注重“消元”思维训练发展学生数学素养

2022.07.21

叶媛媛

[摘? 要] “消元”作为一种重要的数学思想方法，贯穿在整个初高中的数学学习中，也是近几年中高考的命题热点，其地位不言而喻. 文章结合七年级学生的学情特征，针对七年级教学，就“消元”思维训练要达到的层次目标和日常教学抓手进行简单的探讨.

[关键词] 消元;层次目标;教学抓手

时下，“核心素养”“立德树人”等教育理念和目标成了我们日常教学和教研的研讨主题. 数学核心素养的教学直指学生数学能力的培养. 学生数学能力是否得到发展，在很大程度上反映了学科核心素养教学的有效性. 学生数学能力的培养，往往回归到数学思想方法的教学. “消元”作为一种重要的数学思想方法，贯穿整个初高中的数学学习，其地位不言而喻. 这一点，从近几年的福建数学中考试题就可以看出端倪. 因此，学生如果能够具备“消元”意识，掌握相关方法，或许就能像我们期许的那样，在数学之路走得更远. 那我们该怎么做呢？其实，“消元”的思维训练在学生刚入初中时就应着手进行. 在此，笔者针对七年级学生的数学教学，就如何进行相关训练，谈几点自己的心得. 简言之，就是做到“两个明确”，找准“两个抓手”.

做到“两个明确”

1. 明确七年级学生的学情特征

正所谓“知己知彼，百战百胜”. 要想在“消元”思维训练中取得预期的效果，我们就要明确七年级学生的学情特征. 学生在七年级的学习中需要完成从数到式的过渡. 小学阶段的数学较为具体形象，初中数学开始往抽象发展. 抽象思维要求学生学会从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识解决相关问题，这对学生的要求较高，而“参数”恰好又是一个很抽象的东西，所以学生遇到相关问题时普遍会觉得困难.

教学上的难点，往往也是思维的生长点. “含参”类题目虽然难度较大，但是如果学生在解决此类题目的过程中，能够获得良好的数学体验和成就感，就能逐渐建立解决此类问题的信心，这也是在七年级进行“消元”思维训练得天独厚的优势. 因此，作为教师，我们要善于利用这些思维的生长点，在教学中把握好节奏，由浅入深、由易到难，层层推进.

2. 明确“消元”思维训练要达成的三个层次目标

对于“消元”，如果我们能够明确“消元”思维训练要达成的层次目标，就能在日常教学中有的放矢、事半功倍.

第一层次：学生初步拥有“消元”意识，在遇到含参问题时能够从“消元”的角度寻找解题突破口. 培养学生的“消元”意识，其实是要求学生初步学会从数学的角度发现问题，尝试运用数学的思维方式来思考和解决问题，这是发展学生应用意识的前提.？摇

第二层次：学生掌握有效的“消元”方法. 在人教版教材中明确提到“将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想”，也就是说学生在“消元”过程中，要明确一个原则——由多化少、逐一解决. 把握住这个原则，学生就能获得分析和解决含未知数问题的一些基本方法.

第三层次：“无中生有”——学生在遇到问题时通过主动设元的方式寻求解题途径. 如果题目条件含有未知数，学生能够捕捉到相关信息，并顺着“消元”这条路走下去，这其实可以通过长年累月的训练和积累达成，只是学生在这个过程中收获得更多的是方法，还停留在技能形成层面，属于前两个层次. “无中生有”，顾名思义，就是题目条件不含未知数或者情境新颖，表面与“消元”关联不大. 在这种情况下，学生还能主动设元，探索解题方向，就意味着学生的推理能力、数学建模、应用意识和创新思维等数学素养，都得到了一定的发展.

找准“两个抓手”

明确了七年级学生的学情特征和“消元”思维训练要达成的三个层次目标，我们就可以立足于日常教学，从两方面入手：典型章节教学和典型题目剖析.

1. 精心设计典型章节教学

七年级要想有效培养学生的“消元”思维，应特别注意两个章节的教学：“一元一次方程”和“二元一次方程（组）”.

初中阶段正式涉及“消元”的教学内容应该是“一元一次方程”，只是教材内容没有明确出现类似“消元”的字词. 学生在这个章节的学习中需要掌握三个内容：一元一次方程的概念，解一元一次方程的依据及步骤，列方程解决实际问题. 由于小学已经学过“简易方程”，很多學生自然会把“一元一次方程”的学习视为“简易方程”的规范和延伸，但是教师在教学时，绝不能只停留在这个层面. 如果我们在教学过程中有意识地引导学生去感悟——解一元一次方程就是“消元”，列方程解决实际问题其实是一个“从无到有”，先设元再消元的过程——那么，我们就能在孩子的心中埋下一颗“消元”的种子，为日后的教学做好准备. 因此，在进行这个章节的教学设计时，我们应精选恰当时机抛出两个问题：通过“设元”解决问题的优势在哪里？什么情况下可以通过“设元”解决问题？前者可以通过与小学的算术方法进行对比，让学生感悟;后者则需让学生明白一个原则——当题目中含有未知量时，即可“设元”. 如果这类引导能够反复出现在章节教学中，我们就成功把握住了一个培养学生“消元”意识的契机.

如果“一元一次方程”帮助学生勾勒出了“消元”的雏形，那么“二元一次方程（组）”的教学就应该是“消元”学习中浓墨重彩的一笔. 在本章节教材中（人教版七年级下册教材91页）明确提出了“未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想”. 这句话统领了后续“代入消元法”和“加减消元法”的教学. 但是从以往学习效果来看，大部分学生往往只记住了“代入”和“加减”两个词，解题技能是掌握了，却忽略了“消元”的本质. “消元”二字对学生而言如同蜻蜓点水、雁过无痕. 想要最大限度地发挥这部分内容的教学价值，就必须让学生对“消元”印象深刻，这意味着我们在进行教学设计时，必须突出代入消元法和加减消元法内含的“消元”本质. 结合自身的实践探索和教学效果，笔者建议将“代入消元法”的第一课时分为以下四个步骤来帮助学生感悟“消元”思想.

首先，抛砖引玉. 对于一个结构特征明显的二元一次方程组，学生在没有学习特定解法的情况下，完全能够自行求解，只是大部分学生在求解过程中依赖的是感觉和经验. 以求解二元一次方程组y=x-1①，x+y=1②.为例，学生马上能够想到将①式代入②式，他们的心中已有“代入”，却无“消元”. 这个时候教师只需要适时地提点一句：“你们知道将①式代入②式这件事有一个什么‘高大上的名称吗？”便能引发学生的兴趣和思考，从而引出“消元”这个主题.

其次，剥茧抽丝. 上述例题的解题过程并不复杂，学生在解题的时候心中只有一个念头——“把未知数解出来”——只是他们并不知道正在做的事就是“消元”. 可见，学生早已具备简单的消元技能，教师要做的就是引导他们反思总结. 因此，教师可以通过层层追问的方式，引导学生思考：“为什么会想到将①式代入②式？”“化简后得到的是什么？”“与原方程组比，有何区别？”……最后，拨云见日，剥离出解题步骤背后的指导思想——消元，让这两个字在他们心中留下不可磨灭的印象.

再次，融会贯通. 总结归纳是思维上的点拨，“消元”的价值主要还是体现在解题过程中. 要训练学生的“消元”思维，让他们体会解方程的本质就是消元，配套练习的设置就显得尤为重要. 作为“代入消元法”的第一课时，除了相应的题型外，我们还应该有意识地设置一些题目来增加本节课的深度. 例如，解二元一次方程组x+y=1①，2x+y=2②.学生在独立完成、合作讨论的基础上一般会得到三种解法：选择①式或②式变形，代入另一个方程求解;将①式与②式相减求解;将①式整体代入②式求解. 第一种方法就是本节课所学内容，不需要赘述. 后面两种方法却是宝贵的课堂资源，可以借机引导学生思考：“这样做可不可行？”“为什么会想到这样做？”“用意是什么？”……有了这样的分析，学生就能进一步感受到解方程的本质就是“消元”，不管是代入消元法，还是后续要学的加减消元法，只是“消元”的策略不同而已. 那么，只要能达到“消元”的目的，将未知数由多变少，无论采用何种方式，都是可行的. 有了这样直指本质的剖析，后续加减消元法的教学也就水到渠成了.

最后，画龙点睛. 完成上述教学步骤后，授课教师可以让学生回归教材，翻阅课本91页至92页，标记出自己觉得重要的内容. 相信还有一部分孩子会漏了“消元思想”的相关描述，此时，教师再重申一下它的地位，能让更多孩子印象深刻.

有了这样的教学过程，相信学生对于代入消元法的感悟，就不仅仅只是停留在技能层面.？摇“消元”的种子一旦在学生心中生根发芽，在相关题目中，他们就能迅速判断出解题方向，体验获得成功的乐趣，建立信心.

2. 利用典型题目渗透“消元”训练

涉及“消元”的题目纷繁复杂，在七年级比较典型的大致有两类：一是题目条件含有多个未知数，需要通过消元解决问题;二是题目没有直接给出未知数，但是通过设元能够大大缩短思维链条，优化解题过程.

对于前者，教师在分析题目时应从题目特征和解题策略两个角度引导. 题目特征：此类题目的共性是含有多个未知数，这些未知数往往能够通过已知条件构建等量关系，并借助代换等方式实现化归和统一. 解题策略：学生可以通过观察结构特征、挖掘已知条件、分析题目设问等方式找到消元的顺序和途径，达成“消元”目的. 因为此类题目“消元”的指向性比较明确，教师可以通过变式训练等形式在日常教学中渗透，帮助学生达成“消元”过程自动化、程序化，从技能层面进行固化.

第二类题目是消元训练中的重难点，此类题目情境丰富，指向性不明确，对于学生而言，最难的就是“我怎么能想到要设未知数？”因此，在遇到此类题目时，教师要舍得花时间让学生充分经历解题过程，并通过对比等方式丰富学生的体验内容，帮助他们感悟“设元”解决问题的优越性，体會数学的魅力. 现在举一个例子加以说明：现对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加百分之几？

这道题学生很轻易就能设出销售量增加的百分比为x，并寻找到等量关系：原售价×原销量=现售价×现销量. 但是售价和销量题目均未给出，学生进行到列方程这一步就会遇到困难，用小学的算术方法也无法解决. 在讲解这道题时，教师可以让学生进行多种尝试，最后将原售价设为a，原销量设为b，列出方程ab=（1-20%）a（1+x）b（a≠0且b≠0），再根据等式的性质化简得到1=（1-20%）（1+x），进而完成解答. 有了这样的过程体验，学生就能充分感受到“设元”解决问题的优越性，只有当他们心中有了这样的感受——“哇！这种方法真是太棒了！”——才会愿意去模仿和尝试.

学生愿意尝试只是开端，教师必须指导学生明白：只要题目含有未知量就能“设元”;参数的个数可以不唯一;所设的“元”最终不一定能求解出来，却能帮助我们梳理题目条件，简化思维过程;当题干中有一些特殊的条件，如比例关系、倍数关系等，往往能通过“设元”解决问题……这些总结能够帮助学生明确什么问题情境适合“设元”求解.？摇

总之，“消元”思想是学生能力形成的必备环节，如果我们在初中起始阶段就能未雨绸缪，帮助学生打好基础、树立信心，那么随着教学的推进，学生或许就能像我们期望的那样在能力形成的路上越走越顺，在素养发展的路上越走越好！