或者是时间的反比例函数或指数函数。（2）产品需求是隐函数，服从某种分布（均匀分布，Poisson分布），且标准差与安全库存呈线性关系。然而，考虑突发事件可控性和应急物资需求弹性对零售商订货批量和利润的影响机理的研究比较少。本文首先引入突发事件可控性系數和应急物资需求率弹性系数，构建反映突发事件响应期和恢复期特征的两阶段需求率函数。与之前的研究相比，考虑的因素更贴近现实，有利于零售商根据突发事件响应期和恢复期的需求率函数特征，合理规划订货批量和预测利润变化趋势。在此基础上，分析突发事件可控性和应急物资需求弹性对零售商订货批量和利润的影响机理，并提出突发事件影响下应急物资库存管理策略。
1 应急物资的库存管理模型
1.1 基本假设与符号说明
突发事件带来的突发需求对应急物资的需求率和经济订货批量会产生显著影响，假设：（1）由单一供应商和单一零售商组成的短周期供应链，一次订货满足一个订货周期的需求;（2）在突发事件持续时间内，应急物资需求量较大，应急物资没有剩余;（3）不考虑仓库容量的限制。
Q为突发事件发生初期应急物资的经济订货批量;T为应急物资供给的持续周期;t0为应急物资需求率突变转折时刻，t0≤T;ε1和ε2分别为响应期和恢复期突发事件可控性系数，ε1>0，ε2>0;k1和k2分别为响应期和恢复期应急物资需求率弹性系数，k1>0，k2>0;П为零售商获得的利润;p为零售商销售单位应急物资的价格;q为零售商购买单位应急物资的价格;α为一次订货的固定费用;β为单位应急物资的单次订货成本;h为单位应急物资单位时间的库存持有成本;γ为应急物资的损耗率，0≤γ≤1;D1（t）为突发事件响应期t时刻应急物资的需求率，0<t≤t0;D2（t）为突发事件恢复期t时刻应急物资的需求率，t0<t≤T;I1（t）为突发事件响应期t时刻应急物资的库存量，0<t≤t0;I2（t）为突发事件恢复期t时刻应急物资的库存量，t0<t≤T。
1.2 模型的建立、分析与求解
突发事件大多具有爆发时间非常短、波及范围比较大和破坏性非常强等特点。此种情景下，应急物资需求率呈现先增后减的变化趋势，见图1。在突发事件爆发时，应急物资需求率随时间的推移逐渐增加，且当突发事件负面效应显现时，公众的恐慌心理和从众抢购行为使得应急物资需求量瞬间剧增，致使整个响应期应急物资需求率增长速度呈现出先慢后快的趋势;在突发事件恢复期，随着应急预案的启动和实施，顾客的非理性抢购行为得到进一步控制，又由于前期购买力已经透支，应急物资需求市场呈现疲软状态，致使市场上应急物资的实际需求率快速下降，且下降速度先快后慢。基于文献[2]和[10]，具有这种变化特征的需求率可以用分段反比例函数进行拟合：
D1（t）=k1t0-t+ε1， 0<t≤t0 （1）
D2（t）=k2t-t0+ε2， t0<t≤T （2）
ki（i=1，2）反映应急物资需求率变化的弹性大小：ki越小，应急物资需求率越低，单位时间内应急物资需求率波动幅度越小;ki越大，应急物资需求率越高，单位时间内应急物资需求率波动幅度越大。突发事件可控性系数εi不同时应急物资需求率随时间变化的曲线见图2：εi越小，应急物资需求率随时间变化越剧烈;εi越大，应急物资需求率随时间变化越缓慢。
考虑初期订货批量Q，在一次订货的持续周期内，库存变化率[9]满足
dI（t）dt=-D（t）1-γt （3）
假设制造商或供应商在0时刻将应急物资运送到零
图1 需求率随时间变化曲线
图2 εi不同时需求率随时间变化曲线
售商，零售商在T时刻销售出所有应急物资，那么
I1（0）=Q， I2（T）=0， I1（t0）=I2（t0） （4）
故有k1ε2=k2ε1。
在应急物资需求量急剧增加的响应期和应急物资需求量急剧下降的恢复期，零售商的库存变化率分别满足
dI1（t）dt=-k1（t0-t+ε1）（1-γt）， 0<t≤t0
dI2（t）dt=-k2（t-t0+ε2）（1-γt）， t0<t≤T
由边界条件（4），可得
I1（t）=-k1A1γlnt0-t+ε11/γ-t+c1， 0<t≤t0
I2（t）=k2A2γln（t-t0+ε2）（1-γT）（1-γt）（T-t0+ε2）， t0<t≤T
其中，
A1=-γ1-γ（t0+ε1）， A2=-γ1-γ（t0-ε2）
c1=k1A1γlnε11/γ-t0+k2A2γlnε2（1-γT）（1-γt0）（T-t0+ε2）
由边界条件（4）可知，初期订货批量为
Q=k1A1γlnε1（1-γt0）（t0+ε1）+
k2A2γlnε2（1-γT）（1-γt0）（T-t0+ε2）
（5）
在一次訂货的持续周期内，零售商的库存持有成本为响应期与恢复期的库存持有成本之和：
CH=h∫t00I1（t）dt+h∫Tt0I2（t）dt=
hk1A1γ（t0+ε1）lnε1t0+ε1+1γln11-γt0+
hk2A2γ（t0-ε2）lnε2T-t0+ε2+1γln1/γ-T1/γ-t0
零售商的总销售收入为响应期与恢复期的销售收入之和：
CR=p∫t00D1（t）dt+p∫Tt0D2（t）dt=
pk1lnt0+ε1ε1+pk2lnT-t0+ε2ε2
零售商的利润函数为其总销售收入减去库存持有成本、购买成本和订货成本，即
Π（T）=CR-CH-qQ-（α+βQ）=
C0+pk2ln（T-t0+ε2）-
hk2A2γ-1（ε2-t0）ln（T-t0+ε2）+γ-1×
ln（1/γ-T）-
（q+β）k2A2γln1/γ-TT-t0+ε2
（6）
其中，
C0=pk1lnt0+ε1ε1-pk2ln ε2-
hk1A1γ（t0+ε1）lnε1t0+ε1-1γln（1-γt0）-
hk2A2γ（t0-ε2）ln ε2-1γln（1/γ-t0）-α-
（q+β）k1A1γlnε1（1-γt0）（t0+ε1）+
k2A2γlnε21/γ-t0
命题 存在唯一的T*， 使得应急物资零售商的利润函数Π（T）最大，且T*=（p-q-β）/（h+γp）。
证明 零售商获得利润的首要条件是单位应急物资的零售价格大于单位应急物资的购买成本与单次订货成本之和，即p-q-β>0。令
L1=pk2+k2A2（h（t0-ε2）+q+β）/γ
L2=k2A2（h/γ+q+β）/γ
则有
dΠ（T）dT=L1T-t0+ε2-L2T-1/γ
令dΠ（T）dT=0，可得Π（T）的唯一驻点T*=（p-q-β）/（h+γp）。
Π（T）关于订货周期T二阶可导，且
d2Π（T）dT2=-L1（T-t0+ε2）2+L2（T*-1/γ）2
由L2<0和dΠ（T）dTT=T=0可得
d2Π（T）dT2T=T*=L2（1/γ-t0+ε2）（T*-1/γ）2（T*-t0+ε2）<0
因为T*是Π（T）的唯一驻点，故Π（T）在T*处取得极大值。又因为
limT→0+ Π′（T）=L1/（ε2-t0）+γL2>0
limT→（1/γ）+ Π′（T）=-∞<0
所以П（T）在T*处存在最大值。证毕。
把T*=（p-q-β）/（h+γp）分别代入式（5）和（6），就能得到零售商的最优订货批量Q*和最大利润П*。
2 数值分析
在上述理论分析的基础上，通过固定次要参数，分析主要参数对零售商利润的影响规律。假设p=20元，q=15元，α=10元，β=0.02元，h=0.1元，γ=0.005，t0=1，ε1=0.1，ε2=0.01，k1=200，k2=20。根据模型进行求解，得到Q* ≈742件，П* ≈6 227元。Q和П随T的变化曲线如图3所示，随着T的增加，П先快速增加，后逐渐减少，最后迅速减少。图4为П随ε1和ε2变化的曲面图。由图4可知：在其他参数固定时，在突发事件的响应期，随着ε1的增加，П显著增加，且增加幅度先快后慢;在突发事件的恢复期，随着ε2的增加，П逐渐减少，且减少幅度先快后慢，最后趋于稳定。图5为П随k1和k2变化的曲面图。由图5可知：在突发事件响应期，随着k1的增加，П逐渐增加，但增加幅度逐渐变缓;在突发事件恢复期，随着k2的增加，П显著增加，且增加幅度先快后慢。
图3 Q和Π随T的变化曲线
图4 Π随ε1和ε2变化的曲面
图5 Π随k1和k2变化的曲面
由此可见，在突发事件响应期，应急物资需求率较高，政府应当采取措施降低需求突变的速度，如：与供应链企业合作，快速调运物品，从而提高应急响应能力;及时通过官方微博发布有关缺货产品的真实信息，并进一步疏导受众群体的恐慌心理，减少其抢购和囤积应急物资等非理性行为。突发事件恢复期，突发事件的影响范围和影响力度逐渐减小，应急物资需求率波动幅度不大，此时应当加强对应急物资的合理化管理，减少物品损耗率，如：对易腐物品进行分级、分类，确定合理的运输条件和运输设备;进行合理化储存，降低库存损耗。
3 结 论
突发事件发生时，顾客抢购和囤积应急物资的从众行为导致零售商的利润发生剧烈波动。本文构建了描述应急需求发生快速变化的两阶段需求率函数，建立了两阶段应急物资库存模型，研究了突发事件可控性和应急物资需求弹性对零售商订货批量和利润的影响。运用最优性原理分析了应急物资最优订货批量、最佳订货周期和零售商最大利润的存在性。通过数值分析提炼出订货周期、突发事件可控性系数和应急物资需求率弹性系数对零售商订货批量和利润的影响规律。
研究表明：（1）零售商利润随着订货周期的增加呈现出先快速增加，然后逐渐减少，最后快速减少的趋势。（2）突发事件可控性程度和需求波动情况影响零售商的利润。在突发事件响应期，应急物资需求率激增导致零售商利润快速增加;在突发事件恢复期，局势可控性强，零售商利润稳步增加。（3）随着应急物资需求率弹性系数的增加，在突发事件响应期和恢复期，零售商的利润都呈现出增加的趋势，但是增加幅度逐渐变缓。
相关部门可以采取如下措施降低供应链的风险：（1）在突发事件响应期，可以通过及时发布应急物资需求信息，完善应急管理信息平台，提高突发事件可控性，同时，应该客观评估应急物资的实际需求情况，与企业合作建立应急物资储备系统，加快应急物资供应，避免零售商为获取高额利润过度放大应急物资需求的局势的出现。（2）在突发事件恢复期，应急物资的库存管理策略应侧重于稳定需求，加强应急物资的合理化管理，避免短生命周期的应急物资出现质量问题造成需求率发生大的波动。
今后的工作主要考虑缺货、产品变质和随机需求率对应急物资零售商订货批量和利润的影响，这些扩展将增加理论分析的复杂性，但会使模型更贴近现实，为在需求不稳定时企业进行决策提供参考。
参考文献：
[1]WANG Q， ZHAO L J， HUANG R B， et al. Interaction of media and disease dynamics and its impact on emerging infection management[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B， 2015， 20（1）： 215-230.
[2]ZHAO L J， WANG Q， CHENG J J， et al. The impact of authorities media and rumor dissemination on the evolution of emergency[J]. Physica A， 2012， 391（15）： 3978-3987.
[3]AXSATE S. Evaluation of unidirectional lateral transshipments and substitutions in inventory systems[J]. European Journal of Operational Research， 2003， 149（2）： 438-447.
[4]KUTANOGLU E， MAHAJAN M. An inventory sharing and allocation method for a multi-location service parts logistics network with time-based service levels[J]. European Journal of Operational Research， 2009， 194（3）： 728-742.
[5]劉学恒， 汪传旭， 许长延. 带有时限的多点应急系统库存策略优化研究[J]. 计算机工程与应用， 2012， 48（7）： 212-216.
[6]汪传旭， 许长延， 刘学恒. 不确定环境下多需求点应急转运库存策略[J]. 计算机集成制造系统， 2011， 17（9）： 2022-2028.
[7]丁斌， 桂斌. 基于合作博弈的预付条件下应急物资库存策略[J]. 运筹与管理， 2011， 20（3）： 60-65.
[8]孙琦， 陈娟， 季建华. 供应网络横向联合应急战略库存策略研究[J]. 工业工程与管理， 2009， 14（2）： 16-20.
[9]张捍东， 王青云， 岑豫皖. 弹性需求条件下具有库存损耗的经济订货批量模型[J]. 计算机集成制造系统， 2009， 15（8）： 1528-1533.
[10]祝志强， 毛晓丽， 张双宝. 一类需求率为反比例型函数的库存模型[J]. 武汉科技大学学报（自然科学版）， 2007， 30（2）： 214-216.
[11]许甜甜， 肖条军. 基于数量折扣的时滞变质物品库存协调模型[J]. 系统工程理论与实践， 2013， 33（7）： 1690-1698.
[12]隽志如， 王海燕. 基于需求分布突变检测的两阶段库存管理方法[J]. 系统工程学报， 2013， 28（5）： 651-659.
[13]刘名武， 魏晓梅. 两类需求下双源供应的库存配置策略[J]. 系统工程， 2016， 34（4）： 84-88.
[14]孙琦， 季建华. 基于服务水平的供应链突发事件安全问题研究[J]. 上海管理科学， 2010， 32（5）： 72-75.
[15]秦军昌， 王刊良. 基于跨期的应急物资库存模型[J]. 系统管理学报， 2009， 18（1）： 100-106.
[16]张自立， 李向阳， 张紫琼. 基于生产能力储备的应急产品生产问题[J]. 计算机集成制造系统， 2009， 18（1）： 146-150.
[17]张文杰， 骆建文. 供应不稳定时零售商战略库存决策研究[J]. 管理工程学报， 2013， 27（4）： 62-66.
[18]张庆， 张智超， 赵伟峰， 等. 需求扰动下的双渠道联合库存控制策略[J]. 统计与决策， 2016（15）： 44-48.
