关于圆中函数关系问题的探究与思考

2022.07.16

杜成智

[摘? 要] 圆中的函数关系问题是初中数学的经典问题，融合了几何与函数等重点知识，在圆中构建函数关系需要把握两点：一是几何特性，二是函数知识. 问题解析一般结合与数量关系联系紧密的定理，如三角函数、三角形相似性质、勾股定理等. 文章结合实例加以探究，并开展解后反思，提出几点教学建议，与读者交流.

[关键词] 圆;函数关系;三角函数;三角形相似;勾股定理

圆是初中几何的重点图形，含有一些较为特殊的性质定理，中考对圆的考查也较为全面，既关注图形的几何特性，又注重其与函数的联系，其中圆中的函数关系是需要重点掌握的问题类型. 圆中的函数关系问题表面上是探究线段之间的长度关系，实则属于几何性质问题，是函数与几何特性相综合的典型代表. 下面对圆中的函数关系问题进行探究.

问题探究

例1? 如图1所示，已知PQ为⊙O的直径，⊙O的半径长为1，点M是PQ延长线上的一点，以点M为圆心作圆，设与⊙O相交于点A和B，连接PA并延长，与⊙M相交于点C.

设问? 若AB恰好为⊙O的直径，设OM=x，AC=y，试求y关于x的函数解析式.

思路分析? 上述属于圆中函数关系探究题，突破时可参照如下步骤进行.

第一步——提取已知量和特殊条件.

1. 特殊线段：OA=OB=OQ=OP=1，AB⊥PQ;

2. 圆的位置及半径长：①⊙O的半径为1，定点O为圆心;②⊙M的圆心位于PQ的延长线上（动点M），且半径处于变化中.

第二步——由性质出发探求函数关系.

1. y与x函数关系实质：由于OM=x，AC=y，问题就是要探究线段OM与AC的长度关系.

2. 求解思路：添加辅助线，提取特殊角，联系几何特性，在直角三角形中构建三角函数关系.

过程突破? 过点M作AC的垂线，设垂足为点N，如图2所示，由圆的垂径定理可知AN=NC= y，由题意可得PM⊥AB，AB为⊙O的直径，则OA=OP=1，所以∠APO=45°，PA= ，则PN=PA+AN= + y. 易知PM=1+x，∠NPM=45°，在Rt△PNM中，由三角函数可得cos∠NPM=cos45°= = = ，整理可得y= x- ，即y关于x的函数解析式为y= x-? （x>1）.

方法总结

上述求解圆中的函数关系所采用的基本思路是由“几何性质”向“数式关系”转化，实现了几何关系的代数量化，其中的三角函数是实现问题转化的关键，初中阶段三角函数的构建依托直角三角形，可从函数的角度建立线段比值.

实际上在数学几何中沟通“数”与“形”的公式定理也较为多样，除了上述的三角函数外，还可以利用直角三角形的勾股定理、相似三角形对应边成比例的性质来提取线段关系，进而推导函数关系. 因此，在求解圆中的函数关系问题时可以采用如下步骤和策略.

第一步，探究x与y所表示的具体内容;

第二步，结合图像观察x与y是否存在直接联系;

第三步，探究图像中的几何性质，提取几何关系. ①若已知角度，可尝试构建直角三角形，利用三角函数来建立变量间的函数关系;②若可提取相似三角形，可尝试利用相似三角形边长间的比例关系建立变量间的函数关系;③若存在特殊的直角或直角三角形，可尝试利用勾股定理建立变量间的函数关系.

而在实际求解时还需关注两点：一是注重方法的融合，上述函数关系转化的三种策略可以相互结合，减少计算过程;二是重视变量取值，由于圆中的函数关系与线段的取值有着直接联系，故在实际求解中需要重点关注自变量x的取值，以确保结果合理.

拓展探究

圆中的函数关系问题是几何性质与代数运算的综合，上述例1重点讲解了三角函数在函数关系转化中的应用思路，下面结合上述总结的方法策略，讲解勾股定理的平方和转化和相似三角形的比例转化在解题中的应用.

1. 勾股定理的平方和转化

勾股定理是几何中的常用定理之一，该定理充分反映了直角三角形中三边线段长的关系，利用该定理求解圆中的函数关系同样需要依托直角三角形，由三边平方和关系进行函数关系转化.

例2? 如图3所示，线段AB=10，点C位于线段AB上，现分别以AC和BC为半径作⊙A和⊙B，设点D是⊙B上的一点，连接AD，与⊙A相交于点E，连接EC并延长，与⊙B相交于点F，试回答下列问题.

（1）证明BF平行于AD;

（2）如果BD⊥AD，设AC的长为x，DF的长为y，试求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围.

解析? （1）证明BF与AD平行，可从圆中线段之间的关系入手，推理得出∠AEC=∠BFC，进而可证BF//AD.

（2）根据BD⊥AD，BF//AD，可推得∠ADB=∠DBF=90°，则△DFB为直角三角形. 已知AB=10，AC=x，則BC=10-x，在Rt△DFB中使用勾股定理，有DF2=BD2+BF2，代入线段长，可得y2=2（10-x）2，整理后可得y= （10-x），所以y与x的函数解析式为y= （10-x），且x的取值范围为0<x<10.

评析? 上述圆中的函数关系问题较为简单，利用几何性质即可提取其中的直角三角形，结合勾股定理就可推导出对应的函数关系.

2. 相似三角形比例转化

相似三角形比例转化策略的核心是提取相似三角形，对于涉及圆的综合问题，其推理策略与常规的几何证明一致，需紧扣三角形相似的判定定理. 实际求解时可以按照“证明相似——比例式转化”的思路进行.

例3? 如图4所示，在△ABC中，已知AC=BC=10，cosC= ，点P是AC上的一个动点（不与点A和点C相重合）. 以PA为半径作⊙P，与边AB的另一交点为D，过点D作BC的垂线，设垂足为点E，试回答下列问题.

（1）当⊙P与BC相切时，求⊙P的半径;

（2）连接BP，与DE相交于点F，设AP长为x，PF长为y，试求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围.

解析? （1）可设⊙P与边BC的切点为H，设圆半径为R，连接HP，作HP⊥BC，在Rt△HCP中使用三角函数，由cosC= 可知sinC= ，而sinC= = ，从而可解得R= .

（2）求y关于x的函数解析式，实则就是求AP与PF的长度关系. 在△ABC中，已知AC=BC=10，cosC= ，设AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，过点B作BH⊥AC，如图5，则BH=AC·sinC=8，同理可推知CH=6，HA=4，AB=4 ，则tan∠CAB=2. 在Rt△BHP中使用勾股定理可得BP= ，则DA=? x，BD=4 -? x.

如图6所示，由PA=PD，得∠PAD=∠CAB=∠CBA=β. tanβ=2，则cosβ= ，sinβ= ，所以EB=BD·cosβ=4- x. 分析可知PD∥BE，进一步可知△DFP∽△EFB，由相似性质可得 = ，将线段长代入其中，可得 = ，整理可得y= ·? （0<x<10）.

评析? 上述求解圆中的线段函数关系时，综合运用了三角函数与相似三角形的比例式. 首先利用三角函数的线段比值转化相关线段长，然后利用相似三角形的线段比例关系構建y与x的函数关系，从而完成了求解. 其中构建直角三角形和提取两线平行是思路构建的关键.

解后思考

圆中的函数关系问题属于典型问题，上述对其中常用的函数关系构建策略进行了探讨，对于强化学生基础，提升学生能力有着极大的帮助，下面结合教学实践提出两点建议.

1. 理解问题本质，促进知识融合

圆中的函数关系，不仅是对线段长度关系的反映，同样体现了图形中的几何特性，因此求解圆中的函数解析式，实则是挖掘几何性质，这是圆中函数解析式的问题本质. 因此在教学中需要引导学生理解问题本质，理解三角函数法、相似三角形比例转化法、勾股定理平方和法的构建依据. 考虑到圆中函数关系问题的综合性较强，需综合运用几何性质，灵活进行代数运算，如上述例3综合三角形相似、两线平行、勾股定理来构建解题思路. 在备考复习阶段，教师应注重引导学生进行知识融合，依托几何图形探究性质定理，由定理出发归纳图形特征，帮助学生构建完整的知识体系.

2. 引导设问探究，注重方法总结

素质教育的核心是促进学生发展，倡导采用引导、启发的教学方式，使学生掌握解题方法，提升数学思维. 以上述圆中的函数关系问题为例，教学中有必要引导学生理解问题，然后引导学生发掘题目中的条件，包括等量、不变量、隐含量等，培养学生在复杂背景下的读题、识题、悟题能力. 解题教学中可采用讲练结合的方式，引导学生独立分析、自主计算，加强师生互动，让学生充分参与到教学中. 解题教学的目的是使学生掌握类型问题的解法，因此教学中要注重方法总结，包括类型问题的构建思路、方法技巧，以及问题分析中所涉及的数学思想，通过探究典型问题的解法来提升学生的综合能力.