材料力学中基本变形下内力求解的简便方法
尚伟 刘爽 王金芝 邵蕊
[摘 要]文章结合土木类专业和材料力学课程的特点，探索材料力学中基本变形下内力求解的简便方法。在研究构件的强度和刚度等问题时，均与内力这个因素有关，经常需要知道构件在已知外力作用下某一截面上的内力值。文章在截面法的基础上总结出了轴向拉压、扭转和弯曲基本变形形式下构件内力求解的简便方法。内力与外力有关，等于外力或外力矩的代数和，而外力和外力矩符号的确定是关键。此方法的优点是将外力和外力矩的符号与变形联系起来，更加方便记忆和应用，实现了将材料力学中的理论转化为解决工程问题的工具。
[关键词]土木类专业;材料力学;基本变形;内力;截面法
[中图分类号] O341;G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2021）06-0083-04
材料力學是土木工程等专业的学科基础课，它以高等数学、理论力学、大学物理等课程为基础，同时又为结构力学以及一系列专业课打下重要基础。材料力学课程的基本任务是将工程结构中的简单构件简化为杆件，并对杆中的应力、变形以及稳定性进行计算分析，保证结构能承受预定的载荷，选择适当的材料、截面形状和尺寸，设计出既安全又经济的结构构件。课程目标为利用材料力学的常用分析方法，研究杆件四种基本变形及其受力变形的基本规律，建立工程相关力学问题的基础知识和知识结构，为后续课程打下重要基础。通过学习杆件强度、刚度、稳定性等基本知识，掌握简单超静定、应力状态、强度理论、组合变形及压杆稳定等复杂工程问题的分析方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。土木类专业的培养目标是培养适应国家现代化建设和经济发展需要，服务城镇化和城市现代化进程，德、智、体、美、劳全面发展;熟练运用基础理论和专业知识，具备获得土木工程及相关领域执业资格的能力;能在房屋、道路、桥梁、地下等相关行业独立承担技术或管理工作;具有创新意识、人文素养、社会责任感和一定国际视野，以及良好的组织管理、沟通协调能力;在终身学习、专业发展和领导能力上能够持续进步，成为土木工程及相关领域的复合型应用人才。根据土木类专业的培养目标和材料力学课程的特点，将材料力学中的理论转化为解决工程问题的工具应该是土木类专业材料力学课程教学中的关键，也应该区别于力学和物理专业材料力学课程的教学。
物体的内力一般是指物体内部各质点之间的相互作用力。物体未受外力作用时，其内部各质点之间就存在着内力，这种内力能使质点的相对位置保持不变，从而使物体保持一定的几何形状[1]。当物体受外力作用而变形时，内部质点间的相对距离发生改变，从而引起内力的改变，即产生了附加内力[2]。材料力学所研究的内力，就是物体内部各部分之间由外力作用而引起的附加内力，简称为内力。这种内力随外力的增加而增加，到达某一极限值时构件就会发生破坏。在研究构件的强度、刚度等问题时，均与内力这个因素有关，经常需要知道构件在已知外力作用下某一截面上的内力值，教学中采用图1所示分析方法。截面法为材料力学中求解构件内力的常用方法[3-5]，其基本思想是：无论构件发生何种变形，画脱离体受力图时，其截面上的内力方向统一设成与规定内力正向相一致，然后按照设定的参考轴建立力系的平衡方程。求解所得的数值为正，说明所设内力方向与实际同向，数值为负说明所设内力方向与实际反向。此外还可从挠曲线的一般形式出发，通过边界条件确定待定常数，能同时得到挠曲线方程，转角方程，弯矩方程，剪力方程和支座反力[6]。本文在截面法的基础上总结出了轴向拉压、扭转和弯曲基本变形形式下构件内力求解的简便方法。此方法的优点是将外力和外力矩的符号与变形联系起来，更加方便记忆和应用，实现了将材料力学中的理论转化为解决工程问题的工具。
一、轴向拉压变形
轴向受拉杆件图2（a）所示，运用截面法求解横截面m?m的内力，首先用假想截面在此处将杆件截断，保留左部分或右部分为脱离体，用内力来代替移去部分对保留部分的作用，其作用线与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心，故称这种内力为轴力，用符号FN表示。
取右段脱离体Ⅱ为研究对象，根据轴力符号规定如图3所示，假设横截面上的轴力为正，画脱离体的受力图，如图2（b）所示。由于原直杆处于平衡状态，故截开后各部分仍应维持平衡。根据平衡条件列平衡方程得
对于所研究的构件来说，其他构件作用于该构件上的力称为外力。构件的内力是由外力引起的，内力是与变形相联系的，内力总是与变形同时产生的。内力作用的趋势则是使受力构件恢复原状，内力对变形起抵抗和阻止作用。由式（1）可得出轴向拉压构件的轴力等于脱离体上的所有轴向外力的代数和。将截面处的内力用固定端约束代替，使脱离体成为悬臂梁如图2（c）所示。由式（1）可得出当轴向外力使悬臂梁拉伸时，在平衡方程中轴力与轴向外力符号相反，而移到等式另一端时符号相同，轴向外力取正号。由此得出轴向外力使悬臂梁拉伸时取正号，使悬臂梁压缩时取负号，此方法的优点是无论取左半段还是右半段脱离体为研究对象此方法都适用，且将轴向外力的符号与变形联系起来。
二、扭转变形
如图4（a）所示圆轴受到一对外力偶Me的作用，使其产生了扭转变形，求任一横截面m?m上的内力。可以采用截面法，设想将杆件沿m?m截面截成两段，并取右段Ⅱ为脱离体如图4（b）所示，那么m?m截面上必有一内力偶作用，该内力偶矩称为扭矩，用T表示。
取右段脱离体Ⅱ为研究对象，根据扭矩符号规定如图5所示，假设横截面上的扭矩为正，画脱离体的受力图，如图4（b）所示。根据平衡条件列平衡方程得
由式（2）可得出扭转构件的扭矩等于脱离体上的所有外力偶矩的代数和。将截面处的内力用固定端约束代替，使脱离体成为悬臂梁如图4（c）所示。由式（2）可得出当向固定端看去外力偶使悬臂梁逆时针转动时，在平衡方程中扭矩与外力偶矩符号相反，而移到等式另一端时符号相同，外力偶矩取正号。由此得出当向固定端看去外力偶使悬臂梁逆时针转动时取正号，使悬臂梁顺时针转动时取负号。
三、弯曲变形
弯曲变形是工程中最常见的一种变形形式。在工程实际中，受到荷载作用产生弯曲变形的杆件是很多的，通常把这种以弯曲变形为主的杆件叫作梁。如图6（a）所示的悬臂梁，在外力作用下处于平衡状态。现假想在距右端为a的横截面处，用一假想的横截面m?m将此悬臂梁截为两段，取右半段Ⅱ为脱离体，并用内力来代替左半段Ⅰ对它的作用如图6（b）所示。为使右半段脱离体保持平衡，在其截面上应该有两个内力，沿截面切线方向的剪力FS和纵向平面内的弯矩M。
取右段脱离体Ⅱ为研究对象，根据剪力和弯矩符号规定如图7所示，假设横截面上的剪力和弯矩为正，画脱离体的受力图，如图6（b）所示。根据平衡条件列平衡方程得
由式（3）可得出弯曲构件的剪力值等于脱离体上的所有外力横向外力的代数和。将截面处的内力用固定端约束代替，使脱离体成为悬臂梁如图6（c）所示。由式（3）可得出当横向外力使悬臂梁绕固定端顺时针转动时，在平衡方程中剪力与横向外力符号相反，而移到等式另一端时符号相同，横向外力取正号。由此得出横向外力使悬臂梁绕固定端顺时针转动时取正号，使悬臂梁绕固定端逆时针转动时取负号。
由式（4）可得出弯曲构件的弯矩值等于脱离体上的所有外力（横向外力和外力偶）对截面形心点矩的代数和。将截面处的内力用固定端约束代替，使脱离体成为悬臂梁如图6（c）所示。由式（4）可得出当外力使悬臂梁下侧受拉时，在平衡方程中弯矩与外力对截面形心点矩的符号相反，而移到等式另一端时符号相同，外力对截面形心点矩取正号。由此得出外力使悬臂梁下侧受拉时外力对截面形心点矩取正号，使悬臂梁下侧受压时外力对截面形心点矩取负号。
四、应用算例
梁横截面上的剪力和弯矩都是随横截面的位置变化而变化的。由于在进行梁的应力和变形计算时，需要知道沿梁轴线横截面上剪力和弯矩的变化规律。为了形象地表明剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，通常用剪力图和弯矩图将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况表示出来。绘制剪力图和弯矩图的关键就是计算剪力和弯矩值，下面的例题运用本文提出的弯曲变形内力求解的简便方法，计算剪力值和弯矩值，进而绘制剪力图和弯矩图。
例题 外伸梁尺寸及其上荷载如图8（a）所示，试作该外伸梁的剪力图和弯矩图。
解：首先求出梁的支座反力：FRA=8kN， FRB=12kN
（1）作剪力图
AB段作用有向下的均布荷载，即荷载集度方程为q（x）=常数C<0，所以剪力图为向下倾斜直线段;BC段没有荷载作用，即荷载集度方程为q（x）=0，所以剪力图为平行梁轴线的水平线段。
无限靠近A点在点右侧截面上的剪力值 等于脱离体上所有横向外力的代数和，取左半段为脱离体，并将截面处的内力用固定端约束代替，横向外力FRA使左半段悬臂梁绕截面顺时针转动取正值，所以无限靠近A点右侧截面上的剪力值FSA右=FRA。
无限靠近B点在点左侧截面上的剪力值等于脱离体上所有横向外力的代数和，取右半段为脱离体，并将截面处的内力用固定端约束代替，横向外力FRB使右半段悬臂梁绕截面逆时针转动取负值，所以无限靠近B点左侧截面上的剪力值FSB左=-FRB。
无限靠近B点在点右侧截面上的剪力值等于脱离体上所有横向外力的代数和，取右半段为脱离体，无横向外力，所以无限靠近B点右侧截面上的剪力值FSB右=0。
无限靠近C点在点左侧截面上的剪力值等于脱离体上所有横向外力的代数和，取右半段为脱离体，无横向外力，所以无限靠近C点左侧截面上的剪力值FSC左=0。
根据以上剪力值并结合各段剪力图线形，便可绘出剪力图如图8（b）所示。
（2）作弯矩图
AB段作用有向下的均布荷载，即荷载集度方程为q（x）=常数<0，所以弯矩图为下凸二次抛物线;BC段没有荷载作用，即荷载集度方程为q（x）=0，所以弯矩图为倾斜直线。
无限靠近A点在点右侧截面上的弯矩值等于脱离体上所有外力对截面形心点矩的代数和，取左半段为脱离体，横向外力FRA对截面形心点的矩为零，所以无限靠近A点右侧截面上的剪力值MA右=0。
无限靠近B点在点左侧截面上的弯矩值等于脱离体上所有外力对截面形心点矩的代数和，取右半段为脱离体，并将截面处的内力用固定端约束代替，横向外力FRB对截面形心点的矩为零，外力偶Me使右半段悬臂梁下侧受压，外力偶Me对截面形心点矩取负值，所以无限靠近B点左侧截面上的弯矩值MB左=-Me。
无限靠近B点在点右侧截面上的弯矩值等于脱离体上所有外力对截面形心点矩的代数和，取右半段为脱离体，并将截面处的内力用固定端约束代替，外力偶Me使右半段悬臂梁下侧受压，外力偶Me对截面形心点矩取负值，所以无限靠近B点右侧截面上的弯矩值MB右=-Me。
无限靠近C点在点左侧截面上的弯矩值等于脱离体上所有外力对截面形心点矩的代数和，取右半段为脱离体，并将截面处的内力用固定端约束代替，外力偶Me使右半段悬臂梁下侧受压，外力偶Me对截面形心点矩取负值，所以无限靠近C点左侧截面上的弯矩值MC左=-Me。
当弯矩图为抛物线时还应确定极值点才能绘出弯矩图，求出剪力FS=0的截面位置以确定弯矩的极值。假设该截面距离梁左端点为x，截面上的剪力值等于脱离体上所有横向外力的代数和，取左半段为脱离体，并将截面处的内力用固定端约束代替，横向外力FRA使左半段悬臂梁绕截面顺时针转动取正值，均布荷载简化为的集中力使左半段悬臂梁绕截面逆时针转动取负值，于是可求出在x处截面上剪力值，并令它为零。
AB段内在剪力为零的截面上弯矩有极值，截面上的弯矩值等于脱离体上所有外力对截面形心点矩的代数和，取右半段为脱离体，并将截面处的内力用固定端约束代替，横向外力FRA使右半段悬臂梁下侧受拉，横向外力FRA对截面形心点矩取正值，外力偶Me使右半段悬臂梁下侧受压，外力偶Me对截面形心点矩取负值，于是可求出AB段内弯矩的极值。
由以上弯矩值并结合各段弯矩图线形，便可绘出该梁的弯矩图如图8（c）所示。
五、结论
本文在截面法的基础上总结出了轴向拉压、扭转和弯曲基本变形形式下构件内力求解的简便方法。内力与外力有关，等于外力或外力矩的代数和，而外力和外力矩符号的确定是关键。提出将截面处的内力用固定端约束代替，使脱离体成为悬臂梁。轴向拉压变形下，轴向外力使悬臂梁拉伸时取正号，使悬臂梁压缩时取负号。扭转变形下，当向固定端看去外力偶使悬臂梁逆时针转动时取正号，使悬臂梁顺时针转动时取负号。弯曲变形下，求剪力时横向外力使悬臂梁绕固定端顺时针转动时取正号，使悬臂梁绕固定端逆时针转动时取负号;求弯矩时外力使悬臂梁下侧受拉时外力对截面形心点矩取正号，使悬臂梁下侧受压时外力对截面形心点矩取负号。此方法的优点是无论取左半段还是右半段脱离体为研究对象此方法都适用，且将轴向外力的符号与变形联系起来，更加方便记忆和应用，实现了将材料力学中的理论转化为解决工程问题的工具。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 刘鸿文.材料力学Ⅰ[M].北京：高等教育出版社，2017
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[责任编辑：张 雷]
