铁路自复位高墩的高阶模态贡献研究

    杜骞 夏修身 陈兴冲 孙学先

    

    

    

    摘要：针对高阶模态对自复位桥墩的影响，以某铁路58 m高墩为例，基于OpenSEES建立自复位高墩地震反应模型。输入近场地震动强震记录，通过增量动力分析得出了墩身塑性铰的形成及发展规律。基于模态分解法讨论了前3阶模态对墩身弯矩和墩顶位移的影响，引入一种定量指标评价了各阶模态反应的贡献。结果表明：在近场地震作用下，自复位高墩墩底提离后只会减小第1阶模态响应对墩身的作用，使墩底不出现塑性铰;受高阶模态地震响应的影响，墩身中部仍会出现塑性铰区，墩底提离不能消除高阶模态的作用。

    关键词：自复位高墩;高阶模态;振型贡献率;地震反应

    中图分类号：U24

    文献标志码：A

    文章编号：1004-4523 （2019） 06-1003-08

    DOI：10. 16 385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 009

    引言

    高墩桥梁广泛应用于中国西部高烈度山区。为了实现强震下桥墩及基础基本无损的目标，文献[1]提出了一种铁路新型自复位高墩，分析了高墩隔震效果，结果表明铁路桥梁采用自复位高墩较墩顶设置减隔震装置隔震效果明显。文献[2]对铁路桥梁自复位高墩不同数值模型进行了地震反应研究，提出了一种可靠的两弹簧模型和提离刚度的取值方法。文献[3-4]分析了墩底限位普通钢筋和预应力筋的预应力效应对铁路桥梁自复位高墩地震反应的影响。文献[5]考查了近场地震动对自复位高墩的影响，结果表明近场地震动高墩的摇摆反应明显大于普通地震动。以上研究成果均表明，墩底提离可避免墩底出现塑性铰区，但对强震下墩中是否出现塑性铰没有关注，更没有探讨高阶模态效应对自复位高墩的影响。

    国内外学者对传统高墩中的高阶模态作用开展了诸多研究。文献[6]指出受高阶模态的影响，高墩墩顶最大位移和墩底最大曲率出现的时刻不同步。文献[7]通过墩身曲率包络和Pushover曲线分布验证了墩中塑性铰由第2阶振型控制。文献[8]通过对墩身塑性铰产生、发展规律的分析，得出普通高墩在高階模态作用下，墩身中部区域出现塑性铰。以上研究说明结构地震反应存在高阶模态的影响，但各阶模态对结构地震反应的贡献无定量分析。在房屋建筑中，最早采用振型分解法对工业厂房、高层及超高层楼房进行了高阶振型影响的定量分析[9-10]。文献[11]引入振型分解法对自复位桥墩高阶振型影响进行了定量分析，但只考察了墩底内力和墩顶位移影响。文献[12]采用瞬时模态分析法，通过研究延性位移谱值随墩底曲率增加的变化规律来反映瞬时高阶模态的贡献程度，其研究方法可供本文借鉴。

    为了研究自复位隔震高墩中高阶振型的影响，以某铁路桥58 m高墩为例，基于OpenSEES（ OpenSystem for Earthquake Engineering Simulation）建立了数值分析模型。由于近场地震动对自复位高墩墩顶位移影响显著[5]，本文采用增量动力（IDA）分析方法考察近场地震动对自复位高墩地震反应的影响，引入模态分解法近似定量分析了前3阶模态对结构地震反应的贡献。研究结果可为铁路新型自复位高墩设计及应用提供理论依据。

    1 各阶模态动力响应的度量方法

    1.1 各阶模态贡献的计算方法

    本文采用模态分解法[10]对铁路高墩的各阶模态贡献进行分析。模态分解法在线性系统中成立，因此进行非线性分析的结果是一种近似解。

    1.1.1 各阶模态内力计算

    结构各阶模态引起的结构内力，包括剪力和弯矩，可以根据对结构非线性时程计算得到的等效地震荷载进行模态分解而求得。根据结构动力学[13]模态分析的相关知识，首先引入非线性多自由度结构第规阶模态的等效地震静力frn（t），表达式为

    fr，n（t）-Sn·an（t）

    （1）式中 an（t）为与线性结构中的伪加速度An（t）相对应的非线性系统中第n阶模态的伪加速度，sn是第n阶模态等效地震荷载的空间分布向量

    sn=Fn·mφ

    （2）式中 Fn为振型参与系数，m为结构质量矩阵，φn为结构的第n阶振型。

    假定叠加原理对摇摆自复位结构仍然适用，则结构t时刻总的等效地震静力fr（t）等于t时刻各阶等效地震静力之和，即

    利用振型的正交性，将式（3）左右两侧左乘φTn经整理得

    式中Mn为第n阶模态的广义质量。

    根据非线性时程计算的结构剪力结果可以得到时刻t结构的等效地震静力fr（t），由式（4）可以得到an（t），式（1）计算各阶模态的等效地震静力，进而计算各个时刻各阶模态对应的剪力及弯矩等内力。

    1.1.2 各阶模态位移计算

    为计算各阶模态位移，需要引入与第n阶模态单自由度线性系统位移响应Dn（t）相对应的第n阶模态单自由度非线性系统等效位移响应δ（t）。则第n阶模态的位移向量un（t）可以表示为

    un（t）=Fn·φn·δn（t）

    （5）

    利用叠加原理，结构总的位移向量可以表达为

    利用振型的正交性，式（6）左右两侧左乘φTn，经整理可得第n阶模态单自由度非线性系统的等效位移响应为

    在得到δ（t）之后，根据式（5）便可以得到各个时刻各阶模态对应的结构位移。

    1.2 各阶模态贡献的定量评价

    采用模态分解法求出各阶模态对应的内力、位移后，为描述各阶模态对结构响应的贡献大小，引入一种评判指标QM1[l0]，如下式

    式中 各参数意义如图1所示。QM1n为总响应最大值对应时刻tm第n阶模态响应值rn（t）t=tm与总响应值rtot（t）t=tm之比。

    2 自复位桥墩地震反应分析模型

    自复位桥墩模型采用文献[4]中带预应力限位装置的两弹簧有限元模型模拟。其有限元模型如图2所示。模型中不考虑桩一土效应，承台底固结。

    墩柱采用弹性梁单元，承台及墩底扩大基础采用刚臂单元模拟，桥墩提离采用仅受压弹簧模拟。提离弹簧承压刚度按下式计算：式中 Kv为竖向刚度;G为扩大基础材料剪切模量;R0为等效半径;V为基础材料泊松比;A0扩大基础截面积。提离弹簧本构模型如图3所示。

    预应力筋本构模型按照理想双线性近似模拟[4]，不考虑预应力筋受压（如图4所示）。预应力钢筋单元的初始刚度为式中 E为预应力钢筋的弹性模量;A为预应力钢筋的横截面积;L为预应力钢筋的非约 长度。

    3 算例分析

    3.1 工程背景

    某单线铁路32 m简支梁直线桥，下部采用群桩基础空心圆端型桥墩（如图5所示）。桥址设计地震动峰值加速度0. 20g，Ⅱ类场地，特征周期0. 45 s。以该桥1 8号58 m高墩作为研究对象，墩顶横桥向6.3 m，顺桥向4.2 m;墩底横桥向9.1 m，顺桥向7.Om;壁厚1.12 m，内坡1：90，外坡1： 40;纵筋配筋率1.O%，体积配箍率0.4%，墩身采用C35混凝土。

    传统结构形式（如图6（a）所示）顺桥向1阶周期为0. 95 s。当设计为自复位桥墩时，墩底扩大基础尺寸为10 m×12 m×2m，采用C30混凝土（如图6（b）所示）。

    3.2 地震动输入

    从美国太平洋强震数据库选取1994年美国Northridge强震记录作为输入地震动（如图7所示），通过增量动力分析法进行顺桥向非线性时程分析。

    3.3 有限元模型建立

    基于OpenSEES建立带预应力筋的自复位隔震桥墩地震反应分析模型。桥墩与刚臂均采用弹性梁柱单元element elasticBeamColumn，桥墩共划分2 6个单元，27个节点，其中刚臂的刚度取桥墩单元最大刚度的100倍。提离弹簧单元采用element zeroLength模拟，且采用弹性非受拉材料unlaxialMaterial ENT，提離弹簧刚度k由式（9）-（1 1）计算取2.1×l08 kN/m。预应力钢筋采用桁梁单元模拟，其材料本构特性通过umaxialMaterialElasticPP来实现（如图8所示），初始预加力施加通过初始应变来实现。

    图8及式（13）中，E=1.96×l08 kPa;eP为预应力筋受拉屈服应变，参考美国加州抗震设计规范[14]，取0.0086;Nt为初始预加力;A为预应力筋截面积;εN为受压屈服应变，取O0ε0为材料的初应变，当为负值时，预加力为初拉力。

    算例中墩底竖向力为37599 kN，预应力筋截面积A取0.0032 lIl2，初始预加力N，取墩底竖向力12%，按式（13）计算得到的eo =-O.0072。

    4 结果及其分析

    4.1 墩身塑性铰发展规律

    由参考文献[8]可知，高阶振型在墩身中影响较大的区域为距墩底40 m附近。本文对自复位桥墩顺桥向进行增量动力分析，所得数据如表1所列，墩中塑性铰位置及墩身弯矩和惯性力分布如图9-11所示。图表中，PGA为地震动峰值加速度，单元屈服弯矩选取J端截面、其数值采用XTRACT（截面弯矩曲率分析软件）辅助计算。

    从图9及表1可知，当PGA =O. 27g时，34号单元（距墩底40 m）率先出现塑性;当PGA =0. 30g时，除34号单元出现塑性外，38号单元（距墩底29 m）也出现塑性，但墩底部位（2 5号单元）始终没有出现塑性。

    图10和11分别为调整幅值为0. 27g和0.30g的Northridge强震记录，在9.16 s（3 4号单元屈服时刻）墩身弯矩和惯性力分布图。由图1 0和1 1可知，弯矩及惯性力沿墩身高度呈高阶模态的形式分布，这表明了高阶振型的影响。

    由表1结合图10和11可知，在近场地震作用下，受高阶振型的影响首先在距墩底40 m处出现塑性铰;随着地震动强度增大，在距墩底29 m处出现第二个塑性铰区;自复位桥墩墩底没有出现塑性铰。这表明，自复位桥墩提离隔震并未减小高阶振型效应。

    4.2 各阶模态响应

    为了进一步考查各阶模态效应对桥墩的作用，采用前述模态分解法近似求出了Northridge波作用下，桥墩关键截面最大弯矩出现时刻前3阶模态弯矩值，如表2所示。3 4号单元屈服时（PGA—0. 27g），前3阶模态弯矩与总弯矩时程曲线对比如图1 2所示。

    由表2及图1 2和1 3可得：

    （1）墩中产生塑性铰区时刻墩底发生提离。本文参考文献[15]计算得墩底提离弯矩为220175 kN.m，墩底第1阶模态弯矩值大于墩底提离弯矩，这说明墩底提离主要由第1阶模态贡献。

    （2）墩身塑性铰区屈服时刻第2阶模态弯矩贡献率大，达到了70%左右，第1阶模态弯矩贡献率只占到20%左右。

    （3）墩底第1阶模态弯矩对总弯矩的贡献率大，达到了93%，第2阶比第3阶模态弯矩贡献率小。

    4.3 各阶模态响应贡献率

    本文选取QMi作为评价指标，按照前述方法考察了结构前3阶模态对地震响应的贡献，QM1反应了结构出现最大地震响应时刻各阶模态的贡献率。

    表3列出了顺桥向Northridge地震波作用下墩身关键截面弯矩前3阶模态贡献率;图14绘出了墩中两个塑性铰单元前3阶模态贡献率柱状图。

    由表3和图14可得出：

    （1）小震作用下，自复位高墩地震响应以第1阶模态贡献占主导地位。

    （2）随着地震动增大，第2阶模态对墩身潜在塑性铰区墩身弯矩的贡献显著，第2阶模态贡献最大为第1阶模态的5倍。在进行自复位桥墩墩身抗弯设计时，必须考虑高阶模态效应的作用。

    （3）墩底主要由第1阶模态弯矩贡献控制，占到了总弯矩的93%，且不随地震动的增大而发生显著变化。因此对墩底进行抗弯设计时可不考虑高阶模态的影响。

    表4列出了顺桥向Northridge地震波作用下前3阶模态对墩顶位移贡献程度。

    由表4可得出：墩顶位移主要以前两阶模态贡献为主，第1阶模态的贡献率能达到84%以上。随着地震动的增大，第1阶模态对墩顶位移的贡献有增大的趋势，这是由于墩底提离墩身出现摇摆刚体转动位移，而这部分位移量是第1阶模态作用产生的，第2，3阶模态位移相比刚体位移很小。

    5 结 论

    （1）自复位高墩墩底不会出现塑性铰，受高阶模态的影响，墩中会形成塑性铰，并且潜在塑性铰区的位置与传统高墩的相同。

    （2）近场地震动下，自复位高墩第2阶模态对墩中潜在塑性铰区截面弯矩的贡献显著，最大时为第1阶模态的5倍，前3阶模态贡献率大于78%。

    （3）近场地震动下，自复位高墩的墩顶位移主要由第1阶振型贡献，其贡献率大于84%，

    参考文献：

    [1] 夏修身，陈兴冲，铁路高墩桥梁基底摇摆隔震与墩顶减震对比研究[J].铁道学报，201 1，33 （9）：102-107.XIA Xiu-shen， CHEN Xing-chong. Controlled rockingand pier top seismlc isolation of railway bridge withtall piers[J]. Journal of the China Railway Society，2011， 33（9）：102-107.

    [2] 夏修身，陈兴冲，桩基础高墩摇摆隔震分析模型研究[J].铁道学报，2013 ，35（11）：86-91.

    XIA Xiu-shen， CHEN Xing-chong. Study on analyti-cal model of rocking isolation for tall pier with pilefoundations[J]. Journal of the China Railway Society，2013，35 （11）：86-91.

    [3] 夏修身，陈兴冲，限位装置对桩基础高墩摇摆反应的影响[J].同济大学学报（自然科学版），2013，41 （10）：1470-1475.

    XIA Xiu-shen， CHEN Xing-chong. Effect of limitingdevice on the swing reaction of pile foundation tallpiers[J]. Journal of Tongji University （Science andTechnology），2013，41（10）：1470-1475.

    [4] 夏修身，陈兴冲，赵 扬，预应力效应对自复位高墩地震反应的影响[J].铁道学报，2017 ，39 （12）：124-130.

    XIA Xiu-shen， CHEN Xing-chong， ZHAO Yang. In-fluence of prestress effect on seismic response of selfrreset tall piers[J]. Journal of The China Railway So-ciety， 2017 ，39 （12）：124-130.

    [5] 夏修身，李建中，近场地震动对桩基础高墩摇摆反应的影响[J].哈尔滨工业大学学报，2014，46（4）：82-86.

    XIA Xiu-shen， LI Jian-zhong. Effect of near groundmotion on the swing reaction of pile foundation tallpiers[J]. Journal of Harbin Institute of Technology，2014，46（4）：82-86.

    [6] 李建中，宋晓东，范立础，桥梁高墩位移延性能力的探讨[J].地震工程与工程振动，2005，（1）：43-48.LI Jian-zhong， SONG Xiao-dong， FAN Li-chu. Dis-cussion on the displacement ductility of tall pier ofbridge[J]. Earthquake Engineering and EngineeringVibration， 2005， （1）：43-48.

    [7] 盧 皓，管仲国，李建中，高阶振型对高墩桥梁抗震性能的影响及其识别[J].振动与冲击，2012，31（ 17）：81-85+98.

    LU Hao， GUAN Zhong-guo， LI Jian-zhong. Theeffect of higher modes on the seismic performance oftall pier bridge and its identification[J]. Journal of Vi-bration and Shock，2012 ，31（17）：81-85+98.

    [8] 夏修身，陈兴冲，王常峰，铁路高墩弹塑性地震反应分析[J].世界地震工程，2008，（2）：117-121.

    XIA Xiu-shen， CHEN Xing-chong， WANG Chang-feng. Elastoplastic seismic response analysis of tallpiers in railway[J]. Earthquake Engineering and Engi-neering Vibration，2008， （2）：117-121.

    [9] 祁 皑，徐 翔，高层隔震结构多阶振型减震机理与倾覆问题研究[J].振动工程学报，2013，26（4）：487-492.

    QI Ai， XU Xiang. Research on multi-modal dampingeffect and overturning problem of high-rise isolatedbuildings[J]. Journal of Vibration Engineering， 2013，26（4）：487-492.

    [10] Hasan M R， Roke D， Huang Q. Quantification ofhigher mode responses for steel self-centering concetri-cally braced frames[C]. Honolulu， HI， USA： TheSeventh International Structural Engineering and Con-struction Conference， 2013：1-6.

    [11]张育智，摇摆自复位高墩高阶效应研究[J].振动与冲击，2018，37（24）：66-71.

    ZHANG Yu-zhi.A study on the higher mode effect ofrocking self-centering tall piers[J]. Journal of Vibra-tion and Shock， 2018，37（24）：66-71.

    [12]卢 皓，李建中，桥梁高墩地震反应中高阶振型贡献程度的分析[J].石家庄铁道大学学报（自然科学版），2012，25（04）：7-12.

    LU Hao， LI Jian-zhong. Analysis of the contributionof higher modes in the seismic response of the bridgewith tall pier[J]. Journal of Shijiazhuang Railway Uni-versity （ Science and Technology） ， 2012 ，25 （04） ：7-12.

    [13] Chopra A K. Dynamics of Structures： Theory and Ap-plications to Earthquake Engineering[M]. 4th ed. Up-per Saddle River， NJ： Prentice Ha11，2012：514-516.

    [14] California Department of Transportation. CaltransSeismic Design Criteria：Version l. 6[S]. 2010.

    [15]夏修身，陳兴冲，李建中.高墩自复位隔震机理[J].中南大学学报 （自然科学版 ） ，2015 ，46 （7） ：2549-2557.

    XIA Xiu-shen， CHEN Xing-chong， LI Jian-zhong. I-solation mechanism of self-centering tall pier[J]. Jour-nal of Central South University （Science and Technolo-gy） ， 2015，46（7） ：2549-2557.