厘清认知起点 厚实思维表象
项萍
【问题缘起】
“倍的认识”是一节概念课，同时又是一节重要的起始课。之前的教学，通过主题图直接揭示概念，然后通过圈一圈、摆一摆、画一画等活动形式，让学生在动手操作中形成表象，最后通过练习来加深学生对“倍”的理解。课堂反馈看上去很不错，然而练习反馈却令人沮丧，学生作业如下图。
为何一节看似成功的课却出现如此糟糕的学习效果呢？反思整个教学过程，发现可能是以下几方面原因造成的：
一、缺乏清晰的认知起点切入“倍”的解读
“倍的认识”是小学数学中关系教学的起始课，也是学习相对数量比较的一个抽象概念，学生理解难度比较大。学生在一二年级学习了“比多少”和表内乘除法，对两个量之间受思维定式的影响，往往总停留在“比多少”上。而 “倍”代表着两个数量间的比较关系，它产生的前提和基础是两者比较，关键是要找到比较量和标准量，即一方在以谁为标准，分成相同的几份。之前的教学只重视“倍”是什么，却轻视“倍”的数学本质，以及与乘法意义之间的联系，学生“倍”的概念学习如空中楼阁，没有扎实的认知基础作支撑。
二、缺乏足够的表象积累支撑“倍”的抽象
由于本节课是以定义的方式呈现“倍”的本质属性，学生对概念形成过程的探究是缺失的，对“倍”的理解停留在机械记忆上，练习中生搬硬套概念，一旦遇到变式练习，因找不准“标准量”，往往无从下手。
从之前“短、平、快”式课堂教学中不难看出，学生因缺乏形成“倍”的概念所需要的表象，对“倍”本质理解只能停留在课本定义上，教师的陈述中，无法达到真正意义的理解。
基于以上的经历和思考，结合学生的认知心理特点，对“倍的认识”教学进行了重新设计。
【再次设计】
一、让思考“看得见”，找准“倍”的起点
任何新知识的教学，都要考虑学生已有的学习经验、认知水平，要了解学生的兴趣与困难所在，找准知识的起点，找到学习新知的最近发展区，只有这样才能形成适合学生学习策略。
1.动起来，让思考“看得见”。
数学思维是抽象的，摸不着看不见，但数学思维往往伴随着具体的数学活动而展开，数学活动是思维显性的外壳。教学时让学生 “动”起来，教师才有机会“观察”学生思维路径、方向与状态。
教学片段：
师：动物园里来了一群可爱的小动物，我们一起去看看吧！
（学生们充满了期待的眼神看向屏幕，“哇！兔园！”）
课件动画出示：
师：你看到了什么？
生：黑兔。（响亮并急切地说）
师：你有什么想说的？
生1：一共是6只黑兔。
生2：3只小黑兔一组。
生3：一共有6只小黑兔分成了兩组。
师：可以说是几个几？
生：2个3。
（安排了一个摆“3个2”的操作活动。）
作品反馈：
师：哪位同学摆的是3个2？
生1：左边的对，右边是2个3了。
生2：我也支持，左边才是3个2。
……
由此可以看出，在学生齐声回答“3个2”之后，还需要经历动手摆“3个2”的过程。让学生经历操作、反思的“动”，教师才能厘清学生的思维起点，才能找准学习新知的最近发展区。在接下来的教学中才能有效地引导学生把“几个几”与新知“倍”的本质特征进行对接。
2.说出来，让思考“看得见”。
语言是思维的外壳，借助语言我们可以将思维展现出来。让学生“说”出自己的思路、想法，从中把握他们思维的水平、方向和动态。为此，课堂上要给足学生表达的时间和空间。
教学片段1：
生1：这位同学摆得不对，白兔是2只，要以2只为一组摆，摆3个2只。
生2：“2个3”表示的是以3只为一份，有2份;“3个2”表示的是以2只为一份，有3份。
学生在遇到“3个2”的粘贴情况不一样时，通过碰撞交流，才能在唤醒旧知的同时，修正自己原本理解上的偏差。带着正确的理解才能在后续的学习中，有效地把“几个几”与新知“倍”建立起知识连接点。
教学片段2：
师：白兔有2只，黑兔有3个2只，我们就说黑兔的只数是白兔的3倍。
师：你可以再说一说吗？
生：白兔有2只，黑兔有3个2只，黑兔的只数是白兔的3倍。
师生互动，老师摆学生说。
生生互动，同桌之间一个摆一个说，再互换角色。
通过各种形式说的机会，让学生在说的过程中，感受“倍”与“几个几”之间的联系。从模仿到边摆边说再到你摆我说，三个层次地说，达到层层递进的效果。
二、让思维“可视化”，抽象“倍”的本质
对于“倍”的概念的理解，在学生探究的过程中，必须要经历各类具体实例的观察、比较、分析，这样才能积累丰富的“倍”的表象，此时，抽象出“倍”的本质特征也就水到渠成了。
1.画下来，让思维显“形”。
文字描述的数学概念是抽象的，如何让隐藏在文字背后的数学本质显现出来，又能让教师“观察”到学生的思维过程。画图是简洁、易行的方法之一。
教学片段：
让学生用“画”的方式经历3次探究“谁是谁的几倍”的过程。
第一次：
第二次：
第三次：
经历这么多层次的图形表征之后，学生在圈圈画画中强化对“倍”的初步感知，积累了丰富的“倍”的表象，为后续抽象“倍”的概念奠定了坚实的基础。
2.比起来，让思考建“模”。
没有碰撞就没有思维的推进，学生只有在与别人分享、对话，产生火花的过程中，才会质疑、辨析，从而逐步调整自己原有的建构。为此，在此教学环节设计了两次“比”的过程：
教学片段：
（1）海星的只数是水母的几倍。
师：你发现了什么？
生：水母又多了一只。
师：那海星的只数是水母的几倍呢？
展示学生的作品。
师：说说你是怎么想的？
生：我想水母有3只，海星有12只，圈一圈，我发现海星里面有4个3只，所以海星的只数是水母的4倍。
师：说得真好。
師：再来看看这位同学的，跟她不一样的地方在哪？
生1：上面画的是虚线，下面画的是实线。
生2：下面写的是水母的只数是海星的4倍，写反了。
师：可以反过来吗？
生1：不可以，反过来的话水母的只数就比海星多了。
生2：海星里面有4个3只，所以应该是海星的只数是水母的4倍。
生3：多的是少的的几倍。
（2）海星的只数是海龟的几倍。
课件只出示一个量。
师：请说一说谁是谁的几倍？
生1：我觉得海星是水母的几倍？
生2：海星是海龟的几倍？
生3：上面只有海星，不知道谁是谁的几倍？
师：看来大家都觉得题目缺少信息，你们需要几个量？
生：求谁是谁的几倍，需要两个量。
师：是的，海龟爬的有点慢，看！它来了。
课件出示：
生独立思考并完成，然后展示交流。
师：说说你是怎么想的。
生：我发现海龟有4只，以海龟一份的量为标准，海星的只数是3个4只，所以海星的只数是海龟的3倍。
通过设计不同层次的观察、分析、比较、交流活动，帮助学生厘清“倍”的本质特征是两个量之间的比较关系，两个数量比较时，分清谁是标准量最为重要。为此，在活动中设计了标准量数量的变化、位置的变化，通过非本质属性辨析，为学生理解“倍”的本质属性积累丰富的认识经验。
同时，在学生交流、表达自己想法的过程中，师生之间、生生之间的互动辨析，一方面丰富学生“倍”的表象，另一方面也帮助学生厘清了思维上的模糊点，学生对“倍”的概念也由具体认识逐步走向抽象理解。
三、让学习“摸得着”，完善“倍”的建构
学生在认识倍的过程中，从“倍”的直观模型到抽象“倍”的数量关系，不仅需要积累“倍”的表象，还需要在练习中，纠正认识过程中的思维偏差，从而完善“倍”的建构。他们学习“倍”的路径看得见、摸得着，为今后进一步学习提供了丰富的数学学习经验。
1.摆一摆，丰富“倍”的模型。
教学片段：
师：用小棒摆一摆。
第一行：
第二行：
第二行的根数是第一行的3倍。
师：你们摆的都不一样，为什么都说第二行的根数是第一行的3倍呢？
生1：因为第二行里面都有3份。
生2：我发现第一行摆一份，第二行摆这样的几份，根数就是第一行的几倍。
师：下面的同学摆的对吗？能表示第二行是第一行的3倍吗？
生1：不能，看不出来第二行里面有3份。
生2：有3份，第一行有2根，2根为一份，第二行里面有3个2根，只不过他没有2根2根地摆。
师：没有2根2根地摆，可以吗？
生：可以，只要第二行摆的根数含有3份第一行的根数就可以啦。
通过练习让学生体会到，只要多倍量里面含有几个一倍量，那么多倍量就是一倍量的几倍。打乱小棒的摆放，让学生从关注直观模型，跨越到关注小棒的数量，帮助学生对倍的认识逐步从感性上升到理性。让学生的思维从“倍”的直观模型过渡到抽象“倍”的本质内涵。
2.画一画，丰富“倍”的内涵。
教学片段：
师：画三角形，如果圆的个数是三角形的1倍，你会画吗？
师：圆的个数还可以是三角形的几倍呢？你会画吗？请想一想，再画一画。
提供材料帮助学生突破并完善“1倍”关系的建构。同时让学生去思考，知道“几倍量”如何确定“一倍量”呢？借助这样“可视化”的操作，来帮助学生在思辨中提升自己的思维，完善“倍”的建构。
“可视化”的教学，既能让老师看得见学生的学，找准起点，又能促进学生的学，建立表象，抽象出数学本质。让学生真正经历知识的形成过程。
