深度研读教材策略之三：丰富数学知识的表现形式①
刘娜 顾利娟
【导读】
“鸽巢问题”的教学内容是人教版小学数学六年级下册的“数学广角”的内容，让学生初步感受“鸽巢原理”（也叫“抽屉原理”）。对于六年级学生而言，理解“鸽巢原理”的难度还是挺大的。对教师来说，上好“鸽巢问题”这一课是具有挑战性的任务。
在本案例中，来自昆明市盘龙区昆明重工中学的刘娜老师引导学生经历“鸽巢问题”的完整学习过程，在丰富的情境变换中逐步揭开“鸽巢问题”的神秘面纱，取得了良好的教学效果。
【案例】
课堂实录：
一、引入
师：同学们玩过抢凳子的游戏吗？
……
师：这类问题在生活中有许多应用，我们接着往下看。
二、新课探究
（一）感性认知
师：思考以上问题，同学们认为，总有一个鸽巢里至少要飞进几只鸽子？
生1：2只。
……
师：要回答这个问题，我们用数的分解的方法来分一分，4只鸽子飞进3个鸽巢，有哪些情况？请同学们在作业单上写一写。
学生作品代表：
师：我们按照一定顺序分解，有以下4种情况。
师：只有这4种情况吗？
生：只有这4种情况，因为分成1、1、2和分成2、1、1是同一种情况。
师：分完之后，我们来思考，什么叫“总有”？
生1：其中有一个。
生2：只要保证有，就叫总有。
师追问：“总有”是要求所有鸽巢里都要满足条件吗？
生：不是。只要有一个鸽巢满足条件就可以了。
师：按第一种情况来看，总有一个鸽巢里至少有4只鸽子，对不对呢？
生（齐）：不对。
师追问：为什么？
……
师：那么，总有一个鸽巢里至少有3只鸽子，对不对呢？
……
师（追问）：为什么？
生1：总有一个鸽巢里至少有2只鸽子，至少两只包含了所有情况。
生2：至少有2只的意思是可能有2只，也可能比2只多。
师：为什么不是至少1只？
……
师：要解决总有一个鸽巢里至少飞进几只鸽子，鸽子要怎么飞，就是至少数2只了？
生1：飞的分散一点。
生2：把鸽子平均分进鸽巢。
师：照同学们所说，把4只鸽子平均分到三个鸽巢，先每个鸽巢分进一只鸽子。
师：那就是总有一个鸽巢里至少有1只鸽子呀？
生：还有1只鸽子飞在外面，还要加1。
师：加1加在哪里呢？
生：无论加在哪一个鸽巢里都可以。
师：这个平均分的过程，能列式表达吗？
生（作业单上列式）：4÷3=1（只）……1（只）1+1=2（只）
……
（二）加深理解
师：现在，又飞来了一只鸽子，一共5只鸽子，飞进3个鸽巢。总有一个鸽巢里至少飞进几只鸽子呢？请在作业单上列式。
学生作品：
师：哪种算法正确呢？为什么？
生1：第一种对。不能加2。也许这两只鸽子不飞到同一个鸽巢，而是各飞各的。
生2：剩下的两只鸽子，我们还要进行平均分。
师：平均分已经使鸽巢里的鸽子尽量少了，只要这种情况符合要求，另外的情况肯定符合要求。
（三）归纳建模
师：像这样的数学问题，我们把它叫做“鸽巢问题”，里面蕴含的这种数学原理叫做“鸽巢原理”。
（课件介绍德国数学家狄里克雷与“鸽巢原理”）
（四）回归生活
1.回顾“抢凳子”游戏中，参与游戏的人，在坐凳子的时候，总是不约而同地尽量“平均”。
2.每13个人总有至少两个人是同一属相。
三、解决生活中的问题
1.超市有7个等待收银通道，有30个人等待付款，总有一个收银通道至少有几个人？
2.有4个医生坐诊，有31个病人等待看病，总有一个医生至少有几个病人？
师：做题之前，先思考，什么相当于“鸽巢”，什么相当于“鸽子”？
（做完题之后，课件展示答案）
四、小结
你能说一说，生活中还有哪些鸽巢问题呢？（生回答略）
【思考】
“鸽巢问题”编排在小学六年级，从编排的顺序上就体现了它的“分量”。怎样引导学生从生活中的“鸽巢问题”现象逐步深入到问题的本质？这确实是一个让人头疼的问题。
本案例中，刘娜老师创设丰富的教学情境，不断丰富“鸽巢问题”的表现形式，最终带领学生艰难地突破了认知瓶颈。特别是以下四个方面表现得尤为突出：
1.数形结合，降低难度。“鸽巢问题”之所以难以理解，是它纷繁的表象让人眼花缭乱。假设有4只鸽子飞进3个鸽巢，以具体形象思维为主的小学生往往更关注4只鸽子的外表——黑、白、花、灰，还可能会关注每一个笼子的具体情况——左、中、右。每一只鸽子都可能飞进任意一个笼子，每一只鸽子都有可能和其他鸽子结伴共同进入一个笼子。这样，4只鸽子飞进3个笼子的情况就比较复杂了。但是，如果我们4只鸽子用数字“4”来代替，把数字“4”拆分为三个数，列举出可能存在的情况，“4只鸽子飞进3个笼子”的结果就大大简化了。
2.數据离散，找出“总有”。为什么大部分学生之所以觉得“鸽巢问题”难以理解？数学语言与生活语言的差别是一大障碍。一些学生会认为：当3只鸽子都飞进了第一个笼子，最后一只鸽子飞进第三个笼子的时候。第二个笼子和第三个笼子都没有达到“至少有两只鸽子”的要求，怎么能说“总有”呢？通过动画演示、画图实验、数字拆分等途径，学生终于明白了“总有”指的是“4只鸽子飞进3个笼子”这个场景的整体，而不是指某一个局部。通过对比数据的离散情况，“4只鸽子”这组数据的整体离散度越大，每个局部就越不均衡，就越可能出现“总有”的极端情况。
3.逐步分解，理解“至少”。基于数据的“离散度”（教学中老师并没有出现这样的专业名词）观察、比较，学生们发现了4只鸽子进入笼子越不“平均”，就越容易出现极端情况，就越有机会达成“总有一个笼子至少飞进两只鸽子”的目标。如果要很好地做到“至少”，那就得让这些鸽子进入笼子的情况尽量“平均”。在“平均”的基础上出现了“余数”——落单的那只鸽子，它总得进入其中一个笼子，无论这只鸽子进入了哪个笼子，这个笼子就变成了“总有”的那一个，而且是“总有”当中的“最少”情况。
4.回归生活，升华应用。在学生经历百转千回的“艰辛”之后，终于对“鸽巢问题”的本质有了深入理解。学生真的懂了吗？需要我们回归生活，在解决问题中加以检验。为什么要平均分呢？——再次回顾“抢凳子”的游戏，只有“傻子”才会去跟已经坐了凳子的人抢，大家总是不约而同地奔着空凳子去，所以抢凳子的人在坐凳子的时候总是尽量“平均”。“每13个人总有至少有两人是同一属相”的问题就有些抽象了。有些学生囿于定式思维，会觉得这个问题好奇怪——我们班的13个人都是同龄人，肯定属相相同啊，有必要提这样的问题吗？一时之间，学生的思维水平又回到了“最有利”情况中了。经过老师的引导，学生跳出定式思维的影响，联想到了13个人可能男女老少都有。从“最不利”的角度出发，这13个人的属相可能各不相同，但是前面12人把所有属相都占据了，第13个人的属相总要和前面的一个人重复。
本课例中，刘老师并没有归纳出计算的公式，而是抽丝剥茧般地耐心引导学生逐步深入探究“鸽巢问题”的本质，体会平均分的策略价值——从“最不利”角度出发，反向证明“鸽巢问题”的正确性。
