拾级而上，自主探究，让学生建构自己的数学
赖启茂
[摘? 要] 文章就“去分母解一元一次方程”中的教学内容进行全新的设计，引导学生从最简单易懂的两个问题情境切入，在原有知识经验基础上，完全自主探究发现用“去分母”的方法解含分数系数的一元一次方程.
[关键词] 去分母;解方程;一元一次方程;自主探究;类比
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出“课堂教学的有效性首先取决于学生对知识生成过程的体验”.
学生体验知识的生成过程，如果是自己积极主动地探究和发现知识，并自觉地纳入自己的认知结构中，就能建构属于学生自己理解的数学，数学素养也能得到真正意义上的提升，这样的数学课堂才是有效的. 本文以笔者在“去分母解一元一次方程”教学设计中进行的一些尝试为例，与同仁们探讨.
教学内容和内容分析
（一）教学内容
“去分母解一元一次方程”是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级上册第三章第三节的内容.
（二）教学内容分析
1. 课标要求
课标总要求是：能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，能解一元一次方程.
本节课的要求是：理解并掌握用去分母解含分数系数的一元一次方程的方法.
2. 教材分析
知识层面：学生已经学习了有理数运算、整式及其加减、一元一次方程等知识，而去分母解一元一次方程是在学生已经学习了移项、去括号解一元一次方程等知识之后遇到的一个新的问题，对它的学习和研究不仅是一元一次方程解法的拓展提升，同时也为今后学习解分式方程奠定基础.
能力层面：学生在此前的学习过程中，已经初步掌握了有理数的运算和整式的加减运算，具备了一定的数式运算能力，同时积累了移项解一元一次方程、去括号解一元一次方程的转化能力. 而对于含分数系数的一元一次方程，需要更高层次的转化能力——去分母，包含了确定最简公分母，运用等式性质去分母，添括号，把分数系数的一元一次方程转化为整数系数的一元一次方程，涉及数、式综合运算，通过去分母解一元一次方程的训练，能提高学生的数式综合运算能力.
思想层面：本节课“去分母解一元一次方程”，把含分数系数的一元一次方程化为整数系数的一元一次方程，最终转化成x=a的形式，蕴含了转化与化归的数学思想. 另外，去分母时需整体添括号，也渗透了数学的整体思想，在根据情境中的数量关系列方程的实践中让学生进一步体会方程模型思想.
根据教材分析，确定本课时的教学重点：如何恰当地去分母.
3. 学情分析
学生在前面幾节课已经分别探究了通过移项和去括号来解一元一次方程，初步有了解一元一次方程需具备的转化意识. 而这节课遇到的含分数系数的一元一次方程，在学生的活动经验里，完全是个崭新的问题（不像去括号，在学习上一章“整式的加减”时，已经对其有了感性认识和实践经验），要理解它则需要认识上的一次飞跃. 如何把含分数系数的一元一次方程化为整数系数的一元一次方程，特别是去分母时需整体添括号，防漏乘，对优生来说，这也是学习上极大的挑战，更不用说其他学生了. 鉴于此，只有通过由浅入深的自主探究、合作交流，让学生较自然地亲身经历知识和方法的形成过程，以激发学生分析问题、解决问题的兴趣，让学生在探究中提高数学学习能力.
根据学情，确定本课时的教学难点：防漏乘.
教学目标
（一）理解去分母的依据和作用，会用去分母的方法，把含分数系数的一元一次方程转化为整数系数的一元一次方程.
（二）从实际问题中列出一元一次方程，会将实际问题转化为数学问题.
（三）在列方程和解方程的实践中，逐步体会到方程模型思想与化归思想的作用.
教学策略
（一 ）根据七年级学生的心理和认知特点，本节课采用由浅入深，由易到难的方法，从最简单的一元一次方程起步，变式为含分数系数的一元一次方程，分母的个数由一个变为两个，再变为三个，循序渐进，让学生拾级而上.
（二）根据主体性教学原则和发现教学法，本节课的教学采用主要由学生自主探究的方式展开，让学生自己去类比、探究、发现，因为只有学生发现的才是学生自己的数学.
教学过程
（一）新知学习
1. 回顾旧知
教师提出下列问题，引导学生回顾旧知识.
问题1：昨天学的是具有什么特征的一元一次方程的解法？（含括号）
问题2：对于含括号的一元一次方程，解方程时我们是怎样处理的？（去括号）
问题3：去括号有什么作用呢？体现了解方程的什么思想？
问题4：请同学们完成表1.
【设计意图】
问题1中“具有什么特征的一元一次方程”，通过心理暗示，让学生养成善于观察的习惯，从教学中的点点滴滴影响学生观察能力的提升.
问题4让学生先填空后解方程. 通常，教师们让学生解方程时，学生能做对，就认为达成了教学目标. 仅凭如此，应试是没问题的，但是从学科教学“培养学生数学素养”的立意来看，是远远不够的.？摇这里让学生完成表格，每一步都先写依据（算理）、明确注意事项（即可能出现的失误），再进行解方程的运算，着力培养学生的理性思维，使学生养成先观察思考，后动手运算的良好解题习惯. 长此以往，学生就能形成一个睿智的、严谨的数学头脑，这正是数学教学的目标所在.
2. 引出新知
问题情境：
情境1：李明同学买了两支铅笔花去1元钱，问：一支铅笔多少钱？
情境2：张华同学买一支圆珠笔的钱的一半是1元，问一支圆珠笔多少钱？
请同学们分别设未知数，列出方程.
几乎所有同学都能列出：①2x=1， ②■x=1或■=1.
教师引导学生观察：方程①②有什么不同？
学生行为：学生先自主观察、再同桌交流，后全班交流.
得出结论：方程①中未知数的系数是整数，方程②中未知数的系数是分数.
教师对比引出新知：此前我们学习的是整数系数的一元一次方程，今天就来学习分数系数的一元一次方程.
【设计意图】
这里用学生身边的两个简单的情境对比引出新知，一是使学生体会到数学来源于生活，二是教学活动面向所有学生，问题简单，学生参与面广，让学生轻松地从旧知过渡到新知. 虽然列的方程简单，但是问题“方程①②有什么不同”颇具思考性，学生刚刚还沉浸在列出方程的喜悦中，马上又进入思考状态，锻炼学生的观察能力和概括能力.
需要说明的是，数学课本中采用了英国伦敦博物馆收藏的2300多年前的纸草书问题引出分数系数的一元一次方程. “纸草书问题”列出的方程■x+■x+■x+x=33繁杂，大部分学生一见那么长的、没见过的方程就有畏惧感，不利于后续学习的展开. 并且本节课的重点是让学生学会用去分母解分数系数方程，用“纸草书问题”列出的方程去探究“去分母”，显然起点太高，要理清楚比较费时，不符合七年级学生的认知特点，所以笔者改用两个简单的生活情境，起步低，学生容易进入学习探究状态.
3. 自主探究
教师导语：同学们已经学会了方程①2x=1的解法，那么方程②■=1作为最简单的分数系数方程又该如何解呢？然后下列其他的方程又该如何解呢？请同学们独自探究. （此环节特别强调：独立思考，不得交流）
解方程：①2x=1;②■=1;③■=1;④■=1;⑤■=■;⑥■=■+1;⑦■-■=1.
【设计意图】
给出一串由易到难、循序渐进的方程，让学生探究解法，使学生觉得既简单，又有挑战，有拾级而上之感，激起学生数学探究的欲望. 因为起步容易，方向明确，所以学生一边体验成功的愉悦，一边又格外小心. 因为有很多细节的处理没经历过，需要学生不断地尝试和琢磨，借此培养学生分析问题和解决问题的能力，更重要的是通过探究，提升学生数学学习能力.
学生探究情况的预测与分析：学生此前已学会用去括号、移项、合并同类项、系数化为1的方法解一元一次方程，面对新出现的分数系数方程怎么解，一般都会感到为难，因为没学过去分母. 通常，教师们大都采用告诉式的教法，遇到分数系数方程，就用“去分母”的方法，把分数系数化为整数系数. 而这里，巧妙地通过引出两方程：2x=1，■=1，自然地从整数系数方程过渡到分数系数方程，学生原本就有一些解一元一次方程的经验，一般能类比2x=1的解法，两边同乘以2，轻松地解出x=2，潜意识里油然而生一种“去分母”的感觉（虽然此时，有的同学还叫不出这个步骤叫“去分母”）. 学生继续类比，不难解出③■=1，④■=1，学生由此尝到类比的喜悦，有助于巩固和提升学生的类比能力. 此时，学生积累了两边同乘以分母解含一个分母的一元一次方程. 对于方程⑤■=■，学生一般都倾向于用刚才的经验，但是，要考虑如何一下去掉两个分母，这问题让学生“跳一跳”才够得着，可发展学生的数学思维能力. 方程⑥■=■+1与方程⑦■-■=1，进一步增加了难度， 这两个方程虽然本质相同，但因形式不同而具体处理的细节有许多差异. 这里需要学生拥有较强的计算能力和兼顾全局的意识，渗透整体思想（整体添括号、局部添括号）. 学生在解方程⑥⑦时，可能出现漏乘、未及时添括号等问题，这些问题的出现正是学生在探究解分数系数方程时应有的试误体验. 正如小孩学走路，开始跌跌撞撞是正常的，后面才能走得正，走得實.
这个环节是整节课中学生活动的重头戏，因为所有的教学都是为了学生学习能力的提升，学生的大脑是因为思考才得以发展的，哪怕走的是弯路，甚至歧途，也是学习经验的积累，有益于后续学习的展开. 所以，这里要给足学生自主探究的时间，让他们的大脑充分“煎熬”，才能“修成正果”.
4. 合作提升
学生行为：小组交流解方程②到方程⑦的自主探究过程，同伴互助，共同解决自主探究中出现的问题. 总结：（1）解含分数系数的一元一次方程的策略;（2）每一步的依据;（3）每个步骤容易出错之处，怎样克服的？然后请一个学习小组的组长上台汇报，其余同学补充，教师适时指导.
【设计意图】
在充分思考的情况下，学生思维现状可能有两种现象：一是学生已探究出结果，二是对探究的问题存在困惑. 对于前者，学生虽有了自己的结果，潜意识里会有一种与别人比试一下的冲动，想知道别人是怎样处理的，谁的方法更好;对于后者，学生很渴望得到别人的帮助. 此时此刻让学生合作交流，正当其时，既可分享成功的喜悦，又能进行同伴互助，释疑解难，从中锻炼学生的表达能力，还可以培养团队精神. 通过交流、总结、补充，每一位学生获得的知识、方法不断完善，学习能力得以提升.
5. 引导发展
针对学生自主探究和合作交流的情况，教师进行如下的梳理、点化和拓展.
教师行为：
（1）对于方程②■x=1，两边同乘以2，变成x=2，展示了一种方程同解变形，即：分数系数方程，通过去分母，化为整数系数方程，是转化与化归的数学思想的实际体现.
（2）从用去分母解方程②■=1想到，也用去分母解方程③■=1，这在数学上叫类比，数学上很多新知识都可以从旧知识中类比得出.
（3）解方程③■=1，除了可用去分母外，还有没有别的方法？引导学生得到拆项法，让学生对比两种方法，得出用“去分母”更简捷.
（4）对于方程⑤■=■，出现两个分母了，怎样才能同时去掉两个分母，又使得计算尽可能更简单？去分母后，如果分子是多项式应及时添括号，如果不添，会怎样？
（5）对于方程⑥■=■+1，很多学生去分母后得到3（x+1）=2（1-x）+1，右边的1漏乘6了，怎样来避免漏乘现象？让学生说说自己漏乘的心路历程，与学生一同商量得出：方程的一边有两项或两项以上时，去分母前要先整体添括号，再乘以最简公分母，即6×■=■+1×6，然后运用分配律，就不至于漏乘. 引导学生重视算理，积累经验，避免漏乘，突破难点.
（6）对于方程⑦■-■=1，有不少学生去分母后得到3（x+1）-2（1-x）=1，与学生一起分析对错，并说明原因，该采用什么对策来克服类似现象（每一步都要注意依据）？
（7）对于方程⑦■-■=1，两边同时乘以6得以去分母解方程后，如果方程变为：⑧ ■-■=1，⑨ ■-■=1，⑩ ■-■=1，■■-■=1，两边分别同时乘以什么才能去分母呢？引导学生思考（不写过程，口答即可）.
完成后，思考：为什么老师让学生做这样的变式训练？
【设计意图】
学生在自主探究中遇到的困惑，通过合作交流，基本能消除，但限于学生的知识基础、活动经验以及认知能力，其认知可能只停留于解决了问题的层面，很难达到理性的高度，这时需要教师的点化艺术发挥作用.
以上教师行为中，（1）引导学生用动态的眼光去观察运算过程中式子的变化，在实例中去体会转化与化归的数学思想. （2）进一步通过具体的情境，让学生加深对数学类比思想的体验，逐步形成数学学习中的类比能力. （3）让学生思考■=1的多种解法，培养学生发散思维能力，防止学生思维固化. （4）（5）（6）主要强调，去分母要兼顾方程左、右两边，也要兼顾两边的每一项，渗透整体数学思想，培养学生思维的严谨性，提升思维品质. （7）强调本节课的重点是去分母，而去分母的重点是找准最简公分母，变式训练旨在突出重点问题重点训练. （7）中的方程⑦⑧⑨，最简公分母均是两个分母的乘积所得，此时学生容易形成思维定式，所以方程⑩■的出现，帮助学生破除定式思维.
本环节完成时，引导学生回顾反思變式训练过程，培养学生数学学习的元认知能力.
6. 强化拓展
解方程（只写出“去分母”一步即可）：①3x+■=3-■;②■-■=3■;③■=■-■;④■-2=■-■;⑤■x+■（426-x）=426×■;⑥■=5.
学生独立完成，3位学生上台板演，然后让其他学生纠错，教师点评.
【设计意图】
数学是算出来的. 学生有了去分母解方程的知识，怎样把知识转化为技能乃至形成能力，需要一定量的练习来达成. 为了把时间用在刀刃上，要求学生只写去分母这一步，既是重点问题重点训练，又避免了去括号、移项等简单动作的机械重复，以免学生心生厌烦的情绪. 同时，给出的六个方程，不是简单地重复“昨天的故事”，每题都有新意，“依样画葫芦”是行不通的. 分母从两个到三个，数字从整数到分数，分母由小到大，甚至出现分母是小数的情况，这些新问题，都需要学生认真思考，寻找新对策，培养学生分析问题和解决问题的能力，逐步形成求变求新的学习能力.
（二）成效评价
课堂结束前5分钟，学生完成表2（根据基础选择A，B，C中的一题写出过程即可）.
【设计意图】
这张学生学习成效评价表中，“知识水平”部分是了解学生对所学知识的意义建构情况. “能力达成”部分是检测学生对去分母解一元一次方程的掌握程度，要求学生解方程之前先填写每一步的依据和注意事项，进一步培养学生的理性思维，养成先思考、后动手的习惯，避免生搬硬套. “课堂表现”部分是学生的自我评价，其中渗透良好学习习惯的培养，同时也能提高学生数学学习的元认知能力. 给出的方程有A，B，C三个，满足不同层次的学生，让所有的学生都能参与，让不同层次的学生都能在原有基础上有所发展.
（三）课后作业（人教版七上教科书）
A. 课本第98页第3题（1）（2）;
B. 课本第98页第3题（1）（2）（3）（4）;
C. 课本第98页第3题，第99页第9题.
【设计意图】
分层布置作业，让不同层次的学生获得不同的体验.
教学反思
（一）设置恰当起点，便于学生快速进入自主探究状态
千里之行，始于足下. 学生在自主探究时，从哪里切入，学生思维的逻辑起点是什么？这些都需教师精心设计. 有了恰当的起点，学生才能较快进入探究状态. 笔者以解方程①2x=1，②■=1作为学生自主探究的起点，多数学生都能想到“解方程②■=1时，两边同乘以2”，实际就是“去分母”. 这样的“去分母”不是教师硬塞给学生的，而是学生在原有知识和经验基础上，自然生成的一种想法. 反过来，如果一开始给出方程⑦■-■=1，要让学生自己悟出去分母的方法，对大多数学生而言，思维跨度太大，只有靠老师的生拉硬拽，学生机械地记住步骤，紧接着大量练习，导致数学思维的教学沦为一种技能的机械操练，不利于学生理解数学. 由此可见，起点设置妥否，直接影响学生自主探究的走向及质量.
（二）善用类比，是学生自主探究的方法
波利亚说：“类比是获得发现的伟大源泉. ”教师在数学教学中应尽可能放手，让学生从已有知识和经验出发，借助类比的思想方法，自主探究发现新知识. 曲折起伏的探究过程能使学生感受数学的魅力，学生良好的学习情感倍增，探究兴致愈发浓厚. 学生从解方程①②中自然生成“去分母”的方法后，马上让学生探究方程③～⑦，在探究这一方程题组的解法中，学生能发现这些问题内在的逻辑关联，在变化中抓住不变的核心特征，即都是含分数系数的方程，因此类比方程②■=1找到解决办法. 在此类数学活动中，学生能深刻感悟类比是数学探究的好方法，而且每一次的类比，不是照搬照套，而是螺旋式上升，学生的类比能力逐渐增强，类比思想日益巩固.
（三）自主探究中应着力学生理性思维的培养
理性思维是一种建立在证据或逻辑推理基础上的思维方式. 七年级学生有了一定的数学知识和活动经验，但由于其相应年龄的心理特点，在数学学习中往往表现出思维不够严谨，凡事“想当然”或跟着感觉走，导致的结果是思考问题顾此失彼. 尤其是自主探究中，没有了老师的示范引领，可能漏洞百出. 因此，教师在学生自主探究的各个环节应着力理性思维的渗透，确保学生的自主探究能朝正确的方向迈进.
本节课在开始和结尾都让学生填表，表中引导学生先思考解方程时每一步的依据（算理）及注意事项（可能出现的失误），然后再动手演算，旨在养成学生理性思考的习惯. 长此以往，学生在自主探究时会形成自然的条件反射，先思考每一步的依据（算理）是什么，容易出现什么问题. 如此这般，学生的数学演算就不易出错，学生严谨的理性思维日渐形成，这正是数学教学的目标所在.
（四）意义建构是学生自主探究的归宿
美国华盛顿儿童博物馆有一句醒目的格言——“我听见了就忘记了，我看见了就记住了，我做过了就理解了. ”意思就是说，只有让学生自己去观察、思考、尝试、讨论、概括得到的新知识，才是学生知识领域真正意义上的建构.
此次教学，从解方程①2x=1，②■=1开始，放手让学生自主探究，学生通过类比，萌生出用去分母解含分数系数的一元一次方程，整个探究过程拾级而上，学生依次遇到“两个分母怎么才能去掉”“漏乘怎么处理”“去分母时如何添括号”等问题，需要学生独自应对，不断地试误、纠错、改进、完善. 这一过程完全是学生自己展开的一次“数学之旅”，活动中获取的数学经验成为学生生命中的一部分，教师只是适时适度地点化、提炼，像这样学生自己发现的数学才是学生自己的数学. 因此，自主探究，最终能实现让学生对所学知识进行意义建构的目的.
