基于有限元和智能算法的结构稳健可靠性优化

    傅博+张胜利+倪冬

    摘要： 在结构参数化有限元分析的基础上， 获取结构随机设计变量与功能函数的关系， 构建随机设计变量到功能函数的神经网络模型。 由神经网络表达式得到功能函数和梯度显式表达式， 进而计算可靠度以及可靠度对随机变量的灵敏度。 以计算可靠度为非线性约束方程， 以计算可靠度灵敏度为目标函数， 采用遗传算法建立优化模型， 得到灵敏度最小化的随机设计变量。 導弹发射装置锁制钩优化设计实例表明， 该方法在提高锁制钩概率可靠度的同时， 能够降低可靠度灵敏度， 为实施发射装置结构可靠性优化和稳健设计提供通用、 有效的方法。

    关键词： 结构稳健可靠性； 优化设计； 有限元模型； 神经网络； 遗传算法； 发射装置

    中图分类号： TJ768； V215.7文献标识码： A文章编号： 1673-5048（2017）05-0054-060引言

    可靠性是指产品在规定的工作条件下、 规定的时间内， 完成规定功能的能力。 可靠度是可靠性的概率度量[1]。 通常所指的可靠性是由概率定义的， 系统失效概率越小即可靠度越高， 产品越可靠。 Ben-Haim Y最先提出了不用概率定义的非概率可靠性概念[2-3]。 这种非概率可靠性表示产品性能波动范围越小， 或抗干扰能力越强， 产品越可靠， 称之为稳健可靠性。 田口玄一提出的稳健设计也是为了提高产品输出特性的抗干扰能力， 即提高稳健可靠性。 提高稳健可靠性的有效方式之一是可靠性灵敏度优化设计， 即寻找一个设计向量， 使得目标函数对于随机基本变量的灵敏度最小。 由于概率可靠性和稳健可靠性从不同的侧面解决产品不确定性问题， 两者之间既有关系又有本质的区别[4]， 因此在可靠性设计中， 应同时考虑两种类型的可靠性， 即在满足产品规定的可靠度概率要求条件下， 应降低可靠性灵敏度， 提高产品的稳健可靠性。

    机械可靠性灵敏度设计的一种方式是在设计结构的强度分布和应力分布以及设计变量的随机性基础上， 通过建立显式或隐式极限功能函数（状态函数）进行可靠性敏感性分析和设计。 结构的功能函数是基本随机变量（以下简称基本变量）的函数， 当结构简单、 基本变量数少， 可用力学公式推导出功能函数与基本变量的表达式， 采用一次二阶矩等方法计算可靠度， 通过计算功能函数对各个基本变量的偏导数得到灵敏度。 但在工程实践中， 产品机械结构复杂、 基本变量多， 用力学公式推导变得困难， 因此采用有限元法进行计算。 ANSYS的概率设计技术（PDS）， 针对有限元分析过程中的某些基本变量对分析结果变量的影响方式和影响程度， 在给定基本变量均值和（或）方差等条件下， 估算出结构可靠度和灵敏度。 但PDS不能给出功能函数与基本变量的显式表达式， 也不能实现可靠度和灵敏度的自动优化。 关于结构可靠度和灵敏度的优化引起广泛的研究[5-7]， 这些研究采

    收稿日期： 2017-01-20

    作者简介： 傅博（1964-）， 男， 河南睢县人， 博士， 高级工程师， 研究方向是可靠性工程。

    引用格式： 傅博， 张胜利， 倪冬 . 基于有限元和智能算法的结构稳健可靠性优化[ J] . 航空兵器， 2017（ 5）： 54-59.

    Fu Bo， Zhang Shengli， Ni Dong. Structural Robust Reliability Optimization Based on Finite Element and Intelligent Algorithm[ J]. Aero Weaponry， 2017（ 5）： 54-59. （ in Chinese）

    用人工智能方法有效解决了在满足结构可靠度和灵敏度的条件下， 优化结构的体积和质量问题。

    随着机载武器系统的发展， 导弹发射装置结构的关键件、 重要件越来越多， 受环境影响越来越大， 对结构可靠性要求越来越高， 有必要进行结构稳健可靠性优化设计。 本文在有限元分析的基础上， 构建神经网络代理有限元模型， 应用遗传算法的非线性优化特性， 在满足规定概率可靠度的条件下减低灵敏度， 提高发射装置结构零部件稳健可靠性。

    1结构稳健可靠性优化模型

    1.1结构可靠度模型

    设X=[X1， X2， …， Xn]T为影响结构功能的n个基本变量， 函数Z=g（X）=g（X1， X2， …， Xn）为结构的功能函数， Z>0时结构处于可靠状态， Z<0时处于失效状态， Z=0时处于极限状态。 在结构可靠性分析中， 根据“应力-强度”干涉理论的功能函数为Z=R-S（X）， 其中： R为结构强度； S为结构的最大应力， 是基本变量X的函数。 当Z服从正态分布， 其均值为μZ， 标准差为σZ， 则失效概率为[8]

    Pf=P（Z < 0）=

    ∫-∞012πσZexp-（z-μZ）22σ2Zdz=

    ∫-μZσZ-∞φ（y）dy=Φ -μZσZ=

    Φ （-β）=1-Φ（β）（1）

    式中： 函数φ（y）为标准正态分布的概率密度函数。 由失效概率得到可靠度为

    Pr=1-Pf=Φ（β）（2）

    其中： β为无量纲数， 称为结构的可靠性指标。

    1.2可靠度对基本变量的灵敏度

    设基本变量X均值表示为

    μX=[x1， x2， …， xn]T（3）

    X标准差表示为

    σX=[σx1， σx2， …， σxn]T （4）

    功能函数Z均值为

    μz=g（μX）（5）

    由式（1）～（2）及复合函数的求导法则， 可靠度Pr对X均值的灵敏度可以转化为Z对X均值的灵敏度：

    Pr μX=Prβ·βZ·Z μX=φ（β）1σZZ μX （6）

    因此， 对可靠度进行敏感性分析等同于对功能函数Z进行敏感性分析， 将可靠度对X均值的灵敏度向量写成梯度为

    航空兵器2017年第5期傅博， 等： 基于有限元和智能算法的结构稳健可靠性优化g（μX）=g（μX） μX=gx1， gx2， …， gxnT （7）

    1.3灵敏度优化模型

    1.3.1目标函数

    定义灵敏度向量的2阶范数为优化目标， 即

    min f（μX）=‖g（μX）‖2=∑ni=1g/xi2（8）

    1.3.2约束条件

    （1）边界约束

    X均值的上、 下边界约束为

    lb（μX）≤μX≤ub（μX）（9）

    （2）可靠度约束

    实现可靠度约束需要计算给定基本变量下的可靠度Pr， 可靠度计算方法有均值一次二阶矩法、 蒙特卡洛法等。 由于优化需要大量计算可靠度， 所以采用计算较为简单的均值一次二阶矩法。 由式（3）～（5）和（7）可得到可靠性指标为[9]

    β=g（μX）/∑ni=1g（μX）xi2σ2xi（10）

    设Pmin为可靠度最低要求值， 由式（2）可得可靠度不等式约束方程为

    F（Pr）=-Φ（β）+Pmin≤0（11）

    1.4神经网络模型

    1.4.1功能函数表达式

    结构的功能函数Z是基本变量X的函数， 采用有限元分析法由X计算出相应的Z。 但是， 有限元分析法不能得到顯式关系表达式， 而且计算耗时较长， 不适合直接用于大量的优化计算。因此， 首先构建一个神经网络模型逼近有限元分析模型， 然后提取出神经网络模型的表达式， 用该表达式表示Z与X的函数关系， 此方法计算耗时少， 可用于灵敏度优化。

    根据BP定理[10]， 给定任意ε>0和任意L2函数f：[0， 1]n→Rm， 存在一个三层BP神经网络， 可以在任意ε平方误差精度内逼近f。 BP定理说明了三层BP网络可在任意希望的精度上实现任意的连续函数。 对于有一个隐层， 输出层有一个节点的三层BP神经网络， 功能函数表示为

    Z=f2[WT2f1（WT1X+b1）+b2]（12）

    式中： W1为输入层到隐层的连接权值向量； W2为隐层到输出层的连接权值向量； b1为隐层的偏置向量； b2为输出层的偏置数值； f1和f2分别为隐层和输出层的传递函数。

    1.4.2功能函数梯度计算

    利用复合函数的求导法则， 由式（12）得到功能函数梯度为[9]

    g（X）=W1JY1Z1W2JY2Z2（13）

    式中： 由第k层接收值Zk与输出值Yk的关系（k=1， Y0=X）， Jacobi矩阵J为

    JYkZk=diag[f′k（Zk1）， f′k（Zk2）， …， f′k（Zknk）]（14）

    式中： nk为第k层节点数， （k=1， 2）。

    1.4.3样本生成

    应用ANSYS的参数化设计语言APDL， 建立结构有限元分析模型并施加载荷， 采用ANSYS的PDS， 按照式（9）边界条件以均匀分布的形式， 模拟运算m次， 得到m个从X到Z值的关系数据。 从数据库文件中提取出关系数据， 形成m×n输入矩阵和m×1输出向量， 作为神经网络的训练样本， 其中， n为X的维数。

    1.4.4样本数据归一化

    为了减小各维样本数据间数量级差别带来的影响， 以及符合传递函数值域的要求， 需要对样本数据进行归一化处理。 输入数据xi由[xmin， xmax]转化成[-1， 1]之间的值x*i为

    x*i=λx（xi-xmin）-1（15）

    输出数据Z*i由[-1， 1]转化成[Zmin， Zmax]之间的值Zi为

    Zi=（Z*i+1）/λZ+Zmin（16）

    式中：λx=2/（xmax-xmin）； λZ=2/（Zmax-Zmin）。

    设神经网络归一化功能函数对归一化变量的一阶偏导为Z*/x*i， 则实际功能函数对基本变量的导数表示为

    gxi=Zxixi=ZZ·Zxixi·xixi=

    1λZ·Zxixi·λx（17）

    由式（12）、 （16）功能函数修改为

    Z=λ-1Z{f2[WT2f1（WT1X*+b1）+b2]+1}+Zmin（18）

    式中： X*为归一化的X。

    由式（13）、 （17）梯度修改为

    g（X）=λ-1ZW1JY1Z1W2JY2Z2λx（19）

    1.4.5网络训练

    构建BP神经网络结构， 输入层节点数为X的维数， 输出层有一个节点， 表示输出Z。 选定隐层节点的传递函数为正切Sigmoid函数， 输出节点为线性变换函数， 选择网络训练算法。 按一定的比例将m个样本数据分为训练集、 验证集和测试集， 根据3个数据集的训练拟合效果确定最终隐层节点数。 最终得到连接权值向量W1， W2和偏置向量b1， 偏置数值b2， 根据式（18）提取得到神经网络显式表达式。

    1.5遗传算法优化

    遗传算法是采用一个多拓扑算法的直接优化方法， 属于全局搜索技术， 具有很强的自适应性、 鲁棒性， 尤其适合在高维、 多极点、 不可微、 连续或离散空间搜索优化解[11]。 因此， 遗传算法适合于可靠度灵敏度的非线性优化。 依据灵敏度优化数学模型， 以基本变量为基因， 编码成染色体， 不同染色体组成规模群体， 以式（8）为适应值函数， 利用迭代的方式进行选择、 交叉、 变异来改变种群中的染色体， 最终生成符合优化目标的染色体， 即X最优值。 遗传算法优化流程如图1所示。

    2发射装置锁制钩可靠性优化实例

    2.1基本变量

    锁制钩具有锁制导弹的功能， 如果强度不足则导致变形、 断裂， 将会发生导弹脱落故障。 图2所示为锁制钩结构图， 显示了9个基本变量（其他非随机变量没有显示）， 根据零件的使用功能或工艺要求， 几何尺寸带有公差， 一般属于随机变量并符合正态分布， 按照“3σ”原则得到基本变量参数如表1所示。

    为了便于分析， 本例仅选取以上9个尺寸变量的均值作为设计基本变量进行优化， 尺寸标准差、 机械性能和施加载荷等参数保持不变。 取材料屈服强度为853 MPa， 弹性模量为196 GPa， 泊松比为0.3， 作用在钩面上的力为22 300 N， 可靠度要求值为1。

    2.2初始变量有限元可靠性分析

    初始变量有限元可靠性分析是为了确定初始设计变量是否满足可靠性设计的要求。 应用ANSYS的PDS， 按照锁制钩初始均值μ0X和标准差σX， 以正态分布的形式并选用超拉丁抽样的蒙特卡洛法， 模拟运算100次得到可靠性分析结果。

    2.2.1功能函数累计分布函数

    功能函数累计分布函数如图3所示。 功能函数Z<0的概率为0.183（置信度为95%）， 即可靠度为0.817， 低于关键零部件可靠度要求值1， 需要进行可靠度优化设计。

    2.2.2功能函数灵敏度

    取显著性水平为0.025， 功能函数对初始变量的灵敏度条形图如图4所示。 表2第二列给出了优化前的初始灵敏度数值， 带括号的两个显著敏感的变量需要进行稳健可靠性优化， 其中X30变量对功能函数最为敏感， 其次是X1变量。

    2.3建立神经网络模型

    运用ANSYS的PDS， 运算200次， 编制Matlab程序提取PDS数据库， 形成200×9输入矩阵和200×1输出向量的训练样本。 采用Matlab神经网络工具箱建立三层BP网络， 输入层9个节点， 输出层1个节点， 隐层节点数按0.7∶0.15∶0.15比例划分成三个样本集训练的结果确定为12个节点。 网络训练采用Levenberg-Marquardt算法， 训练完成后得到的功能函数拟合曲线见图5， 可看出三种数据集拟合度较高。 将网络参数代入式（18）～（19）生成具体的功能函数及其梯度表达式。

    2.4可靠度灵敏度优化

    采用Matlab遗传算法工具箱进行优化， 按式（8）形成目标函数， 按式（9）设置变量上下边界约束条件， 按式（10）～（11）形成非线性约束函数， 选取变量数目为9， 编码方式为实数编码， 种群规模为100， 随机一致选择， 分散交叉， 精英数目10， 交叉比例0.75， 最大进化代数100。 运行遗传算法， 最优个体适应值变化曲线和最优个体如图6所示。 经圆整小数点后2位得到最终优化变量为μ*X=[19.8， 27， 5.05， 15.28， 18.58， 49.5， 19.8， 12.9， 4.95]。 观察最优变量： X1取下边界， 减少了力臂长度； X2取下边界， X10取上边界， 增加钩子承载能力； X20取上边界， 增加厚度； X30取上边界， 增大半径， 减少应力集中。 变量取值表明， 优化后提高了锁制钩结构可靠性， 定性验证了方法的正确性。

    2.5优化变量有限元可靠性分析

    为了定量验证优化方法的有效性， 按照初始变量有限元可靠性分析的步骤进行可靠性分析， 取变量均值为优化变量μ*X， 保持标准差σX等参数不变。

    2.5.1功能函数累计分布函数

    功能函数累计分布函数如图7所示。 功能函数Z<0的概率为0（置信度为95%）， 即可靠度为1， 大于初始变量可靠度， 满足可靠度为1的要求。

    图7优化变量功能函数累计分布函数

    Fig.7Cumulative distribution function of performance function to the optimal variables

    2.5.2功能函數灵敏度

    取显著性水平为0.025， 因没有显著敏感变量， ANSYS不显示灵敏度条形图。 表2第三列给出了优化后的灵敏度数值， 变量全部为不敏感变量。 优化之前初始变量灵敏度平方和为0.215， 优化后则为0.047， 明显小于优化前可靠度灵敏度。

    3结论

    （1） 以发射装置锁制钩结构稳健可靠性优化为例， 采用ANSYS的有限元分析技术， 生成结构功能函数和基本变量的关系数据集， 以此构建、 训练BP神经网络， 训练结果表明， 一个三层BP神经网络模型能够较好地拟合有限元分析结果。

    （2） 由神经网络功能函数和梯度显式表达式， 计算可靠度对基本变量的灵敏度； 根据均值一次二阶矩法计算可靠度并形成可靠度约束方程， 以基本变量边界为约束条件， 用遗传算法对目标函数灵敏度进行最小化， 得到优化的设计变量。

    （3） 采用ANSYS的有限元概率设计技术， 验证设计变量优化前后的可靠度和灵敏度， 结果表明在提高结构概率可靠度的同时， 降低了灵敏度。

    （4） 编制的Matlab程序具有较强的通用性， 可直接应用于发射装置重要、 关键机械零部件的强度可靠性优化与稳健设计。

    （5） 推广“应力-强度”干涉理论， 将功能函数扩展成疲劳、 磨损、 腐蚀、 运动等极限状态， 可参照该方法进行广义可靠性优化与稳健设计。

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    Structural Robust Reliability Optimization Based on

    Finite Element and Intelligent Algorithm

    Fu Bo1， Zhang Shengli2， Ni Dong1

    （1. PLA Air Force Representative Office in Luoyang District， Luoyang 471009， China；

    2.China Airborne Missile Academy， Luoyang 471009， China）

    Abstract： Based on the finite element analysis of structural parametrization， the relationship between structural stochastic design variables and performance function is obtained， and a BP neural network model is set up to provide the explicit performance function and gradient expressions. Thus， the probabilistic reliability and reliabilitybased sensitivity can be calculated.Taking the probabilistic reliability as nonlinear constraint equation， and the reliabilitybased sensitivity as target function， the optimal model is established based on genetic algorithm to obtain the stochastic design variables of minimization sensitivity. The missile launcher detent hook optimization example indicates that the probabilistic reliability is increased， meanwhile， the reliabilitybased sensitivity is significantly decreased.The proposed methodology provides a general and effective method for launcher structural reliability optimization and robust design.

    Key words： structural robust reliability； optimization design； finite element model； neural network； genetic algorithm； launcher