从“复习与关联”谈如何上好复习课
李惠萍 徐盛 刘双艳
提到复习课，老师们总觉得难上，为什么呢？通过对学生及教师的调查发现以下几个原因：枯燥乏味没兴趣;题太多，作业多;学生已经会了，教师还在翻来覆去地讲;学困生在复习课前后没有太大的变化;题目外在的情境、形式不吸引孩子，内在的思维对学生没有挑战等。如何上好复习课？如何通过复习既对学过的知识进行查缺补漏，又能通过复习提高学生的数学学习兴趣，培养学生的数学学习能力，让数学学科的核心素养落地呢？下面将从笔者指导并展示的6节复习课中，从“复习与关联”的角度来谈一谈怎样上好复习课。
一、在整理中将知识进行关联，在关联中建立知识网络
整理与复习的教学应该是以整理所学知识、梳理知识脉络、构建知识体系和提高运用知识解决实际问题能力为主要任务的一种课型。其基本含义有两点：一是整理，指把学过的知识进行系统归类、对比梳理，将零散的知识系统化，将容易模糊的知识清晰化;二是复习，指深入学习，不是简单的重复，而是在学生已有的数学知识基础上对原先学习过的数学知识内容进行深层次上的再学习。它更多的是一个加深数学知识理解，理清数学知识间联系，进一步提高数学知识掌握水平，提高数学知识应用能力和技能的过程。数学教师能通过整理与复习，将数学知识进行关联，形成知识网络，数学知识结构才能很好建立在学生的头脑中。
人民教育出版社出版发行的小学生数学读本《生本学材》从一年级上册开始，在每个单元结束后，增加了“复习与关联”板块，希望通过对单元知识的整理，特别是知识间的关联，引导学生用自己的方法构建本单元的知识结构图，将所学知识结构化和系统化，加深了学生对知识间的理解。
二、在整理中将知识进行关联，在关联中建立数学认知结构
在复习课中，教师首先要具备数学知识结构关联的思想和意识，然后想办法将这些知识结构转化成学生的认知结构，力求体现一节复习课能解决一类问题，提高复习课的效率。例如，昆明市盘龙区云波小学徐盛老师在进行五年级“长方体与正方体表面积和体积的复习”时，设计出了为一个长方体木块（如图1）“刷”“截”“切”“拼”“挖”五种类型的数学活动进行关联，建立起了关于长（正）方体表面积和体积的数学结构。在这个数学结构的建立中，结合转化、迁移、想象等数学思想和方法，帮助学生重新建立了关于“长（正）方体表面积和体积”这一类问题的数学认知结构，提高了复习课的效率。
活动一：解决“刷”的数学问题
课件出示：一个长方体木块，长6cm、宽2cm、高3cm。
师：这个长方体的木块，我们干一件什么事情的时候，才要求它的表面积？
生1：刷油漆。
师：求刷油漆的面积就是求这个长方体木块的表面积。
生2：包装彩纸。
师：求彩纸的面积就是求这个长方体木块的表面积。
师：刚刚有孩子提到了刷油漆，一个字表示“刷”。
师：可以刷几个面？
生：6个面。
师：6个面的表面积会“刷”吗？会列式计算吗？（学生只列式不计算）
学生反馈交流：
生：（6×2+6×3+2×3）×2。
师：既然可以“刷”6个面，还可以“刷”几个面？
生：5个面。
师：日常生活中哪些物体是“刷”5个面的？
生：无盖鱼缸、游泳池、教室。
师：刷5个面木块表面积列出式子。
学生反馈交流：
生：6×2+（6×3+2×3）×2。
师：这个算式中的6×2表示什么？
生：要么刷上面要么刷下面，只刷1个面。
师：除了可以刷6个面、5个面还可以刷几个面？
生：4个面。
师：生活中哪些物体刷4个面？
生：贴商标纸、石柱、通风管道。
师：刷4个面的表面积怎样列式？
学生反馈交流：
生：（6×3+2×3）×2。
师：刚才我们一直在干一件事情就是“刷”，有的时候是刷6個面、5个面，还有的时候是刷4个面。在日常生活中我们要具体问题具体分析，看看到底要刷几个面。
关于“刷”的数学活动的开展，教师先引导学生思考：“刷”和表面积建立的是什么样的关系，以及怎样“刷”，回忆生活中哪些物体是刷6个面、5个面（无盖鱼缸、游泳池、教室）、4个面（通风管道、石柱）的，并分别总结出刷6个面、5个面、4个面的表面积的计算方法，由此建立了“刷”的数学模型，从而让学生明白不同的物体求表面积时计算的面的个数是不一样的。
活动二：解决“截”的数学问题
课件出示：把这个长方体木块截成一个最大的正方体（如图2），这个正方体木块的体积是多少立方厘米？
师：我们从问题入手，要求这个截下最大正方体木块的体积，必须要知道什么条件？
生：最短的那条边2厘米。
师：理由呢？如果截成3厘米的话，2厘米就不够了。如果截成6厘米，2厘米和3厘米就不够了。
师：这个最大的正方体的棱长应该是几厘米？
生：2厘米。
师：不能为3厘米和6厘米。现在这个最大正方体的体积能求出来吗？直接口答列式。
生：2×2×2。
师：表面积怎么求？
生：2×2×6。
在探究“截”的数学问题的活动中，怎样在长方体木块中截一个最大的正方体木块。让学生理解最大正方体的棱长只能是原来长方体木块长、宽、高里面最短的一条，从而建立关于“截”的数学模型。
活动三：解决“切”的数学问题
师：把一个长方体木块切成两个长方体，可以怎样切？
学生上台展示三种切法。
师：一共有几种切法？
生：3种。
师：切成两个长方体后，表面积增加了多少平方厘米？（课件演示第一种切法）
师：第一种切法，表面积增加了多少平方厘米？
生：3×2×2。
师：为什么乘2。
生：切开之后增加了2个面的面积。
师：你能上台指一指增加的是哪2个面吗？
师：相当于增加的是原来长方体左、右两个面的面积。
（课件演示第二种切法）
师：第二种切法，表面积增加了多少平方厘米？
生：6×3×2。
师：相当于增加的是原来长方体前、后两个面的面积。
（课件演示第三种切法）
师：第三种切法，表面积增加了多少平方厘米？
生：6×2×2。
师：相当于增加的是原来长方体上、下两个面的面积。
（课件出示这三种切法和算式）
师：仔细观察图和算式，你发现了什么？
生：算式都乘了2。
师：为什么都乘了2？
生：因为表面积都增加了2个面的面积。
师：还有什么发现吗？
生：切一次增加2个面。
师：还有什么发现吗？
生：不管是竖着切、横着切还是拦腰切，表面积都是增加了2个面的面积。
师：还有什么发现吗？
生：切的次数×2=增加的面数。
师：切开之后体积变不变？
生：不变。
师：因此我们可以得出：表面积都增加了原来2个面的面积，体积不变。
课件出示：
切的次数 1 2 3 4 5 … n
切开后表面积增加原来几个面的面积 2 4 6 8 10 … 2n
师：切1次、2次、3次、4次、5次分别增加几个面的面积？
生：2个、4个、6个、8个、10个。
师：10次呢？
生：20个面。
师：20次呢？
生：40个面。
师：100次呢？
生：200个面。
师：n次呢？
生：2n个面。
师：说一说你的理由，好吗？
生：切1次增加2个面，切2次增加4个面，所以依次乘2。
师：也就是说增加几个面的面数=切的次数×2。
关于“切”的数学活动的开展，教师先引导学生思考怎样“切”，借助课件让学生探究每种切法的表面积和体积各有什么变化。通过“切”的数学问题的解决过程让学生发现：不管怎么切，长方体的表面积增加，体积不变。切1次会增加2个面，切口越多，增加的面的个数越多。增加的面的个数是切数的2倍，由此建立了切数和面的个数的数学模型。
接下来用同样的教学策略帮助学生解决关于“拼”和“挖”的数学问题，从而建立起这两种方法的数学模型。通过有关“挖”的数学问题的解决，让学生发现：体积会减少1个小正方体的体积，在不同的位置“挖”表面积增减的情况是不一样的。在顶点上“挖”表面积不变，在棱的中间上“挖”表面积会增加2个面的面积，在面的中间“挖”表面积会增加4个面的面积，通过解决“挖”的数学问题，建立了“挖”的数学模型。
本节课通过关于“刷”“截”“切”“拼”“挖”的一系列问题的解决，在解决问题的应用环节，随着开放性问题的提出，教师引导学生展开想象，使学生的思维从抽象走向具体，学生在整理、讨论、观察、比较、分析、归纳等学习活动中获得了“长方体与正方体的表面积和体积”完整的知识结构，达到了巩固相关的知识，培养学生的空间想象、建模的能力，提高了学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
三、在整理中将知识进行关联，在关联中凸显数学学科本质
教材是知识的载体，是教学的重要资源。通过复习，一方面对知识的关联形成数学知识结构，而更为重要的是关注知识的深层次问题，即知识的本质，比如：知识的性质、思想、方法、作用、能力、转化等方面。怎样在复习课中体现这一思想？昆明市官渡区东华二小刘双艳老师在一年级下册“20以内退位减法复习”中，很好地通过复习，沟通知识，凸显数学学科本质，很好地培养了一年级学生学习数学的基本能力。
（一）呈现了36道凌乱的退位减法算式，通过找到分类标准后进行分类整理
师：同学们，你们看着有什么感觉？
生：摆得太乱了。
师：怎样才能让它不乱呢？
生：我们可以摆整齐些。
师：也就是我们要把这些算式整理一下。怎样整理，使它更有序呢？
引导学生找到分类整理的标准，即按被减数、减数、差来分类后，开展小组活动。
这个环节的设计是为了让学生经历从“无序”到“有序”的过程，从而体会有序思考的重要性。
接着设计了4人小组活动，让学生按照自己小组选择的分类标准自行整理36道20以内退位减法的算式，小组组员之间明确自己的分工，合作整理卡片。
4人小组活动要求：
①和②找。
③擺。
④监督。
（二）通过展示学生作品，发现规律，凸显数学本质
图4 组1：被减数相同? ? ? ? ? ? 图5 组2：减数相同
师：你能说一说你们是怎样整理的吗？你有什么发现？
生：我发现都是11、12、13、14、15、16、17、18。
师：你能说清楚你是怎么看的吗？11、12、13……这些数叫作什么？
生：我是横着看的，我发现被减数一个比一个大1。
图6 组3：差相同
师：说得真清楚。这个小朋友用“一个比一个”描述了横着看，被减数发生的变化。横着看，你还能有什么发现？
生1：横着看，我发现减数不变。
生2：横着看，我发现差一个比一个大1。
师：谁能来完整地说一说在这个作品里，横着看，你发现了什么？
生3：横着看，减数不变，被减数一个比一个大1，差一个比一个大1。
师：我们还可以怎么看？你又能发现什么规律呢？
生4：竖着看，被减数不变，减数一个比一个小1，差一个比一个大1。
......
学生通过亲身经历摆的过程，并且在摆的过程中渐渐发现被减数、减数、差存在一定的规律，因此在分享规律的时候，让学生的认知从“你发现了什么”到“规律是什么”，这样一个从表象到抽象的过程，更好培养了学生数学推理和数学建模。
（三）运用规律，解决问题
图7这个练习的编排，是为了让学生找到规律，运用规律，使学生深刻地感受到有序地梳理能够找到规律，运用规律能够很快地解决问题，所以有序地整理，按规律整理是有价值的。
四、在整理中将知识进行关联，在关联中落实数学学科核心素养
数学是研究数量关系和空间形式的科学，也是一门研究“关系”的学问。《义务教育数学课程標准（2011年版）》的课程目标提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”所以， 在教学中，教师要引导学生寻找知识之间的内在联系，形成知识体系，对于帮助建构学生认知体系、发展思维能力有着积极的促进作用。
数学的学科知识本身是存在着千丝万缕的联系的，所以数学又称为“关系学”。比如：因为平移与旋转是图形运动方式，所以“点动成线”“线动成面”“面动成体”的图形变化规律就成为衔接平面图形和立体图形之间的桥梁。通过这座桥梁，可以把平面图形和立体图形的知识相同之处关联起来，从而形成认知结构网络。昆明市呈贡区斗南学校杨文水老师进行的六年级下册的复习课“从平面到立体”就是以寻找圆柱和圆、长方形（圆柱经过圆平移和长方形旋转形成的）之间的联系，从而形成了图形之间的知识体系。
联系一：圆和圆柱的关联
开课之初，教师引导学生找出圆的半径、直径、周长、面积之间的关系，建立圆的知识体系（如图8）。
然后，让学生观察讨论圆叠加（平移）之后，圆和圆柱有什么关系。通过小组合作，学生找到了圆的半径是圆柱的底面半径、圆的直径是圆柱的底面直径、圆的周长是圆柱的底面周长、圆的面积是圆柱的底面面积、圆叠加的个数就是圆柱的高，进而理解了为什么圆柱的横截面是圆（如图9）。
联系二：长方形和圆柱的关联
通过让学生观察讨论：圆柱是长方形旋转而成的，圆柱和长方形之间有什么联系？小组合作，利用长方形分别以长和宽为轴旋转360度形成圆柱，将长方形各部分与圆柱各部分进行关联，不仅理解了圆柱的纵截面为什么是长方形，更好发展了学生的空间观念，为今后进行几何的学习打下了坚实的基础，真正让数学核心素养落地。
总之，在本节课中，通过寻找圆和圆柱、圆柱和长方形之间的关系，就把与圆柱相关的所有知识点搭为知识链，继而把这种“回顾旧知，找到联系，形成体系，解决问题”的学习方法，运用到整个平面图形和立体图形的复习中，更好地构建了数学认知体系，提高了复习效率，真正实现知识在建构中增值、思维在交流中碰撞、情感在活动中融通。
