微积分思想在静电场问题建模中的作用初探
田永辉 肖恢芙 赵婷
摘 ? 要：微积分是科学史上最伟大的发明之一，在许多科学与工程中，尤其是物理学科中有着广泛的应用。利用微积分思想建立物理模型，不但方便解决相关问题，而且对理解其中相关的物理内涵有很大的帮助。文章以静电场问题为例，从最基本的库仑定律出发，求解点电荷周围产生的电场，然后利用微积分思想解决体电荷分布的静电场求解问题，着重强调微积分思想对物理模型的建立及物理图像理解的重要性，从而把较为抽象、复杂的物理问题简单化、直观化，培养学生分析问题、解决问题的能力，实现物理核心素养教学的目的。
关键词：物理模型;微积分;静电场;库仑定律
中图分类号：G633.7 文献标识码：A ? ?文章编号：1003-6148（2020）6-0078-3
微积分是十七世纪最伟大的发明之一，微积分的出现也极大地推动了科学技术的发展，尤其是在物理学领域应用非常广泛，例如求解变加速问题，任意电荷分布的静电场问题，流体流速问题。可以说，在物理学领域微积分思想无处不在。利用微积分思想建立物理模型不但可使问题求解变得简单，而且可以把较为抽象的、复杂的物理问题简单化、直观化，更方便学生理解、接受。本文以静电场为例，说明微积分思想在物理模型建立过程中的作用。
当然，这只是我们为了研究方便，根据库仑定律建立了一个理想的点电荷模型，从而很方便地求解点电荷周围的电场分布情况。物理教学可以让学生认识自然界中的物理现象，并掌握其中的物理内涵，从而实现在工程中的应用。而实际上，真正理想的点电荷是不存在。例如，一个半径为r的均匀带电球体在其周围产生的电场情况是怎么样的呢？当然，这里如果半径r远远小于所考虑的空间尺寸，此时r可以认为是一个无穷小量，也就是该均匀带电球体可以看成一个点电荷，这也就是微积分的思想。当然，如果r相对于所考虑的空间尺寸不可忽略，这时我们就要考虑球体尺寸对所求解问题的影响，因为这种情况偏离了库仑定律成立的条件，无法直接利用库仑定律建立的点电荷模型求解电场问题。
这里可以引导学生深入思考这种偏离库仑定律成立条件问题的静电场求解问题。给学生提出问题，让学生深入思考可能的解决办法，让学生带着疑问继续下面的课堂学习。如提出问题：
（1）如果带电小球的体积不能忽略，如何求解带电小球周围的电场情况？
（2）对于任意几何形状的体电荷分布的静电场问题如何求解？
显然，以上的问题无法直接应用库仑定律解决，但是库仑定律又是解决静电场问题之根本。因此，可以利用库仑定律并借助数学——微积分建立合适的物理模型，从而把所要求解的问题简单化、直观化，使问题得到解答。
2 ? ?真空中多个点电荷系统的静电场求解
回答以上问题实际上就是体电荷分布的静电场求解问题。在讨论该问题之前，我们首先讨论多个点电荷系统的静电场求解问题。
例如，如果真空中有两个点电荷Q1、Q2（如图2所示），如何求解空间中某一点P处的电场？
因为电场的叠加原理学生是清楚的，这里可以直接利用场的线性叠加原理求解点P处的电场。也就是说，点P处的电场是点电荷Q1在点P处产生的电场E1（r）与点电荷Q2在点P处产生的电场E2（r）的矢量和E1（r）+E2（r）。
库仑定律是一个实验定律，利用库仑定律可以方便、直观地解释日常生活中经常遇到的一些静电现象。因此，对学生而言从库仑定律出发求解点电荷系统在其周围产生的电场情况相对较为容易接受，但是如何从点电荷系统过渡到体电荷系统是一个棘手的问题。因为对于体电荷分布系统，产生电场的源（场源）的几何尺寸不能忽略，但是在考虑场源几何尺寸效应的情况下，又无法直接利用库仑定律求解其周围的静电场问题。因此，这里可以首先利用微积分思想把连续的体电荷分布离散化，然后过渡到点电荷系统，而点电荷系统的静电场求解问题相对就较为容易了[4-6]。
3 ? ?真空中体电荷分布的静电场求解
如图3所示，一个任意的带电体，其体电荷密度为ρv，求其周围的电场分布情况。显然，这个问题不能直接利用库仑定律求解。我们可以利用微积分思想建立点电荷模型，然后再利用库仑定律求解。首先，把这个体电荷离散为无数多个小的体电荷，每个体电荷的体积为dvi，根据体电荷的密度可知，该小体电荷所包含的电量为ρvdvi，这里dvi认为是一个体微分元，即其体积趋向于零，但永远不等于零，那么这个小体电荷微分元就退化为了一个点电荷（只有电量，没有几何尺寸）。根据单个点电荷在空间任意位置P处产生的电场可知：这个体电荷微分元在任意位置P处产生的电场为Ei（r），因为我们把这个体电荷离散为无穷多个体电荷微分元，这个体电荷周围的电场是由这无穷多个体电荷微分元共同作用的结果，而每个体电荷微分元又可以看成一个点电荷（电量为ρvdvi），因此该问题就转化为真空中无穷多个点电荷系统求解其周围静电场问题。
4 ? ?总 ?结
本文着重强调微积分思想在物理理论模型的建立、物理图像的认知及物理本质的理解等方面的重要性。为了说明这个问题，本文从标准的点电荷模型出发，利用库仑定律求解其周围的静电场分布问题，然后利用微积分思想把体电荷分布离散化为无穷多个点电荷分布，从而建立了由无穷多个点电荷组成的体电荷模型，使得原本不满足库仑定律条件的静电场问题得到解答。
《普通高中物理课程标准（2017年版）》中提出的物理学科核心素养之一便是科学思维，建立物理模型是科学思维和科学探究的重要组成部分。本文通过微积分思想在物理理论模型建立过程中应用的讨论，力图让职前教师对数学方法在物理建模中的作用有更深入的理解，从而提升职前教师的建模能力，提升物理教师的教学素养。
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（栏目编辑 ? ?李富强）
