例谈发散思维在数学解题过程中的运用
张曼
【摘要】初中阶段的学生随着对数学更抽象的认识和探索，在解决平面几何问题中逐渐会产生类似“解题方法是怎么思考出来的”困惑，这就要求教师对所学的知识点进行剖析，并在练习中进行思维引导，培养学生综合运用知识和方法的能力，也就是思维的发散能力.本文主要探讨的是发散思维在平面几何解题中的运用.通过对发散思维的锻炼，能够让学生对题目中暗藏的关系更加清晰，从而达到用“老法”解“新题”的效果.
【关键词】关系发散;变式解题;平面几何
初中阶段是学生开始构建抽象思维的阶段.在解决数学问题时，学生需要具有一定的逻辑思维能力.
在教學过程中，我曾经历过很多次这样的事情：在给学生评讲完一个错误率较高的题目之后，学生常会发出恍然大悟的呼声.这个时候也会有善于思考的学生会提出疑惑：为什么老师能够想到这个思路？为什么要用这个方法去解题？为什么老师能够在短时间内找到正确方法？我的思路在哪里出了岔路？
如果教师对这几个问题细细思量就会发现，其实很多基础很好的学生做不出并不是因为知识储备量不够，而是在寻找解题思路时思维没有打开.这也正是教师需要培养学生的能力——创新和应用能力.
托尼·巴赞认为发散思维具有两个含义，一方面是来自一个中心点的联想过程;另一方面是指思维的爆发.发散思维也能派生出很多具体的方法和技巧，数学中经常运用到的有组合发散法、因果发散法、关系发散法等.下面就其中的关系发散法在平面几何中的运用进行详述.
一、何为关系发散
关系发散法常被用来对题目进行变式，从而得到结论依附的必需条件.通过关系发散，题目可以产生不同的变式，如将已知变成未知，将未知变成已知，从而达到循序渐进、难度攀升和加强对题目理解的效果.
二、关系发散在新授课中的运用
1.关系发散在教科书中的运用
在苏科版八年级下册学习平行四边形一章的“三角形的中位线”这一节中，讨论四边形的中点四边形时，用到了这样的例题：
【例1-1】已知：如图1所示，在四边形ABCD中，AC=BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是菱形.
这个问题中，已知条件为“四边形对角线AC，BD相等”，结论为“四边形的中点四边形是菱形”.利用三角形中位线的性质可证这个命题是真命题.因此我们将“四边形对角线相等”与“中点四边形为菱形”作为已知和结论建立了关系，如果将已知未知互换的话，就得到了这样的问题：
【例1-2】已知：如图2所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，四边形EFGH是菱形.
求证：AC=BD.
善于思考的同学此时会仿照上述关系发散思维，将已知未知进行调换，甚至可以将以上两个条件删减或者叠合到一起猜测得到的四边形是什么特殊四边形.从这一变式中，很容易发现中点四边形的形状是由原四边形的对角线决定的，而在证明过程中，运用的都是三角形中位线的性质.
以上是比较基础的对中点衍生出的猜测与结论，而在后续的练习中，除了对四边形的中点四边形形状的讨论之外，还经常考查学生将其中的证明方法活用到解题之中.学生在对以上知识构架相对熟悉的基础上，很快就能发现其中的联系.例如下面的例题：
【例1-3】如图3所示，在四边形ABCD中，AB=DC，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点.四边形EGFH是怎样的四边形？证明你的结论.
我们可以将上述解题方法应用在这一例题中，虽然不是讨论四边形的中点四边形的形状，但解题方法还是利用三角形中位线的性质来判断边与边之间的关系.
所以关系发散法的目的是让学生能够做到“举一反三”.在进行思维发散的时候将题目中的条件和结论进行提取，找到其中逻辑支点，也就是教材上对应的知识点.数学习题无数，但将问题的条件和结论进行提炼，很多问题本质上是相似的，我们可以用相同的知识点解不同的习题.
2.关系发散法在习题中的运用
关系发散法经常被命题人运用在解答题中的压轴题里.这些题的特征是后面的问题是前面问题的延伸，常见的延伸方法是将前面问题中的条件进行改动或者删减，如下面的典型例题：
【例2-1】在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为点D，E.若直线MN绕点C旋转到如图4所示的位置，求证：①△ADC≌CEB;②DE=AD+BE.
该题中给了一个铺垫，先证明三角形全等，过程中会利用角之间的等量关系进行转换得到全等的条件，再转换到三条线段之间的等量关系.也被称为“K字形”的一个经典例题.变换MN的位置，还可得到下面的例题：
【例2-2】在例2-1中，若直线MN绕点C旋转到如图5所示的位置，求证DE=AD-BE.
直线旋转前后，上述等量关系仍然存在.不同的是证明三角形全等之后线段之间的等量关系发生了变化.
从而将思维打开，转而思考是否直线的位置对全等并无影响（排除MN与BC或AC在同一直线上的情况），全等的三个条件是否可以放宽，譬如“等腰直角三角形”去掉“直角”的条件，换为普通的“等腰三角形”之后，若要全等仍然成立，则必须对应改变AD，BE与直线MN之间的夹角.
在九年级学习相似这一章节内容以后，这个思路可以用来解决很多问题，特别是平面直角坐标系中的问题.如果将教材中的知识点称作知识主干的话，那么延伸出来的例题就是这个主干上长出的繁茂绿叶.虽然叶片之间并没有明显的触碰，但是它们都是吸收着同一处的养分，究其根本也是相同的.所以要想真正弄懂一个问题，就得追根溯源知识的来源.
三、如何提升学生的关系发散能力
关系发散的前提是学生能够构建知识点与题、题与题之间的联系，这就要求教师在讲授新课时，利用简单有效地方式，加深学生对知识点的印象，使学生能够在见到题干中的某些关键词时，快速联想到知识点并找到解决方法.除此之外，教师在讲解练习题时，要避免单一地讲解题目解决过程，多关注解题时的思路形成过程，即由哪些点联想到这个方法可能适用.在习题讲解完毕，教师要及时对讲解这个问题用到的方法进行总结或者提炼，同时学会关联题干间的相通之处.
关系思维发散法考验学生的思维能力和应用意识;培养学生的关系发散思维能力、数学综合素质，包括几何分析能力、逻辑推理能力，尤其是应用和创新意识，使学生能够做到真正学习有意义的数学，构建属于自己的数学框架，加深对数学的理解，也能够将数学的方法和思维应用于生活的其他方面，锻炼自己的思维能力，使自己成为一个理性思考、思维活跃的人.
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