动态数学技术提效数学变式教学的实证研究
韩仲亮 张蓉蓉
[摘? 要] 基于动态数学技术的初中数学变式教学，能让数学符号与图形的变化过程可视化，能让概念的生成过程直观化，能让解题思路多维化，能有效改变传统教学模式以静态环境想象动态过程的不足，不仅有效增强了学生的空间思维意识，而且培养了学生的抽象思维、发散思维、创新思维等数学思维能力.
[关键词] 初中数学;动态数学技术;提效;变式教学;图形的旋转
变式教学法非常有利于引导学生进行系统、科学的数学思维拓展训练，但只是单独运用变式教学法也有很多缺陷，譬如无法解决很多几何概念的推理论证与拓展练习;如果把动态数学技术与变式教学法相结合，很多数学概念、公式、定理的教学问题就会迎刃而解，能够显著提升初中数学课堂的教学效率.
动态数学技术的概念内涵及主要特征
“动态数学技术”指运用动态教学软件（如几何画板、Hawgent教学软件），让静止的数学符号或图形“运动”起来，让数学符号与图形的变化过程可视化，让概念的生成过程直观化.
动态数学技术的主要特征是形象化、动态化、可视化，与传统数学课堂静态教学模式形成鲜明的对比，能有效增强学生的空间思维意识，培养学生的抽象思维能力.
变式教学与动态数学技术的教学原理与融合途径
1. 教学原理
变式教学的教学原理在于“变”：变条件、变结论、变方法……动态数学技术的核心价值也在于“变”：变形状、变位置、变状态……把变式教学与动态数学技术相结合，就好比“强强联手”，能让初中数学课堂变得思维火花迸射，充满生机与灵动.
2. 融合途径
变式教学与动态数学技术融合的途径主要有概念生成、公式推导、定理论证、教学重难点突破、思维训练、拓展练习等方面，如苏教版八年级数学下册“9.1 图形的旋转”可按如下思路进行教学设计.
（1）明确探究任务
根据教材内容可制定如下探究任务：①探究图形旋转的概念，认识旋轉三要素;②探究图形旋转的性质;③探究旋转图形的画法.
（2）确定变式教法
根据探究任务以及变式教学和动态数学技术融合的原理，可制定如下变式教法：
①创设变式情境.通过不断变化提问的方式，不断变化问题生发的过程与方式，诱发学生产生与已有知识经验的认识冲突，从而激发学生探究新知的欲望.
②开展变式探究.让学生通过对图形位置、形状等的变式探究，引领学生经历“猜想、操作、推理、验证、归纳、概括”等探究学习活动，完成对概念的生成与建构过程.
③进行变式训练. 通过一题多变、一题多解、一题多用等变式练习，从概念的条件与结论、问题的深浅程度、思维的正反方向等多个维度，引导学生对新知识进行“深化、吸收、迁移、创新”.
动态数学技术提效初中数学变式教学的课例实证
下面，以苏教版八年级数学下册“9.1 图形的旋转”的教学为例，谈谈动态数学技术与数学变式教学的融合途径与策略.
1. 感受旋转，引入新知
（1）播放时钟、风车、车轮、摩天轮等学生熟悉的旋转画面，让学生直观感受旋转，丰富学生对旋转现象的感性认识.
（2）利用Hawgent教学软件出示静态的三角形、长方形、平行四边形等图形，再让这些图形旋转起来，让学生感受图形的动态旋转画面，引发猜想：旋转后所得的图形与原图形的形状、大小相同吗？进而引入新知.
2. 变式探究，认识新知
【探究目标一】探究图形旋转的概念
活动1：实验探究，建立旋转概念.
（1）引导学生操作并思考：把三角尺ABC绕点C按逆时针方向旋转到DEC的位置（如图1），再度量线段AC与DC、BC与EC的长度，以及∠ACD与∠BCE的度数，你发现了什么？
（2）学生测量后发现：AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE.（旋转不改变图形的形状和大小）
（3）归纳总结：①将图形绕一个 定点 旋转一定的 角度 ，这样的图形运动称为图形的旋转. 这个定点称为 旋转中心 ，旋转的角度称为 旋转角 . ②旋转的决定因素有 旋转中心 、 旋转角 和 旋转方向 ，也称旋转三要素.
（注意：旋转时应指出旋转方向，如逆时针、顺时针等）
活动2：变式拓展，结合动图看概念.
利用Hawgent教学软件出示△ABC，再将△ABC绕点C按逆时针方向旋转（如图2），让学生先独立完成下面的思考题，再交流讨论：
（1）旋转中心是点 C ;
（2）点B的对应点是 E ;
（3）CA的对应边是 CD ;
（4）∠A的对应角是 ∠D ;
（5）点A的旋转角是 ∠ACD ;
（6）点B的旋转角是 ∠BCE .
【探究目标二】探究图形旋转的性质
思考：三角形旋转中心在图形本身，其旋转后图形的形状与大小不变（性质1），如果旋转中心在图形之外，会出现什么新情况？
活动3：探究旋转的性质2——线.
如图3，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置.
（1）找出图中的对应线段.
（2）度量线段OA与OA′、OB与OB′、OC与OC′的长度，你发现了什么？
（3）学生度量后发现OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′.
（4）学生讨论后得出：图形旋转后，每对对应点到旋转中心的距离相等.
活动4：探究旋转的性质3——角.
图形旋转后，除了两个三角形中的对应角相等外，还有哪些相等的角？
（1）度量图3中的∠AOA′，∠BOB′，∠COC′的度数，你发现了什么？
（2）学生度量后发现∠AOA′=∠BOB′=∠COC′.
（3）学生讨论后得出：图形旋转后，每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.
活动5：归纳、概括图形旋转的性质.
（1）形：旋转前、后的图形 形状与大小不变 （对应线段 相等 ，对应角 相等 ）.
（2）线：对应点到旋转中心的距离 相等 .
（3）角：每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此 相等 .
【探究目标三】探究旋转图形的画法
活动6：动手画——点绕点旋转.
出示：已知点A和点O，请画出点A绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形.
（1）画图步骤：连线→画角→截取（如图4），即①连接点O和点A（用虚线）;②以O为顶点，以OA为一边，画∠AOC=90°（注意顺时针）;③在射线OC上截取线段OA′=OA. 则点A′就是所要求作的点.
（2）学生按上述步骤自主画图.
活动7：变式——线段的旋转.
出示：已知线段AB和点O，请画出线段AB绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形.
（1）按照“活动6”的三个步骤，小组讨论线段的旋转画法，即①分别连接OA和OB（用虚线）;②以OA为一边画∠AOC=90°，以OB为一边画∠BOD=90°;③在射线OC上截取线段OA′=OA，在射线OD上截取线段OB′=OB. 用实线连接A′B′，线段A′B′就是所要求作的线段（如图5）.
（2）学生按上述步骤自主画图.
活动8：变式——三角形的旋转.
出示：已知△ABC和点O，请画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形.
（1）学生按照上面点的旋转、线段的旋转的作图步骤自主画图（如图6）.
（2）交流谈论，总结旋转图形的画法.
归纳总结？摇 画旋转图形的关键：根据旋转的特征画旋转图形时，关键是确定图形的关键点（如线段的端点、多边形的顶点等）. 根据旋转的性质画出关键点的对应点后，再按原图形的连接方式连接各关键点的对应点即可.
上面的变式探究活动，利用动态数学技术把实物转化为平面图形，并演示图形旋转的动态过程，既有利于学生从直观感受转化为抽象概念，又有利于学生深入理解图形旋转的概念与性质. 并且学生运用旋转的性质学会了如何画旋转图形，这为学生以后自主解决具体问题奠定了知识与技能基础.
3. 变式训练，深化新知
（1）尝试练习
原题1？摇 如图7，已知正方形ABCD的边长为1，E是BA延长线上一点，连接AC，DE. 现将△ADE绕点A按顺时针方向旋转到△AMN的位置（M在AC上）. 旋转了多少度？CM的长度是多少？（答案：旋转了45°，CM= -1）
变式？摇 如图8，在正方形ABCD中，E是BA延長线上一点，现将△ADE绕点A按顺时针方向旋转到△ABP的位置. 旋转了多少度？若连接EP，试说出△AEP的形状.（答案：旋转了90°，△AEP是等腰直角三角形）
（2）延伸拓展
原题2？摇 如图9，将等边三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转40°后得△ADE （点B与点D是对应点），则∠BAE= 100° .（解答：∠BAE=60°+40°=100°）
变式1？摇 如图10，将等边三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转40°后得△ADE （点B与点D是对应点），则∠BAE= 20° .
变式2？摇 将等边三角形ABC绕点A旋转40°后得到△ADE （点B与点D是对应点），则∠BAE=? ? ?100° 或20°? ?. （解答：①逆时针旋转时，∠BAE=60°+40°=100°;②顺时针旋转时，∠BAE=60°-40°=20°）
上面的尝试练习让学生及时迁移、运用新知解决实际问题;拓展练习则进一步引导学生深化吸收与拓展创新. 两项练习都在原题基础上对条件和问题进行变式，有利于培养学生的发散思维与创新思维能力.
