波罗的海原油和成品油油船运价指数多重分形特征
刘婷婷 林国龙 王直欢 何红弟
摘要：
为更好地把握油船运输市场的动态，提高研究的精确性，基于波罗的海原油油船运价指数（Baltic Exchange Dirty Tanker Index， BDTI）和波罗的海成品油油船运价指数（Baltic Exchange Clean Tanker Index， BCTI）呈现较强的非线性特征，运用多重分形消除趋势波动分析（Multifractal Detrended Fluctuation Analysis，MFDFA）法对其时间序列进行分析，结果发现BDTI和BCTI均出现明显的多重分形特征，这两个运输市场不遵循有效市场理论.通过对比两者的广义Hurst指数和多重分形谱，发现波罗的海成品油运输市场的分形强度更强.对两个运输市场的多重分形谱进行分析，发现波罗的海成品油运输市场风险更高，需要市场决策者加强关注.该结果可为研究航运市场时间序列的非线性特征提供很好的参考.
关键词：
多重分形消除趋势波动分析（MFDFA）； 波罗的海原油油船运价指数（BDTI）； 波罗的海成品油油船运价指数（BCTI）； 多重分形谱
中图分类号： F551；F224
0 引 言
在国际油船运输市场上，油船运价指数变化情况是市场决策者进行市场管理的重要依据.波罗的海原油油船运价指数（Baltic Exchange Dirty Tanker Index，BDTI）和成品油油船运价指数（Baltic Exchange Clean Tanker Index，BCTI）不同程度上反映了油船运输市场的情况，但是这两个运价指数受世界经济发展、市场贸易需求、自然变化等多种因素影响，呈现出不规则的变化特征，用传统的有效市场理论进行研究是远远不够的，需要用分形理论来分析.早在1963年，MANDELBROT[1]提出了分形理论，受到广大研究者的关注.随后在1994年，PETERS[2]提出了分形市场理论，该理论不同于传统有效市场理论线性、独立、正态分布的特点，认为未来资产价格变化与过去资产价格是持续相关的.该理论在股票市场得到广泛的应用，为金融市场的理论研究注入新的活力.在2002年，KANTELHARDT等[3]提出了多重分形消除趋势波动分析（Multifractal Detrended Fluctuation Analysis，MFDFA）法，对序列波动奇异性进行分析.ALVAREZRAMIREZ等[4]结合分形市场理论，运用MFDFA法研究国际原油市场，揭示原油市场价格具有长期的状态持续性.施锡铨等[5]运用多重分形法对中美两国股票市场的多重分形特征进行了研究，得出分形特征显著性高低与风险度的大小息息相关.陈洪涛[67]运用MFDFA法检验了美国西德克萨斯轻质原油（WTI）和北海布伦特原油（Brent）、新加坡和中国上海的180CST燃料油期货价格收益率序列多重分形结构，发现石油期货价格序列具有多重分形维数，且中国上海燃料油期货市场分形奇异强度最小.陈宇峰等[8]基于多重分形模型，提出了国际油价波动的可预测性.HE等[9]运用MFDFA和MFSSA的模型，对比分析了国际原油市场的多重分形特征.LI等[10]把多重分形特征应用到农产品期货市场.苑莹等[11]运用MFDFA法分析了中国股票市场的多标度特征和产生这种特征的原因.随着分形市场理论的不断发展，研究者开始将分形市场理论引进航运市场.李电生等[12]对国际干散货运价指数的分形特征进行研究，认为干散货运价指数时间序列具有持续性，下一段的运价走势与前一段的运价走势保持一致，且干散货运价在总体上呈增涨的趋势.刘俊超等[13]以欧洲航线和美西航线集装箱衍生品为研究对象，揭示了分形市场理论存在于集装箱运价衍生品市场之中.唐韵捷等[14]对上海证券综合指数和波罗的海干散货指数进行分析，揭示了它们的动态相关性对制定运价有重要的影响.朱玉华等[15]研究了集装箱运价的集聚性和敏感性，揭示了集装箱运价的反杠杆效应，提高了集装箱市场运价预测的准确性.
本文从分形市场理论出发，运用MFDFA法，以BDTI和BCTI为研究对象，对两个油船运输市场进行对比研究，以更好地把握油船运输市场的动态，提高研究的精确性.通过对比两个运输市场的Hurst指数，发现这两个运输市场不遵循有效市场理论，具有多重分形特征；对两个运输市场的多重分形谱进行分析，发现这两个运输市场运价总体上呈上涨的趋势，波罗的海成品油运输市场风险更高，波动更大，需要市场决策者加强关注.
1 模 型
MFDFA法主要用于研究非平稳时间序列的多重分形特征.本文采用MFDFA法对波罗的海原油和成品油油船运价收益率序列进行研究，计算过程[3]如下.
定义长度为N的时间序列{xi}（i=1，2，…，N）.
（1）计算序列相对于均值的累积离差{yk}（k=1，2，…，N）.
（2）把时间序列{yk}（k=1，2，…，N）分割为等长小段.对任意正整数t，记Nt=[N/t].把时间序列{yk}（k=1，2，…，N）自首向尾分割成长度为t的Nt个互不重叠的小段，为保证序列数据的完整，再重复上述分割过程，得到2Nt个等长度小段.
其中C为常数.作出log Fq（t）～log t函数关系散点图，用最小二乘法做线性回归，其斜率就是Hurst指数h（q）.当h（q）为常数，即h（q）与阶数q无关时，序列是单分形；当h（q）的值随着q的增大而减小时，序列是多重分形.对非平稳时间序列，当h（q）=0.5时，序列是随机时间序列，即是一个独立的过程；当0<h（q）0.5时，序列具有长程相关性.
Δα=αmax-αmin，用来表示在标度不变的情况下分形结构的归一化价格分布均匀程度.Δα=0表示序列处于完全均匀的分布状态.一定宽度的分形谱反映了序列的分形结构特征：Δα越大，表明序列的分形谱跨度越大，序列的多重分形强度越强，波动越大，序列多重分形特征越明显.
</h（q）
2 波罗的海原油和成品油油船运价多重分形分析
2.1 数据选取
选取2001年1月3日到2015年7月24日BDTI和BCTI各4 060个数据为研究对象，其原始序列波动见图1.为更好地反映运价指数的波动特征，对原始序列取对数再进行一阶差分法处理：r（t）=ln P（t+1）-ln P（t），其中P（t）表示第t天的运价指数，r（t）表示航运市场的日收益率.通过指数收益率的变化来刻画运价指数的波动特征.[6]
2.2 广义Hurst指数
对油船运输市场序列运用MFDFA法进行研究，利用MATLAB编程计算（在MATLAB内部函数中，默认log（x）是以e为底数的自然对数ln（x）），OriginPro8画图.图2和3分别是BDTI和BCTI收益率序列双对数函数关系图.以图2为例，自下而上的3条直线分别是q=-5，0，5时的回归线，总体上呈线性关系，遵循幂律定律，表明波罗的海原油和成品油市场呈现多重分形特征.该回归线的斜率是h（q）（即q阶广义Hurst指数）.3条回归线从上到下q值依次减小，则相应的斜率h（q）逐渐增大.
为更好地反映斜率h（q）随q的变化情况，图4给出BDTI和BCTI收益率序列h（q）～q关系.由图4可以明显看出，h（q）随q的增大而减小（即h（q）是关于q单调下降的，不是一个固定的常数）.这表明序列是多重分形的，不遵循传统的有效市场理论.因此，对航运市场用单分形模型描述是不准确的.
图4中BDTI和BCTI收益率的Hurst指数大于0.5，表明q在[-5，5]内，这两个市场具有强的持续性、弱的反状态持续性，即市场未来的运价指数走势与市场上一阶段运价指数走势总体上保持一致，市场内部因素对运价的影响更明显.从两个运输市场整体h（q）看，原油运输市场h（q）跨度约为0.238 2，成品油运输市场h（q）跨度约为0.322 8，表明波罗的海成品油运输市场比波罗的海原油运输市场的分形强度大、相关性小.从统计意义上看，波罗的海原油运输市场具有更明显的自相似性、更好的稳定性.
2.3 质量指数τ（q）
为进一步证明油船运输市场的多重分形特征，引入质量指数.从图5可以看出：这两个市场的质量指数都是凸向横轴的曲线，τ（q）是关于q严格递增的凸函数；当q=0时，波罗的海原油和成品油运输市场的τ（q）值均为-1，说明τ（q）是关于q的非线性函数，证明波罗的海原油和成品油运输市场具有多重分形特征.
2.4 多重分形谱
前面已从不同侧面描述了波罗的海原油和成品油运输市场多重分形特征整体的不规则程度，但这
两个运输市场运价指数收益率序列随时间变化的多重分性特征相对比较复杂，需要进一步通过这两个市场的收益率序列多重分形谱来研究.
图6给出了两个油船运输市场的多重分形谱.整体上看，BDTI和BCTI收益率序列多重分形谱图的顶部较平坦，开口宽大，曲线均分布在较大的范围内.这表明波罗的海原油和成品油运输市场运价波动的分布处于非均匀的分形结构状态，运价波动幅度较大，相应的分形谱跨度也较大.
为更具体地从数值上分析两个运输市场的多重分形特征，表1给出BDTI和BCTI收益率序列的多重分形谱参数估计.从表1可知，BCTI的αmin值小于BDTI的，而BCTI的αmax值大于BDTI的，BDTI的分形谱开口比BCTI的略窄，表明波罗的海成品油运输市场归一化运价较高或者较低的事件较多，波罗的海成品油运价的奇异程度大于波罗的海原油运价的.BDTI收益率序列的多重分形谱宽度Δα=0.399 6，BCTI收益率序列的多重分形谱宽度Δα=0.661 8，说明波罗的海成品油运输市场价格波动更大，多重分形强度更强，市场风险性更大，而波罗的海原油运输市场归一化价格涨跌幅度比波罗的海成品油运输市场的小.
3 结 论
通过研究波罗的海原油油船运价指数（BDTI）和波罗的海成品油油船运价指数（BCTI），得出如下结论：
（1）波罗的海原油和成品油运输市场不遵循传统的有效市场理论，运价收益率不服从正态分布，具有多重分形特征，即波罗的海原油和成品油运价波动服从分形的布朗运动，未来油价的波动与过去的油价波动是持续相关的.
（2）运用多重分形消除趋势波动分析（MFDFA）法的研究结果表明，波罗的海原油和成品油运价收益率序列广义Hurst指数（h（q））不是固定的常数，而是随着阶数q的变化而变化的，表明这两个运输市场具有多重分形特征.通过对质量指数的研究，发现两者的质量指数都是凸向横轴的非线性函数，进一步证明了这两个市场的运价不是单分形结构，具有多重分形特征.
（3）通过对BDTI与BCTI收益率序列多重分形谱的对比研究，发现波罗的海成品油运输市场的多重分形强度大于波罗的海原油运输市场的，波罗的海成品油运输市场价格波动更大，市场风险更高，因此市场决策者要多关注波罗的海成品油运输市场的变动.用MFDFA法来研究国际油船运输市场的变化，有助于市场决策者提高决策的准确性，具有重要的理论和现实意义.
参考文献：
[1]MANDELBROT B B. New methods in statistical economics[J]. Journal of Political Economics， 1963， 71： 421440.
[2]PETERS E E. Fractal market analysis： applying chaos theory to investment and economics[M]. New York： Wiley， 1994： 149.
[3]KANTELHARDT J W， ZSCHIEGNER S A， KOSCIELNYBUNDE E， et al. Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series[J]. Physica A： Statistical Analysis and Its Applications， 2002， 316（14）： 87114.
[4]ALVAREZRAMIREZ J， CISNEROS M， LBARRAVALDEZ C. Multifractal Hurst analysis of crude oil prices[J]. Physica A： Statistical Analysis and Its Applications， 2002， 313（34）： 651670.
[5]施锡铨， 艾克凤. 股票市场风险的多重分形分析[J]. 统计研究， 2004（9）： 3336.
[6]陈洪涛. 石油期货市场多重分形特征及相关问题研究[D]. 南京： 南京航空航天大学， 2008.
[7]陈洪涛. 燃料油期货市场的多重分形消除趋势波动分析[J]. 资源科学， 2010， 32（10）： 18781882.
[8]陈宇峰， 俞剑， 崔成伟. 国际油价波动的有效市场假设与可预测性： 基于MFDFA模型的重新考量[J].财贸经济， 2011（5）： 129135.
[9]HE Lingyun， CHEN Shupeng. Are crude oil markets multifractal？ Evidence from MFDFA and MFSSA perspectives[J]. Physica A： Statistical Analysis and Its Applications， 2010， 389（16）： 32183229.
[10]LI Zhihui， LU Xinsheng. Multifractal analysis of Chinas agricultural commodity futures markets[J]. Energy Procedia， 2011， 5： 19201926.
[11]苑莹， 庄新田， 金秀. 基于MFDFA的中国股票市场多标度特性及成因分析[J]. 管理工程学报， 2009， 23（4）： 9699.
[12]李电生， 李运红， 万培祥. 干散货航运价格指数的多重分形特征分析[J]. 中国海洋大学学报（社会科学版）， 2013（3）： 711.
[13]刘俊超， 陈秀乾. 上海集装箱运价衍生品市场多重分形特征研究[J]. 航海技术， 2014（1）： 4751.
[14]唐韵捷， 曲林迟. 中国股票市场与干散货航运市场的动态相关性——基于DCCMGARCH和VAR模型的实证分析[J]. 上海海事大学学报， 2015， 36（1）： 3845.
[15]朱玉华， 赵刚. 基于ARCH族模型的中国出口集装箱运价指数波动特征[J]. 上海海事大学学报， 2013， 34（3）： 4853.
（编辑 赵勉）
摘要：
为更好地把握油船运输市场的动态，提高研究的精确性，基于波罗的海原油油船运价指数（Baltic Exchange Dirty Tanker Index， BDTI）和波罗的海成品油油船运价指数（Baltic Exchange Clean Tanker Index， BCTI）呈现较强的非线性特征，运用多重分形消除趋势波动分析（Multifractal Detrended Fluctuation Analysis，MFDFA）法对其时间序列进行分析，结果发现BDTI和BCTI均出现明显的多重分形特征，这两个运输市场不遵循有效市场理论.通过对比两者的广义Hurst指数和多重分形谱，发现波罗的海成品油运输市场的分形强度更强.对两个运输市场的多重分形谱进行分析，发现波罗的海成品油运输市场风险更高，需要市场决策者加强关注.该结果可为研究航运市场时间序列的非线性特征提供很好的参考.
关键词：
多重分形消除趋势波动分析（MFDFA）； 波罗的海原油油船运价指数（BDTI）； 波罗的海成品油油船运价指数（BCTI）； 多重分形谱
中图分类号： F551；F224
0 引 言
在国际油船运输市场上，油船运价指数变化情况是市场决策者进行市场管理的重要依据.波罗的海原油油船运价指数（Baltic Exchange Dirty Tanker Index，BDTI）和成品油油船运价指数（Baltic Exchange Clean Tanker Index，BCTI）不同程度上反映了油船运输市场的情况，但是这两个运价指数受世界经济发展、市场贸易需求、自然变化等多种因素影响，呈现出不规则的变化特征，用传统的有效市场理论进行研究是远远不够的，需要用分形理论来分析.早在1963年，MANDELBROT[1]提出了分形理论，受到广大研究者的关注.随后在1994年，PETERS[2]提出了分形市场理论，该理论不同于传统有效市场理论线性、独立、正态分布的特点，认为未来资产价格变化与过去资产价格是持续相关的.该理论在股票市场得到广泛的应用，为金融市场的理论研究注入新的活力.在2002年，KANTELHARDT等[3]提出了多重分形消除趋势波动分析（Multifractal Detrended Fluctuation Analysis，MFDFA）法，对序列波动奇异性进行分析.ALVAREZRAMIREZ等[4]结合分形市场理论，运用MFDFA法研究国际原油市场，揭示原油市场价格具有长期的状态持续性.施锡铨等[5]运用多重分形法对中美两国股票市场的多重分形特征进行了研究，得出分形特征显著性高低与风险度的大小息息相关.陈洪涛[67]运用MFDFA法检验了美国西德克萨斯轻质原油（WTI）和北海布伦特原油（Brent）、新加坡和中国上海的180CST燃料油期货价格收益率序列多重分形结构，发现石油期货价格序列具有多重分形维数，且中国上海燃料油期货市场分形奇异强度最小.陈宇峰等[8]基于多重分形模型，提出了国际油价波动的可预测性.HE等[9]运用MFDFA和MFSSA的模型，对比分析了国际原油市场的多重分形特征.LI等[10]把多重分形特征应用到农产品期货市场.苑莹等[11]运用MFDFA法分析了中国股票市场的多标度特征和产生这种特征的原因.随着分形市场理论的不断发展，研究者开始将分形市场理论引进航运市场.李电生等[12]对国际干散货运价指数的分形特征进行研究，认为干散货运价指数时间序列具有持续性，下一段的运价走势与前一段的运价走势保持一致，且干散货运价在总体上呈增涨的趋势.刘俊超等[13]以欧洲航线和美西航线集装箱衍生品为研究对象，揭示了分形市场理论存在于集装箱运价衍生品市场之中.唐韵捷等[14]对上海证券综合指数和波罗的海干散货指数进行分析，揭示了它们的动态相关性对制定运价有重要的影响.朱玉华等[15]研究了集装箱运价的集聚性和敏感性，揭示了集装箱运价的反杠杆效应，提高了集装箱市场运价预测的准确性.
本文从分形市场理论出发，运用MFDFA法，以BDTI和BCTI为研究对象，对两个油船运输市场进行对比研究，以更好地把握油船运输市场的动态，提高研究的精确性.通过对比两个运输市场的Hurst指数，发现这两个运输市场不遵循有效市场理论，具有多重分形特征；对两个运输市场的多重分形谱进行分析，发现这两个运输市场运价总体上呈上涨的趋势，波罗的海成品油运输市场风险更高，波动更大，需要市场决策者加强关注.
1 模 型
MFDFA法主要用于研究非平稳时间序列的多重分形特征.本文采用MFDFA法对波罗的海原油和成品油油船运价收益率序列进行研究，计算过程[3]如下.
定义长度为N的时间序列{xi}（i=1，2，…，N）.
（1）计算序列相对于均值的累积离差{yk}（k=1，2，…，N）.
（2）把时间序列{yk}（k=1，2，…，N）分割为等长小段.对任意正整数t，记Nt=[N/t].把时间序列{yk}（k=1，2，…，N）自首向尾分割成长度为t的Nt个互不重叠的小段，为保证序列数据的完整，再重复上述分割过程，得到2Nt个等长度小段.
其中C为常数.作出log Fq（t）～log t函数关系散点图，用最小二乘法做线性回归，其斜率就是Hurst指数h（q）.当h（q）为常数，即h（q）与阶数q无关时，序列是单分形；当h（q）的值随着q的增大而减小时，序列是多重分形.对非平稳时间序列，当h（q）=0.5时，序列是随机时间序列，即是一个独立的过程；当0<h（q）0.5时，序列具有长程相关性.
Δα=αmax-αmin，用来表示在标度不变的情况下分形结构的归一化价格分布均匀程度.Δα=0表示序列处于完全均匀的分布状态.一定宽度的分形谱反映了序列的分形结构特征：Δα越大，表明序列的分形谱跨度越大，序列的多重分形强度越强，波动越大，序列多重分形特征越明显.
</h（q）
2 波罗的海原油和成品油油船运价多重分形分析
2.1 数据选取
选取2001年1月3日到2015年7月24日BDTI和BCTI各4 060个数据为研究对象，其原始序列波动见图1.为更好地反映运价指数的波动特征，对原始序列取对数再进行一阶差分法处理：r（t）=ln P（t+1）-ln P（t），其中P（t）表示第t天的运价指数，r（t）表示航运市场的日收益率.通过指数收益率的变化来刻画运价指数的波动特征.[6]
2.2 广义Hurst指数
对油船运输市场序列运用MFDFA法进行研究，利用MATLAB编程计算（在MATLAB内部函数中，默认log（x）是以e为底数的自然对数ln（x）），OriginPro8画图.图2和3分别是BDTI和BCTI收益率序列双对数函数关系图.以图2为例，自下而上的3条直线分别是q=-5，0，5时的回归线，总体上呈线性关系，遵循幂律定律，表明波罗的海原油和成品油市场呈现多重分形特征.该回归线的斜率是h（q）（即q阶广义Hurst指数）.3条回归线从上到下q值依次减小，则相应的斜率h（q）逐渐增大.
为更好地反映斜率h（q）随q的变化情况，图4给出BDTI和BCTI收益率序列h（q）～q关系.由图4可以明显看出，h（q）随q的增大而减小（即h（q）是关于q单调下降的，不是一个固定的常数）.这表明序列是多重分形的，不遵循传统的有效市场理论.因此，对航运市场用单分形模型描述是不准确的.
图4中BDTI和BCTI收益率的Hurst指数大于0.5，表明q在[-5，5]内，这两个市场具有强的持续性、弱的反状态持续性，即市场未来的运价指数走势与市场上一阶段运价指数走势总体上保持一致，市场内部因素对运价的影响更明显.从两个运输市场整体h（q）看，原油运输市场h（q）跨度约为0.238 2，成品油运输市场h（q）跨度约为0.322 8，表明波罗的海成品油运输市场比波罗的海原油运输市场的分形强度大、相关性小.从统计意义上看，波罗的海原油运输市场具有更明显的自相似性、更好的稳定性.
2.3 质量指数τ（q）
为进一步证明油船运输市场的多重分形特征，引入质量指数.从图5可以看出：这两个市场的质量指数都是凸向横轴的曲线，τ（q）是关于q严格递增的凸函数；当q=0时，波罗的海原油和成品油运输市场的τ（q）值均为-1，说明τ（q）是关于q的非线性函数，证明波罗的海原油和成品油运输市场具有多重分形特征.
2.4 多重分形谱
前面已从不同侧面描述了波罗的海原油和成品油运输市场多重分形特征整体的不规则程度，但这
两个运输市场运价指数收益率序列随时间变化的多重分性特征相对比较复杂，需要进一步通过这两个市场的收益率序列多重分形谱来研究.
图6给出了两个油船运输市场的多重分形谱.整体上看，BDTI和BCTI收益率序列多重分形谱图的顶部较平坦，开口宽大，曲线均分布在较大的范围内.这表明波罗的海原油和成品油运输市场运价波动的分布处于非均匀的分形结构状态，运价波动幅度较大，相应的分形谱跨度也较大.
为更具体地从数值上分析两个运输市场的多重分形特征，表1给出BDTI和BCTI收益率序列的多重分形谱参数估计.从表1可知，BCTI的αmin值小于BDTI的，而BCTI的αmax值大于BDTI的，BDTI的分形谱开口比BCTI的略窄，表明波罗的海成品油运输市场归一化运价较高或者较低的事件较多，波罗的海成品油运价的奇异程度大于波罗的海原油运价的.BDTI收益率序列的多重分形谱宽度Δα=0.399 6，BCTI收益率序列的多重分形谱宽度Δα=0.661 8，说明波罗的海成品油运输市场价格波动更大，多重分形强度更强，市场风险性更大，而波罗的海原油运输市场归一化价格涨跌幅度比波罗的海成品油运输市场的小.
3 结 论
通过研究波罗的海原油油船运价指数（BDTI）和波罗的海成品油油船运价指数（BCTI），得出如下结论：
（1）波罗的海原油和成品油运输市场不遵循传统的有效市场理论，运价收益率不服从正态分布，具有多重分形特征，即波罗的海原油和成品油运价波动服从分形的布朗运动，未来油价的波动与过去的油价波动是持续相关的.
（2）运用多重分形消除趋势波动分析（MFDFA）法的研究结果表明，波罗的海原油和成品油运价收益率序列广义Hurst指数（h（q））不是固定的常数，而是随着阶数q的变化而变化的，表明这两个运输市场具有多重分形特征.通过对质量指数的研究，发现两者的质量指数都是凸向横轴的非线性函数，进一步证明了这两个市场的运价不是单分形结构，具有多重分形特征.
（3）通过对BDTI与BCTI收益率序列多重分形谱的对比研究，发现波罗的海成品油运输市场的多重分形强度大于波罗的海原油运输市场的，波罗的海成品油运输市场价格波动更大，市场风险更高，因此市场决策者要多关注波罗的海成品油运输市场的变动.用MFDFA法来研究国际油船运输市场的变化，有助于市场决策者提高决策的准确性，具有重要的理论和现实意义.
参考文献：
[1]MANDELBROT B B. New methods in statistical economics[J]. Journal of Political Economics， 1963， 71： 421440.
[2]PETERS E E. Fractal market analysis： applying chaos theory to investment and economics[M]. New York： Wiley， 1994： 149.
[3]KANTELHARDT J W， ZSCHIEGNER S A， KOSCIELNYBUNDE E， et al. Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series[J]. Physica A： Statistical Analysis and Its Applications， 2002， 316（14）： 87114.
[4]ALVAREZRAMIREZ J， CISNEROS M， LBARRAVALDEZ C. Multifractal Hurst analysis of crude oil prices[J]. Physica A： Statistical Analysis and Its Applications， 2002， 313（34）： 651670.
[5]施锡铨， 艾克凤. 股票市场风险的多重分形分析[J]. 统计研究， 2004（9）： 3336.
[6]陈洪涛. 石油期货市场多重分形特征及相关问题研究[D]. 南京： 南京航空航天大学， 2008.
[7]陈洪涛. 燃料油期货市场的多重分形消除趋势波动分析[J]. 资源科学， 2010， 32（10）： 18781882.
[8]陈宇峰， 俞剑， 崔成伟. 国际油价波动的有效市场假设与可预测性： 基于MFDFA模型的重新考量[J].财贸经济， 2011（5）： 129135.
[9]HE Lingyun， CHEN Shupeng. Are crude oil markets multifractal？ Evidence from MFDFA and MFSSA perspectives[J]. Physica A： Statistical Analysis and Its Applications， 2010， 389（16）： 32183229.
[10]LI Zhihui， LU Xinsheng. Multifractal analysis of Chinas agricultural commodity futures markets[J]. Energy Procedia， 2011， 5： 19201926.
[11]苑莹， 庄新田， 金秀. 基于MFDFA的中国股票市场多标度特性及成因分析[J]. 管理工程学报， 2009， 23（4）： 9699.
[12]李电生， 李运红， 万培祥. 干散货航运价格指数的多重分形特征分析[J]. 中国海洋大学学报（社会科学版）， 2013（3）： 711.
[13]刘俊超， 陈秀乾. 上海集装箱运价衍生品市场多重分形特征研究[J]. 航海技术， 2014（1）： 4751.
[14]唐韵捷， 曲林迟. 中国股票市场与干散货航运市场的动态相关性——基于DCCMGARCH和VAR模型的实证分析[J]. 上海海事大学学报， 2015， 36（1）： 3845.
[15]朱玉华， 赵刚. 基于ARCH族模型的中国出口集装箱运价指数波动特征[J]. 上海海事大学学报， 2013， 34（3）： 4853.
（编辑 赵勉）
