关于线段和最值“解题公式”的探究思考

    常燕

    [摘? 要] 线段和最值问题在中考中十分常见，线段转化、构建共线关系是重要的解题策略之一. 整理解题过程，总结思维方法，形成“解题公式”有利于提高解题效率. 文章将剖析问题的解题原理，结合例题归纳解题模板，并进行实战演练，提出相应的教学建议.

    [关键词] 线段和;最值;转化;抛物线;共线定理

    线段和最值是初中最值问题的常见类型，即求解两条线段之和的最小值，“动线段1+动向段2”为常见形式. 解析过程可采用几何原理，按照“解题公式”来构建思路，下面深入探究.

    解题原理探究

    “两点之间，线段最短”是线段和最值问题突破的基本依据，也是解题的核心公理. 具体求解时常通过对称变化的方式来实现三点共线，从而确定线段之和取最值时动点的位置.

    以图1的情形为例，点A和B分别为直线l异侧的两个定点，点P为直线l上的一个动点，显然当P、A、B三点共线时，线段和AP+BP可取得最小值，此时点P位于直线AB与l的交点处. 若点A和B位于直线l的同一侧，则可以通过对称变换的方式来构建.

    实际转化过程要遵循以下原则：①控制、减少变量;②向定点、定线段方向靠拢.

    “解题公式”示例

    线段和最值问题的核心是“转化”，即明确“转化要素”，实现“线段转化”. 因此该类问题思路构建可分如下三步进行：第一步，理解问题条件，明晰“转化要素”;第二步，作图构形，实现“线段转化”;第三步，利用几何定理，三点共线解决. 下面以一道例题具体阐述思路的构建过程.

    例题：如图2所示，已知菱形ABCD的边长为1，点P是菱形对角线AC上的一个动点，点M和N分别是边AB和BC的中点，则PM+PN的最小值为________.

    思路分析：按照“转化要素→线段转化→共线解题”三步构建.

    第一步，分析题目条件，明晰“转化要素”.

    求PM+PN的最小值，其中P为动点，M和N为定点. 由条件可知动点P位于直线AC上，定点M和N分别为AB和BC的中点，且位于AC的同一侧. 结合求线段和的最值原理可知，需要将三点转化在同一直线上，故需要对同侧定点M和N进行位置转化.

    第二步，作图构形，实现“线段转化”.

    采用轴对称的转化方式，将线段PM和PN放在同一直线上. 由于点M和N均为菱形边上的中点，则可以取CD的中点为G，如图3所示. 由菱形特性可知，点G和N关于AC对称，由对称性可知PG=PN，则问题可转化为求PM+PG的最小值.

    第三步，利用几何定理，三点共线破题.

    在△PMG中，有PM+PG≥MG时，即当点P、M、G三点共线时，PM+PG可取得最小值，此时PM+PG=MG=1，即点P是MG与AC的交点，所以PM+PN的最小值为1.

    总结? 求线段和最值可分三步进行，其中第一步明晰所涉线段中的动点和定点，并结合图像把握点之间的位置关系;第二步则是探索线段转化的策略，为后续线段共线提供条件;第三步则是基于“两点之间，线段最短”原理构建三点共线，确定最值情形.

    考题实例演练

    考题：（2020年南通中考卷第10题）如图4，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（？摇？摇? ? ）.

    A.? ？摇？摇? ? ? ? B. 2

    C. 2 ？搖? ? ? ？摇D. 3

    思路分析：本题目求线段和AE+BF的最大值，可参考上述“解题公式”进行思路构建.

    第一步，分析题目条件，明晰“转化要素”.

    求AE+BF的最大值，其中点A和B为定点，由于直线l的斜率不确定，从而造成点E和F的位置不定. 线段AE和BF位于动直线l的同侧，需要将其转化到同一直线上去.

    第二步，作图构形，实现“线段转化”.

    转化过程需要确保线段等长，本题目中可通过构建全等三角形的方式实现. 作CK⊥l，垂足为点K，再过点C作AE的垂线，设垂足为点N，如图5所示. 分析可证△BFD≌△CKD，则CK=BF=EN可将问题转化为求AE+EN=AN的最大值，此时点A、E、N三点共线.

    第三步，利用几何定理，三点共线破题.

    在Rt△ANC中，有AN

    评析? 上述采用解题模板探究与四点相关的线段和最值，其中点E和F为动直线上的点，与例题相比更为复杂，但解题思路是不变的. 通过“线段转化”构建三点共线是关键，上述所采用的全等变化是几何中的常用方法. 线段和最值问题解析的重点是思路分析，而不是解题过程，理解方法原理，灵活套用“解题模板”是探究的重点.

    考题拓展探究

    中考常见抛物线与几何相综合，抛物线背景中同样存在线段和最值问题，该类问题本质上是一致的，同样可以参考上述所总结的“解题公式”进行思路构建. 下面对一道抛物线中的线段和最值问题进行“模式化”探究.

    问题：在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式为y=- x2+2x-1，设抛物线的顶点为P，等腰直角三角形△ABC的顶点坐标为A（0，-1），点B位于第四象限，如图6所示，现平移抛物线，使点P沿着AC方向滑动，设滑动时抛物线与AC的另一交点为Q，BC的中点为N. 探究在平移过程中，NP+BQ取得最小值时点Q的坐标.

    解析：本题目以抛物线为背景，求线段NP+BQ取得最小值时点Q的坐标，涉及N、P、B、Q四点，同样可以参考上述总结的“解题公式”.

    第一步，分析题目条件，明晰“转化要素”.

    问题所涉四点中，点B，N为定点，点P和Q是抛物线与AC的交点，可视为是动点. 线段NP和BQ均位于直线AC的同一侧，需要通过“线段变换”来实现两线段共线.

    第二步，作图构形，实现“线段转化”.

    如图7，可采用轴对称变换的方式，作点B關于直线AC的对称点B′，由对称性质可得BQ=B′Q. 取AB的中点为F，连接QF，FN，可证PQFN为平行四边形，可得NP=QF，则问题转化为求QF+B′Q的最小值时的情形.

    第三步，利用几何定理，三点共线破题.

    根据“两点之间，线段最短”可知，当Q、F和B′三点共线时，QF+B′Q可取得最小值，此时点Q为直线B′F与AC的交点. 根据问题条件可求得点B′（0，3），点F（2，-1），则直线B′F的解析式为y=-2x+3，直线AC的解析式为y=x-1，联立两者的解析式可得点Q坐标为 ， ，所以NP+BQ取得最小值时点Q坐标为 ， .

    评析? 上述线段所涉四点中有两点为动点，与抛物线的平移紧密相关，可将平移方向AC视为是定直线，显然问题线段位于同一侧，后续的重点就是“线段转化”. 与例题相比，本问题的难点集中在第三步的求值上，由于问题背景为平面直角坐标系，解题时要把握点与线段、解析式的关系.

    问题解后反思

    上述对线段和最值问题的解题策略进行了剖析，并结合例题总结了相应的“解题公式”，对于提升解题效率有着极大的帮助. 而在实际教学中，教师应立足数学原理，开展知识总结，注重学生的思维培养，下面提出几点教学建议.

    1. 领悟问题本质，掌握分析方法

    线段和最值属于动点问题，实际上探究线段最值就是分析点的位置关系、探究距离最值，显然适用于“两点之间，距离最短”原理. 教学中要引导学生理解问题本质，关注问题突破的知识原理，使学生领悟解题的关键所在. 解题模板是对问题解法的思路总结、方法概括，教学中要引导学生体验问题的分析过程，理解每步探究的意义，关注其中的重点，让学生掌握方法的精髓，培养学生独立分析问题的能力.

    2. 注重问题拓展，培养学生思维

    “解题公式”有助于引导学生 “模式化”构建思路，但也存在思维固化的弊端，容易使学生过度依赖，限制思维发展. 教学中要注重问题变式，拓展学生思维，提升学生思维的灵活性，如上述问题探究中，基于“线段转化”方法和问题背景进行拓展变式，总结了全等变换方法，抛物线最值问题突破的思路. 拓展教学中，可采用对比探究的方式，引导学生关注问题特点，反思方法异同，培养学生思维，帮助学生形成解题策略.

    3. 关注数学思想，提升数学素养

    上述总结了线段和最值问题的“三步法”解题模板，其中第二步涉及了图形构建和线段转化，其中隐含了数学的模型思想和转化思想，而第三步的计算推理过程中隐含了数形结合思想. 在探究教学中，教师要关注数学的思想方法，合理渗透数学思想. 数学思想不同于知识定理，教学中需要采用思维引导的方式，让学生体验解题过程，感悟思想方法的精髓，养成利用思想方法解题分析的习惯，逐步提升学生的数学素养.