考虑横向弯曲振动的轮胎圆柱薄壳模型
黄海波 余旭东 叶方杰
摘要： 建立了充分考虑带束层宽度和厚度及侧向正应变和切、侧向预应力的轮胎三维等效圆柱薄壳模型，提出了一组适合不同频段的轮胎带束层切向、径向和横向振动的位移函数。该模型不仅能够准确计算中低频（0-300 Hz）的轮胎面内、外振动固有频率，还能够预测带束层截面方向发生的中、高频弯曲振动（300-500 Hz）。通过瑞利-里兹法求解低频振动并简化计算过程，通过模态展开法求解中高频弯曲振动。使用锤击法试验验证了模型的准确性。
关键词： 横向弯曲振动; 轮胎; 薄壁圆柱壳模型; 位移公式;中高频段
中图分类号： U461.1; TB123; U463.341 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2020）04-0709-08
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.008
引 言
轮胎振动特性作为影响整车舒适性、操纵稳定性及噪声的重要影响因素[1]，一直受到学者和工程师的重点关注。在轮胎振动特性中，轮胎结构振动主要集中在0-500 Hz[2-3]，在中低频区域（0-300 Hz），轮胎的振动模式相对简单，在带束层横截面方向保持近乎刚体的平移和摆动，主要影响车辆的结构振动;在中高频区域（300-500 Hz），轮胎带束层在横向截面上会发生弯曲振动，使振型变得更为复杂[4]，将主要影响车辆的噪声[5]。由于轮胎结构的复杂性，目前的理论模型还较难以完整预测轮胎在0-500 Hz频段上的振动特性。有限元模型虽然能够预测轮胎低、中、高频的振动特性[2，6]，但是时间成本高、需要辨识的轮胎参数多，具有一定的局限性。因此，建立能够在更宽频带范围内高效和准确预测轮胎振動特性的理论模型具有重要的理论意义和应用价值。
由于具有较好的准确性及高效性，圆环模型一直被广泛应用于轮胎的振动特性[7-10]和车辆动力学模拟[11-12]。但早期的环模型也暴露出一些局限性，其作为二维模型无法描述带束层的横向振动[5]，因此也不可能反映出轮胎带束层在中高频发生的横向弯曲振动。近年来众多研究者开始研究三维弹性圆环模型，将模型横向扩展使之能够包含胎面的横向振动。文献[13-14]通过假设圆环绕轴线的横向扭转角将面内、外振动解耦，同时考虑大应变项，得到了轮胎固有频率的解析解，并且用有限元和物理实验相结合的方法验证了其准确性。Matsubara等[15-16]提出了一组位移函数结合三维柔性环模型，能够较为高效、快速和准确地预测150 Hz以下的轮胎径向和侧向振动，但不能计算轮胎带束层横向的中高阶弯曲模态。然而环模型中由于带束层在横截面方向的振动依然保持平面近似刚体[17]，因此不能反映出轮胎带束层在中高频（300-500 Hz）发生的横向弯曲振动。Lecomte等[18]建立了考虑胎侧影响的薄壁圆柱壳模型计算带束层在0-500 Hz上的振动，但不能计算轮胎的侧向固有频率。Molisani等[19]的模型由于未区分带束层在低频的平移和摆动，虽然可以计算轮胎横向的中高阶弯曲模态，但是无法预测带束层的低频横向振动。因此，虽然三维轮胎环模型已经有一些研究成果，但关于轮胎的侧向高阶振动仍有较大的研究空间，仍然有必要继续探讨和丰富轮胎三维振动理论模型及其求解方法。
本文基于Kirchhoff-Love假设[20]，提出了基于圆柱壳的轮胎理论模型和对应的位移函数。模型将薄壳视作许多平行于中性面的薄层相互叠加，单独变形而又保持直法线特性，由此可以计算带束层的横向弯曲振动。模型不但可以预测带束层的低频径/侧向振动，还可以预测其横向高阶弯曲振动（大于300 Hz）。通过试验验证了模型的准确性。本文研究可以为轮胎结构振动和噪声提供一种可供借鉴的思路和方法。
1 薄壁圆柱壳模型
1.1 模型描述 ?轮胎圆柱薄壳模型如图1所示。轮胎被简化为三部分：轮毂、薄壁圆柱壳和等效弹簧。轮毂简化为具有集中质量和转动惯量的圆柱形刚体，带束层简化为三维薄壁圆柱壳，胎侧和充气压力的弹性用径向、切（周）向和横向线性等效弹簧表示。建立旋转柱坐标系（y，θ，r）描述三维圆柱薄壳的相对运动，薄壳中性面的径向、切向和侧向位移分别为w，v和u。不同于常见的三维轮胎简化模型，本模型不仅考虑了圆柱薄壳的宽度和厚度，还充分考虑了充气压力对带束层产生的预应力。
1.2 位移-应变关系
需要注意的是，较之前人工作[13-16]，本文提出的理论模型不仅考虑了胎面横向移动引起的机械能，还考虑了胎面横向弯曲变形引起的弹性势能，因此可以较为准确地求解轮胎高阶横向弯曲振动。
2 振动位移函数
为了准确表达胎面带束层在不同阶下的耦合振动，本文采用被广泛使用[22-25]的Wheeler[6]轮胎模态命名规则。规则使用整数组合[c， a]来描述轮胎的耦合振动模态振型，c表示带束层在振动时径向位移变化量沿圆周方向产生的波数（波形的数量），a表示带束层振动时径向位移变化量沿横截面方向产生的波数，对应的振型如图2所示。两个方向的振动可以是耦合的。
将位移函数（13）带入公式（9）中，可得到质量矩阵Mc2和刚度矩阵Kc2进而求得弯曲振动的固有频率。
2.3 扭转模态
3.1 模型参数及模态试验 ?本文使用205/55R16子午线轮胎验证计算结果的准确性，模型参数[26]如表1所示。需要指出的是，本文模型为轮胎带束层等效壳体模型，所测量的数据包括半径、宽度、厚度等都是带束层而非包含胎面胶的整个轮胎的数据。
采用锤击法进行模态试验。进行模态试验时，轮胎放置在EPE珍珠棉发泡板上。由于珍珠棉本身固有频率较低（低于20 Hz）[27]，轮胎可被认为处于自由悬置状态。试验轮胎充气压力为225 kPa，胎面上共布置60个测点，每排12个测点，共5排，通过3向加速度传感器测量测点的加速度响应。试验激励点分别位于胎面中心线和胎肩，试验仪器如图3所示。试验采用单点激励多点输出的方法获得各测点的响应信号，每个测点锤击3次，最终结果为3次测量平均值，以保证信号的一致性。
3.2 試验结果
经过模态分析软件处理后得到如图4所示的0-500 Hz范围轮胎径向频响函数曲线和0-250 Hz的轮胎侧向频响函数曲线。可以看出轮胎在300-500 Hz频段上的模态频率密度非常高。
如图5所示，通过试验得到了轮胎中低频的固有振型和模态频率。固有频率计算结果与试验结果的对比如表2所示，可以发现模型对径向振动[c， 0]的理论计算与试验值误差在5%以内。径/侧向耦合振动[c， 1]的固有频率除[2， 1] （误差为10.54%）外误差都在10%以内，模型均能够保证对两种振动方式预测的准确性，特别是侧向振动的准确性。
由于轮胎在350-500 Hz范围的模态频率密度较高，本文使用“模态振型辨识模态频率”的方法，即如果计算得到的振型与试验的振型一致，那么认为振型对应的计算频率和试验频率是同一阶的，以此来找到计算频率对应的试验频率。试验分析结果与计算结果对比如图6所示，可以发现[0， 2]，[1， 2][c， 2]和[2， 2]振型对应的固有频率计算结果与试验结果的误差分别为-7.74%，-0.89%和0.37%，说明所建立的轮胎理论模型能够准确预测胎面的中高频振动特性。
由于试验装置、数据采集及处理和模型线性假设及忽略阻尼等原因，模型在所研究的频率范围内计算结果与试验值存在一定的误差。由于这些误差均在10%以内（除模态[2， 1]误差为10.54%），因此模型在0-500 Hz范围内能够较准确预测轮胎不同类型的振动。
4 结 论
本文提出了轮胎的三维等效圆柱薄壳理论模型及对应不同频段的振动位移函数，计算了轮胎在0-500 Hz范围内的轮胎振动特性，通过物理试验验证了模型准确性。可以得到以下结论：
（1）模型特别考虑了薄壳厚度方向任意点的位移，从而可以计算轮胎带束层的横向正应变，使预测轮胎在中、高频段上的横向弯曲振动成为可能，为预测轮胎中高频振动特性提供了一种高效手段。
（2）提出了一组新的位移函数，可以描述轮胎带束层径/侧/切向耦合振动，结合本文模型可以预测轮胎带束层在0-500 Hz范围的模态特性，特别是可以预测300-500 Hz范围上的轮胎横向弯曲振动，且与试验结果吻合较好。
（3）模型理论上可以计算更高频带的横向弯曲振动（a=3，4…），但由于试验条件所限没有进行试验验证。另外，随着频率升高，轮胎阻尼对于固有频率的影响将越来越大，如何考虑轮胎结构阻尼将是今后进一步完善模型的方向。
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Abstract： A three-dimensional thin-walled cylindrical model for tires is established with full consideration of the width and thickness of the belt， the lateral normal strain and the prestress in tangential and lateral directions. A set of displacement functions in tangential， radial and transverse directions for the tire belt is proposed. The model can not only calculate the in-plane and out-of-plane vibrations at low frequencies， but also predict the mid-and high-frequency bending vibrations that may occur in the transverse direction of the belt. The Rayleigh-Ritz method is used to solve the low-frequency vibration problem and simplify the calculation process. The modal expansion method is used to achieve the natural frequency of the mid- and high-frequency bending vibration. The natural frequencies and modal shapes of a 205/55R16 radial tire are measured and identified by the hammering method， which are used to validate the accuracy of the model. The model provides referable methodology for studying the vibration behavior of tires in various frequency bands.
Key words： transverse bending vibration; tire; thin-walled cylindrical shells; displacement formula; medium and high frequency areas
