分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用

    张矛

    摘要：在初中数学教学过程中，教师是通过对学生进行知识的教授以及知识应用方法的讲解，最终达到使学生能够独立解题的目的。因此，在初中数学教学中，如何让学生掌握各类型题的解题思想是教学的最终目的。而为学生能更好理解解题思路及方法，教师常应用到分类讨论思想付诸教学。

    关键词：分类讨论思想;初中数学;解题教学

    中图分类号：G633.6? ?文献标识码：A? ?文章编号：1992-7711（2020）02-0049

    分类讨论思想是指在解题过程中就题目中所涉及的某一条件进行不同情况的假设讨论，并且假设的各种可能性之间存在彼此独立的特点。在应用分类讨论思想解决数学问题时，相当于先将复杂的问题分解成几个相对简单的小问题，最终再通过小问题所得出的答案总结出最终答案。这种方式由于思路清晰、错误率低、便于学生理解等特点，被广泛应用于初中数学教学中。那么，教师在初中数学教学中应如何应用分类讨论思想呢？

    一、应用简单的问题，使学生明确分类讨论对象及分类标准

    与数或与式有关的问题是初中数学中常常会出现的问题，其中较为简单的绝对值、算数平方根等问题的分析过程较为简单，其中对分类讨论思想的应用也属于简单的初步应用，讨论过程中只需要涉及两或三个讨论部分即可。这种简单的分类讨论，适合教师教授学生分类讨论思想的初步阶段。这时教师的教授重点应放在如何确定分类对象以及分类标准上，简单的分类讨论思想题目，能够使分类对象以及分类思想更加明确，避免了干扰条件过多、学生难以理解或混淆的情况。

    而当学生通过简单的问题掌握了分类讨论思想的应用方法时，当他们遇到函数、图像、含参不等式等复杂问题时，就能够更好地在问题中找到有用信息，提炼出分类对象，正确解答问题。因此，为学生能更好掌握分类讨论思想的应用，教师在教授时应注重由浅入深的授课过程，让学生通过浅显易懂的问题掌握分类讨论思想的应用方法，而后再将其应用到复杂问题的解题过程中去。

    例如，教师在讲授人教版七年级下册数学《不等式与不等式组》时，可以让学生分别讨论|x-3|>3与|x|>3中x的取值范围。当学生在对|x|>3进行分类讨论时会发现，直接就能够得到x>3或x3中的x取值范围进行讨论时，需要完成一部计算才能够最终得出x>6或x3在解题时直接得出了x取值范围，是由于绝对值内仅有x这一未知数，因此x恰巧成为了分类对象，但正常情况下分类对象并不是由未知数x所决定，而是由绝对值所决定，绝对值内的数或式才是分类讨论对象。

    二、培养学生的想象力，帮助学生在几何图形问题中应用分类讨论思想

    几何图形问题中也会时常应用到分类讨论思想，而几何图形问题中的分类讨论思想与数和式中的分类讨论思想应用略有不同。在几何图形问题中应用分类讨论思想时经常会涉及到图形的空间想象问题，当学生想象力不足时，很可能出现遗漏的分类项，最终导致答案不完整的情况发生。因此，为学生能够更好地应用分类讨论思想解答几何图形问题，教师可以在解题教学过程中利用辅助方法或道具，为学生更直观地展示问题中涉及的图形，让学生对问题中的图形图案等形成更具体的认识及记忆。这样，不仅能帮助学生有效解决当下分类讨论问题，还能够让学生在此后遇见类似的图形问题时，能够对问题进行更全面具体的想象及分析。

    例如，当教师在教授人教版八年级数学下册《勾股定理》时，教师就可以提出“已知一直角三角形两边长分别为3cm与5cm，求三角形未知边边长。”由于3∶4∶5比例的三角形在学生学习过程中十分常见，因此学生在解题过程中会忽略题目中未规定给出的5cm是三角形斜边这一情况，从而不进行分类讨论，最终只得出一种结果。这时教师可以通过应用自媒体设备，提前做出如何由这两条线段组成两种直角三角形的动图，而后通过让学生观看两种三角形的构成情况，辅助学生对另一种答案情况进行想象构建，加强学生对几何图形问题中各种分类讨论项的认识。

    三、强调分类讨论思想中答案验证的重要性

    分类讨论问题中并不是得出的所有结果都能够作为最终答案总结应用。由于问题中一些特殊条件，或是所涉及的一些特殊情况，部分分类讨论项所得出的答案是不合理的，应进行排除。当学生在实际做题过程中时常会因为忽略答案不合理或答案重复的问题，从而导致过程正确，结果错误的情况发生。这种情况若是发生在解答填空选择题时，则会导致严重失分。因此，教师在教授学生应用分类讨论思想进行数学解题时，要向学生强调答案验证的重要性。

    例如，当教师在教授人教版八年级数学上册《三角形》时，就可以向学生提出问题。“已知一等腰三角形有一个角为30°，问另两个角度数。”由于未确定已知的30°是顶角还是底角，因此存在分类讨论情况，最终答案不唯一，最终会得出顶角为120°以及顶角为30°两种结果。这时教师可以再给出“已知一个等腰直角三角形有一个角为45°、60°、120°时，是不是也存在两种情况”的问题，并让学生对自己所得出的答案进行画图验证。最终学生会发现仅有45°时存在两种情况，当60°时等腰三角形已经成为等边三角形，两种情况所得出的结果是一致的，而120°时，由于一个三角形内部不可能存在两个钝角，因此要排除一种情况，也只存在一种答案。

    总之，分类讨论思想在初中数学解题中的应用，使学生明确了分类讨论对象及分类讨论的标准，为更好地让学生就分类讨论进行思考与分析，也培养了学生的空间想象力，同时为保证学生在解答复杂分类讨论问题时的准确性，强调了学生答案验证的重要性。只有这样，学生才能掌握分类讨论思想在数学解题中的应用方法，并且做到准确解题。

    参考文献：

    [1] 杨 琳.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J].陕西教育：教育，2016（4）：52.

    [2] 袁绍建.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J].数学学习与研究，2015（24）：136-137.

    [3] 杨雪莲.试论分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用[J].时代教育，2017（8）：149.

    （作者单位：浙江省温州市南浦实验中学? ?325000）