浅析动力学问题正交分解时坐标系的建立
焦健生
[摘? ?要]解决多个力作用于物体的动力学问题，通常采用正交分解法分析物体所受的力，这时就需要建立适当的坐标系。在处理相关问题的过程中，不少学生由于不能结合实际问题建立直角坐标系，导致解题过程变得比较复杂，甚至导致解答错误。文章结合教学实践探讨用正交分解法分析物理所受的力时坐标系的建立。
[关键词]正交分解;坐标系;动力学问题
[中图分类号]? ? G633.7? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058（2021）14-0036-03
解答物理习题是学生在物理学习过程中掌握知识、形成技能、发展能力的重要环节，也是培养学生物理学科核心素养的重要途径。通过解题，学生的物理观念和科学思维得以培养，分析问题和解决问题的能力得以提升。
解题有方法、讲技巧，方法技巧运用得当，可以事半功倍。高中物理动力学方面的习题是解题技巧性较强的一类习题，学生解题时往往有两大困难，一是对物体进行受力分析时发生错误;二是对物体所受的力不能正确地进行合成与分解。如果学生掌握了一定的知识、方法和技巧，那么，学生解题速度和正确率都会大大提高。本文就运用正交分解法解答动力学问题时建立直角坐标系的方法、技巧进行分析探讨。
一、解决物体受力平衡问题时，以少分解力为原则建立坐标系
动力学方面的习题可分为平衡类和非平衡类两大类，这两类习题一般可按如图1所示的思维流程图求解。其中“建坐标”和“分解力”是正交分解的两个关键步骤。正交分解法作为分解力的一种方法，对处理涉及三个以上力的问题时优势非常明显，利用正交分解法分解力的关键是建立直角坐标系。
物体若受到多个力作用而平衡，由于没有加速度，物体所受的合外力等于零，解决此类多力平衡问题时，我们常用正交分解法对力进行分解，由于物体处于平衡状态，可以在任意方向建立一个直角坐标系。原则上来说，坐标系的建立是随意的，但若真的随意建立坐标系，往往会使解题过程复杂化，错误率也会增加。要想使解题既简便又准确，那就得讲方法、讲技巧，于是，我们应该尽可能地将直角坐标系的两个轴与物体所受的力中的某些力的作用线重合，以达到少分解力的目的。
（1）木块与斜面间的摩擦力大小;
审题后，我们首先要对木块进行受力分析，容易发现，FN与Ff 垂直，重力mg与水平力F垂直，于是可以选择沿FN与Ff 的方向建立直角坐标系。
受力分析：物体受4个力作用，如图3所示：推力F、重力mg、弹力FN、摩擦力[Ff] 。
建立坐标：建立如图3所示的直角坐标。将重力mg和推力F分解到x、y两坐标轴上，根据力的平衡分别列出两个平衡方程，得：
本题中由于重力mg与水平力F垂直，所以，也可以F的作用线为x轴，以mg的作用线为y轴，按直角方向分解FN、Ff 来求解。
二、解决物体非平衡的直线运动问题时，可以加速度方向为一坐标轴建立坐标系
匀变速直线运动的物体所受合外力一定不为零，也一定有加速度，根据牛顿第二定律可知，合外力和加速度必定同向。运用力的合成或分解求出合外力是解决动力学问题的关键，如何挖掘合外力呢？正交分解法是常用的方法，对物体进行受力分析后，以加速度方向为一坐标轴建立直角坐标系，进而分解不在坐标轴上的力，这是求解这类题的关键。
[例2]如图4所示，质量为m的小木块放在倾角为θ的斜面上，小木块和斜面间的动摩擦因数为μ。如沿水平方向加一个力F，使小木块沿斜面向上以加速度a做匀加速直线运动，则F大小是多少？
审题后，我们知道本题中小木块的加速度沿斜面向上。以加速度方向即沿斜面向上的方向为x轴正方向建立直角坐标系，然后将力沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向分解，分别利用两个方向的合力与加速度的关系列出方程，即可求解。
受力分析：物体受4个力作用（如图5所示），它们是推力F、重力mg、弹力FN、摩擦力Ff。
建立坐标：建立如图5所示的直角坐标系，并按直角方向分解F和mg;
建立如下两个方程并求解：
本题若以“横平竖直”来建立直角坐标，则需要分解倾斜向上的加速度，虽可求解本题，但高中物理一般情况下不要求分解加速度，以免增加解题的难度。
三、解决圆周运动的动力学问题时，选过圆心的直线为一个坐標轴建立直角坐标系
求解圆周运动的动力学问题，挖掘向心力至关重要。向心力是做圆周运动的物体指向圆心的合外力，在向心力作用下物体的速度方向不断改变，其大小与线速度、角速度、周期和频率等存在一定的关系。如何挖掘向心力呢？在分析物体受力情况后，如果用正交分解法对力进行分解，则应选过圆心的直线为一个坐标轴，建立直角坐标系。
[例3]如图6所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角[θ=30°]，一条长为l的绳，一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个质量为m的小球（可视为质点），小球以速率v绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动。试分析讨论v从零开始逐渐增大的过程中，球受圆锥面的支持力及摆角的变化情况。
审题后，我们发现本题由于小球刚好对锥面没有压力时，小球受重力和绳子的拉力，由于小球受两力作用做圆周运动，可用平行四边形定则来合成两个力，求得指向圆周运动圆心的合力，即为小球的向心力。当然也可以用正交分解法建立一轴过小球做圆周运动的圆心的直角坐标分解拉力，从而获得指向圆心的合力，即向心力，设此时小球的速率为v0，则有[F向=mgtan 30°=mv20lsin30°]，解得[v0=36gl]，这是小球刚好对锥面没有压力时的临界速度。
当[v<v0]时，小球除受到重力mg和绳子的拉力[FT]外，还受到圆锥面的支持力[FN]，小球受到三个力作用，用正交分解法建立一轴通过小球圆周运动的圆心的直角坐标系，按正交方向分解法求解拉力，如图7所示，则有：
由表达式可知，小球速度越大，支持力越小。
联立上面两式求解可知，速度越大，绳与轴线夹角φ越大，拉力也越大。
四、若物体所受各力垂直，有时也可按正交分解法分解加速度
当物体受到的各个力相互垂直且加速度不在受力方向上时，如果以加速度的方向为一个轴建立直角坐标系，那么分解的力会较多，这样比较烦琐。此时，我们可以根据物体的受力情况，让尽可能多的力位于直角坐标系的两个轴上，少分解力，转而分解加速度，从而达到化繁为简和快速求解的目的。
[例3]如图9所示，一超市的斜坡电梯与水平面的夹角为30°，现要测试电梯性能，让其以一个较小的恒定加速度a向上运动，电梯站有一人，若他对梯面压力是其重力，则人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？
对人进行受力分析后可知，重力mg、支持力FN、摩擦为Ff，这三个力相互垂直（如图10所示），刚好可以落在直角坐标的两个轴上。我们可以考虑分解加速度而不分解力，建立如图11所示的直角坐标系，选Ff的方向为x轴正方向，分解加速度a，可得[ax=acos 30°]，[ay=asin 30°]。
建立方程并求解，由牛顿第二定律有：
综上所述，方法是解决问题的钥匙，在解决力学问题时，灵活而得法地建立直角坐标系是分析处理作用力的关键。在教学过程中，既要培养学生的思维能力，也要培养学生解决问题的能力。
（责任编辑 易志毅）
