在疑问中思考 在思考中探究
梁万里 徐高蓉
【摘要】把一个圆剪拼成和它面积相等的近似长方形，这是通过“化圆为方”思想解决圆的面积问题.仅用“尺规作图”不能把一个圆化成与它面积相等的正方形.如果不仅仅限于“尺规作图”，要把一个圆剪拼成和它面积相等的近似正方形，是可以完成的.
【关键词】化圆为方;剪拼;滚动;尺规作图
【基金项目】本文系2017年度甘肃省“十三五”教育科学规划课题《小学高段培养学生数学核心素养的课堂教学研究》（课题立项号：GS[2017]GHB0780）的研究成果之一，（本文作者为该课题的负责人）
亚里士多德曾说：“思维自疑问和惊奇开始.”在课堂教学中，常常有许多学生随机生成的问题引发我们的疑问和思考.
在一次“圆柱的体积”教学研讨课上，授课教师给同学们提出了一个问题：“同学们，上学期我们学习了圆的面积，大家回忆一下，圆可以剪拼成哪些和它面积相等的图形？”同学们踊跃发言，有的说，“圆可以剪拼成和它面积相等的平行四边形”，有的说，“圆可以剪拼成和它面积相等的长方形”，还有一个同学说，“圆可以剪拼成和它面积相等的正方形”.老师听完同学们的发言后，说大家回答得都很好，接着就进入了下一个教学环节.听到最后这名同学的发言，作为听课老师的我当时一头雾水，“圆可以剪拼成和它面积相等的正方形吗？”是授课老师当时没听清楚，还是老师不懂数学史知识？对于这么好的课堂随机生成的资源，老师为什么不进一步追问和评判呢？为了搞清楚这个问题，在课后我问那位授课教师，学生说“圆可以剪拼成和它面积相等的正方形”，你为什么不进一步追问怎么剪呢？怎么不评价呢？她说当时为了赶课，也没细想，圆是否能剪拼成和它面积相等的正方形，她也不清楚.我又好奇地去问那名学生，你在课堂上说，“圆可以剪拼成和它面积相等的正方形”，圆怎么剪成和它面积相等的正方形呢？你是怎么剪的.我原以为他有办法，结果在我的一再追问下，他面露为难情绪，说是他随口说的，他根本不知道怎么剪.可见，在课堂上有时候学生为了表现自己，为了配合老师的教学，活跃课堂气氛，随口说出的一句话，引起了我深深地思考.圆到底能否剪拼成和它面积相等的正方形呢？作为老师，我们有必要认真分析研究一下.
首先我们要知道数学史上的一个历史事实，只用直尺（没有刻度）和圆规作图，“化圆为方”是不能完成的，即把一个圆做成与它面积相等的正方形，仅用直尺和圆规作图是不能够完成的.这是数学发展史上三个不能用尺规作图完的著名问题之一，即“化圆为方”问题.另外两个不能用尺规作图的问题是“三等分角”问题和“倍立方”问题.“化圆为方”这个著名的数学问题，早在2400年前的古希腊人就已经提出来了，在随后的几千年中，无数数学家和数学爱好者苦苦探索，希望能用尺规作图把一个圆做成和它面积相等的正方形，有的还给出了具体的作图方法，但到最后都被数学家证明是错误的.数学家苦苦探索了几千年，直到1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”才被证明为尺规作图不能完成的问题.
在人民教育出版社编著的新人教版（2013）小学数学教材中，在六年级上册第五单元讲“圆的面积”这一课时，老师让学生用剪拼法把圆剪成面积相等的小扇形并拼成一个和它面积相等的近似平行四边形，随着剪的扇形的份数越来越多，拼成的图形越来越近似于一个长方形.（如图1）这个长方形的长近似于圆的周长的一半，等于πr，宽近似于圆的半径，等于r.因为长方形的面积等于长×宽，所以圆的面积等于πr×r=πr2.这就是小学教材所谓的“化圆为方”，让学生通过动手操作活动，用剪拼这个方法把圆这个曲边图形转化成直边图形，借助图形直观，用转化方法解决了圆的面积问题，渗透了转化思想和极限思想.而这个“化圆为方”与数学史上的“化圆为方”绝不是同一个概念.
如果按课堂上那名同学的想法我们进一步进行数学推理，假设一个圆能剪拼成一个和它面积相等的正方形，那么就会有πr=r，移项得（π-1）r=0，根据两个因数乘积为0，必有一个因数为0，要么r=0;要么r≠0，π=1，无论哪种情形都是错误的.可见，根据六年级学生的年龄特点和认知水平，说把一个圆剪拼成一个和它面积相等的正方形是没有经过思考随口说出的，是经不起追问和推理的.
那么，如果要把一个圆剪拼成和它面积相等的正方形，就没有办法了吗？作为老师，我们要认真研究思考并回答这个问题，把在课堂上出现的疑问认认真真解决好，这样既能进一步提升教师的专业素养，又能不断丰富厚实我们的数学史和数学文化知识.我仔细查阅有关资料，经过深入学习研究思考后，发现办法确实是有的，而且很多，下面我仅提供三种方法供大家思考.
方法一：割补法（如图2）
这种方法就是在圆的内接正方形和圆的外切正方形的中间找一个正方形，逐渐调整正方形的大小，使它的面积与圆的面积相等.
因为我们知道，一个圆的面积总比它的内接正方形的面积大，总比它的外切正方形的面积小，所以对于圆这种曲边图形来说，和这个圆面积相等的正方形只有在圆的内接正方形和外切正方形中间找，这是一种最容易想到的最直接的方法.我們不断调整正方形的大小，使得圆多出正方形的每一个小弓形的面积恰好等于正方形每一个角多出圆的面积.这样，把每一个小弓形剪下来割补到正方形每一个角，使得它们的面积恰好相等，这样圆的面积就等于正方形的面积，我们就完成了把一个圆剪拼成和它面积相等的正方形.
这种方法和中国古代的“出入相补”一样，经过分割和移补，把图形多出的面积正好移到需要补的地方，使得多出的面积与补的部分的面积相等，虽然图形的形状发生改变但是面积保持不变.这个方法有一个缺点，要想使得图中正方形多出的每一个弓形的面积恰好等于正方形里面每一个角多出圆的面积，只能通过不断剪拼与调整，需要重复操作好多次才能完成，并且有一定的误差.
方法二：剪拼法+尺规作图法（如图3、4）
这种方法就是按照小学课本上的方法，先把一个圆剪成很小的扇形，再把这些小扇形拼成一个近似长方形，再用尺规作图把这个长方形做成和它面积相等的近似正方形.
具体做法如下：
1.作线段AD等于长方形的长（πr）;
2.延长AD至E，使DE等于长方形的宽（r）;
3.以AE为直径作圆;
4.过点D作AE的垂线段交圆于点H，连接AH，EH;
5.以DH为边作正方形DHGF.
则正方形DHGF为所作的与原来的圆面积相等的近似正方形.
为什么正方形DHGF的面积与原来的圆面积相等呢？其实道理很简单，只要学过初中的数学知识就能听懂.因为以AE为直径作圆，DH垂直于AE，根据直径所对的圆周角是直角，所以三角形AHE为直角三角形.根据射影定理，DH2=AD×DE，即DH2=πr×r=πr2.以DH为边作正方形DHGF，说明以DH为边作的正方形DHGF的面积（DH2）就等于πr2，所以，正方形DHGF的面积与原来的圆面积相等.不过，这个面积相等也是一种近似的相等，因为在开始把圆剪拼成长方形时存在一定的误差，尽管后面的尺规作图是严格的几何作图，但仍然是一种近似的面积相等.
方法三：滚动法+尺规作图法（如图5、6）
这种方法就是先滚动直径为1个单位的圆一圈，做出π，再用尺规作图法做出正方形.
具体做法如下：
1.作线段AD等于圆滚动一周的长（π）;
2.延长AD至E，使DE等于1[]4个单位长;
3.以AE为直径作圆;
4.过点D作AE的垂线段交圆于点H，连接AH，EH;
5.以DH为边作正方形DHGF.
则正方形DHGF为所作的与原来的圆面积相等的近似正方形.
道理与方法二相近.因为以AE为直径作圆，DH垂直于AE，所以三角形AHE为直角三角形.根据射影定理，DH2=AD×DE，即DH2=π×1[]4=1[]4π.以DH为边作正方形DHGF，说明以DH为边作的正方形DHGF的面积（DH2）就等于1[]4π，而直径为1个单位的圆的面积就是1[]4π，所以，正方形DHGF的面积与原来的圆面积相等.这个面积相等也是一种近似的相等，因为在开始把圆滚动时作π存在一定的误差，尽管后面的尺规作图也是严格的几何作图，但仍然是一种近似的面积相等.
以上三种作图方法，都可以把一个圆做成和它面积相等的近似正方形，都已经超越了尺规作图的限制，达到了“化圆为方”的目的.并且后两种几何作图应用了初中的“射影定理”，超出了小学生的认知水平.
把一个圆做成和它面积相等的正方形，是数学史上的著名问题，仅仅使用直尺（没刻度）和圆规是不能完成的.因为圆周率π是一个无理数，算出圆面积后进行算术平方根运算，最后得到的正方形的边长仍然是无理数.因为无理数不可能用尺规精确做出它在数轴上所表示的点的，这就是为什么一个圆不能用直尺和圆规做成和它面积相等的正方形的原因.
数学课是最能培养学生思维能力的课，在数学课上出现的与预设不同的随机生成的问题是一种很好的教学资源，老师要善于捕捉这种资源并利用它为我们的教学服务.作为老师一定要养成善于思考的习惯，在学生有疑问的地方多一些思考，在思考时多一些探究.要挖掘每节课的廣度和深度，既要关注备课的预设，又要考虑课堂上随机生成的问题，要能在学生的问题中深挖数学知识本质，透过问题把我们的课堂教学进一步引向深入.在课堂上要加强学生的数学思维能力训练，有效渗透数学思想方法和数学文化知识.只有这样，我们的课堂教学才能不断促进学生深度思考，学生的思维品质才能不断提升，学生的数学核心素养才能真正在课堂落地生根.
【参考文献】
[1]李文林.数学史概论[M].北京： 高等教育出版社，2000.
[2]董毅.数学思想与数学文化[M].北京：北京师范大学出版集团，2012.
