分期付款模型及其应用举例
申郑
摘要：分期付款是生活中常见的消费方式，通过分析建立分期付款的数学模型，然后使用matlab计算分期付款的月利率。本文给出了分期付款模型在生活情景中的应用，探讨了分期付款的提前还款公式，最后给出了在利率一定情形下的“个性化”分期付款还款方案。
关键词：分期付款;利率;提前还款;“个性化”还款方案
中图分类号：F830.5;O122? ?文献标识码：A
分期付款是一种常见的消费方式，大到买房、买车，小到购买手机、笔记本电脑，都可以进行分期付款。使用分期付款是要付出“代价”的，这个“代价”就是使用分期付款所要支付的利息，而利息的大小又是相对的（依赖于分期付款的本金），所以我们通常使用利率来衡量一笔分期付款“代价”的大小。
分期付款能减少了一次性付款的压力，再加上“互联网+金融”的迅猛发展，各种分期消费的APP层出不穷，分期付款消费市场发展速度很快，但鱼龙混杂，良莠不齐。消费者对于各类分期付款的套路诸如“无息贷款”、“零首付”、“月费率”等名词的概念混淆不清，导致消费者办完分期付款之后依然不清楚这笔分期付款的利率是多少，所以我们建立分期付款的数学模型，再利用matlab等数学软件求解分期付款的利率。
1、分期付款背景
利率分单利和复利。假设你有1万元长期不用，到银行存5年定期，年利率为4.75%，到期后得到的本金加利息为元，这样计算的利息称为单利。如果想灵活一点取用，存1年定期，年利率为3%，并申报若到期不取则自动转存，那么一年后的本息和为元，扔按年利率3%再存一年，若如此共存5年，得到的本息和为元，这样计算的利息称为复利，俗称“利滚利”。上述按照复利算出的结果比单利还少，是因为年利率不同造成的。如果用同一利率计算，存期为，那么单位本金按照单利计算的本息是，而按照复利计算的本息是，显然后者大于前者。目前银行的“零存整取”业务是按单利计算的，而各类商业贷款如房贷、车贷、装修贷等通常按照复利计算，所以下文中涉及到的利率都按复利计算。
利率根据计量的期限标准不同，有年利率、月利率、日利率之分。一般来说，它们的换算关系如下：
年利率=月利率*12=日利率*365.
在日常生活中，顾客与商家进行分期付款时会达成一份协议，这个协议通常会约定顾客还款的时间和金额。设是顾客达成分期付款协议的日期也是借款日期，是约定的还款期数，是约定的还款日期，由于分期付款往往是每月定期还款一次，所以距离借款日期的时间为个月，是还款日时的还款金额（单位：元）。还款日期向量和还款金额向量在分期付款协议好之后就确定下来了。
生活中的分期付款多数都是定额定期分期付款，即相邻两个还款日和之间相差一个月、任意两个还款日的还款金额相等，也有一部分是不定额分期付款。
2、建立分期付款模型
首先考虑最简单的分期付款模型，即还款期数.假设月利率为，借款一个月之后一次性把贷款结清，若还款金额为元钱，则借款本金是多少？答案是元。若是借款三个月之后一次性把贷款结清且还款金额为元钱，则借款本金元。一般地，在月利率为的情况下，借款个月之后一次性把贷款结清，若还款金额为元钱，则有借款本金.
其次考虑还款期数的分期付款。假设月利率为，借款一个月和三个月时需要分别还款元钱，则借款本金是多少。这种情况可以看做是两个还款期数的分期付款之和，于是有：
3、分期付款情景应用
案例一：某汽车4S店为顾客提供“无息贷款”以帮助客户购车。具体操作如下：客户在支付车款首付之后剩余6万元分期付款，期限为36个月，每月还款金额为60000元÷36=1666.67元，但办理此项分期付款需要事先支付“金融服务费”11000元，则该“无息贷款”的年利率是多少？
案例二：某银行为客户装修房子提供“装修贷”。具体操作如下：假设贷款10万元，贷款期限为36个月，每月基本还款额为10万元÷36=2777.78元，又该分期付款的“月费率”为0.31%，即每月还需要支付10万元×0.31%=310元，所以每月还款金额为3087.78元，则该“装修贷”的年利率是多少。
在案例二中，贷款本金元，，元，根据模型使用matlab的fsolve函数计算得出该分期付款的月利率约为0.58%，相应的年利率为6.96%，
案例三：某金融机构提供贷款服务，某客户贷款23万元，分36期每月定期偿还，“先息后本”还款：前35期每月还款3720元，第36期偿还本金23万元，请问这笔分期付款的年利率是多少。这是一个不定额定期分期付款的案例，月利率应该满足如下方程：
利用matlab中的fsolve函数求解得出月利率为0.0158，相应的年利率为18.96%。
4、提前还款问题
分期付款公式的一个重要应用就是“提前还款”。例如消费者提出在第期提前还款（），是原定的还款期数。这意味着第1期到第期都是正常履约的，设在第期提前还款需要支付的金额为元。虽然消费者选择了提前还款，但是分期付款的月利率不能因提前还款而改变，所以根据分期付款公式，有
在现实生活中当消费者提出要“提前还款”时，商家一般会要求消费者按之前的约定一次性支付剩余的款项，即在第期提前还款（）共需要支付元，消费者往往会认为这样的计算方式“没什么问题”，实际上并非如此。
上述不等式的成立意味着消费者多支付了钱，这部分钱自然是被商家赚走了。
5、分期付款的“个性化”还款方案
分期付款模型的另一个重要应用是商家可以在相同的借款总额、相同的还款期数和相同利率的情况下向顾客提供分期付款的“个性化”还款方案。客户可以在总还款期数为的分期付款方案中，任意选择期，这期的还款金额可以由顾客“个性化”的决定还多少，剩下的一期由商家来决定。那么在相同的借款总额、相同的还款期数和相同利率的情况下，商家可以根据分期付款公式来计算剩下的一期客户应该还款的金额。这样得到的“个性化”分期付款方案可以保證客户在“利率尺度”上是公平的。即使“利率尺度”一样，不同的分期付款方案的利息一般而言是不一样的。
方案一是我们生活中的“等额本息”还款方式，方案二是我们生活中的“等额本金”还款方式，方案三是我们生活中的“先息后本”还款方式，方案四是一个“个性化”的分期付款还款方案。以上四种还款方案在“利率尺度”下是无差别的，因为它们的具有相同的月利率，但是它们的还款总额并不相同。
6、结语
我们生活中遇到的分期付款大多数都是定额定期分期付款，结合分期付款公式，利用数学软件解方程可以很快得出分期付款的利率。本文给出了分期付款模型在实际生活中应用的案例，并进一步探讨了分期付款中“提前还款”的情形，给出了提前还款的计算公式。最后讨论了在利率一定情形下的“个性化”分期付款还款方案。
