关注学生思维发展 引导学习能力提升

    周益秋

    [摘? 要] 在新时代背景下，竞争越来越激烈，学生不仅要具备扎实的基础知识，还要具备自主学习和终身学习的能力，那么，如何培养学生的学习能力呢？文章指出，在教学中要加强数学活动的积累，让学生在发现、探究、总结、反思等学习活动中不断成长和完善，从而形成学习能力.

    [关键词] 自主学习;终身学习;学习能力

    在数学教学中，部分教师往往重视知识的积累而忽视能力的提升，这就使得学生的解题能力和学习能力难以提升. 然而在新形势下，无论考试还是未来步入社会都需要学生具备较强的学习能力，那么作为基础学科的数学肩负着培养学生学习能力的重任，教师要为提升学习能力而教，学生要为提升学习能力而学，以此来推动学习能力的提升. 笔者就如何提升学习能力提出了几点自己的看法，仅供参考.

    在活动中发芽

    学生常感觉数学课是乏味无趣的，无法让其参与其中，究其原因大多是教师上课形式过于单一和保守，尤其在概念教学时更是重结论轻过程，无法激发学生学习的热情，为改变这一现象，在教学时加入数学活动往往会收到意外的惊喜.

    案例1? 无理数概念.

    师：已知在△ABC中，AC=BC=1，∠C=90°，求斜边AB的长.

    生1：很简单，根据勾股定理可知AB2=AC 2+BC 2，即AB 2=2，开根号取正得AB= .

    师：很好！那么 是整数吗？

    生齐声答：不是.

    师：如果用数轴来表示，你认为 在哪两个连续整数之间呢？（问题一出学生很快就得到了答案）

    生2： 应该是在1和2之间的某个位置.

    师：你是怎么判断的呢？

    生2：我是根据三角形三边关系得出的结论.

    师：很好！ 可能是在整数1和2间的分数吗？如 ， 等. （学生用平方法进行验证，发现其也不是分数）

    师：根据有理数的概念来判断，显然 不是有理数. 由1< <2，可知 是整数部分为1的小数，你能利用平方运算继续推理到十分位吗？（学生进一步推导发现1.4< <1.5，按照这个思路又推理了百分位）

    师：经过推理你发现 是有限小数还是无限小数呢？是循环小数吗？

    在无理数概念教学时，教师将文字概念转化成了若干问题，让学生通过观察、推理、验证来总结归纳概念. 通过问题引导，层层递进，带领学生一起探索新数的特点，当用原有概念无法包含新数时就需要进行扩充，充分展现了扩充数的必要性.

    在概念教学时，尤其对数的认识，教师习惯于通过举例的方式让学生直接进行概念的记忆，很少关注概念引入及概念的生成过程，致使学生对概念的理解仅停留于浅层的瞬时记忆，随着时间的推移，概念增多，因缺乏对过程的挖掘，往往容易混淆. 在概念的教学中，教师可以设计一些有个性的问题，让学生在推理和验证中去体验其生成过程，从而加深理解，将瞬时记忆转变为永久记忆，相信通过不断地积累和探索，学生的数学学习能力一定会有所提高.

    在解题中抽枝

    在数学教学中，因学生的思维方式不同，其解题思路往往有所差异，教师要多鼓勵、多引导，让学生进行多角度观察，从而让课堂百花齐放.

    案例2? 如图1，△ABC和△ADC都是直角三角形，其斜边为AC，∠B=∠D=90°，∠CAD=30°，∠CAB=45°，AB=BC=4 cm.

    （1）求AD，DC的长;

    （2）若点M，N分别从A点和C点同时以1 cm的速度向D点和B点运动，当N点运动到B点时，点M和点N同时停止运动，连接MN，求当点M和点N运动了x秒时，点N到AD的距离.

    题目解析：第（1）问根据勾股定理和三角函数公式容易得出答案，本题的难点是第（2）问，动点问题比较灵活，不同学生的解题思路往往可能不同，教师展示了学生的多种解法，通过不同的解法呈现不同的思维过程，以通过解法的多元化培养思维的灵活性和多样性，促能力提升.

    解法1 ：如图2，过点N作NE⊥AD交AD于点E，作NF⊥DC交DC的延长线于点F，则NE=DF.

    因为∠ACD=60°，∠ACB=45°，所以∠NCF=75°，所以∠FNC=15°. 所以sin15°= ，又NC=x，所以FC= x，NE=DF= x+2 ，所以点N到AD的距离为 x+2 cm.

    解法2：如图3，过点N作NE⊥AD交AD于点E，作CH⊥NE交NE于点H. 其解题过程与解法1相同.

    解法3：如图4，过点N作NE⊥AD交AD于点E，延长NC，AD交于点G.

    因为∠CAD=30°，∠BAC=45°，所以∠BAG=75°，∠G=15°，所以sin15°= ，所以CG= ，所以NG= +x.

    在Rt△NEG中，sin15°= ，所以NE= x+2 ，所以点N到AD的距离为 x+2 cm.

    当然，解本题还可以应用其他方法，如图4，还可以利用△NEG与△CDG相似，根据其相似比进行求解. 通过一题多解不仅消除了学生在解决动点问题时产生的畏难情绪，也成功地调动了学生参与的积极性，课堂气氛活跃. 相同的解题思路不同的辅助线;相同的图形不同的思考方向，多角度观察，多方位思考，通过展现学生的思维过程不仅发散了学生的思维，也拓宽了学生的视野，其有利于提升学生的解题能力.

    在探索中成长

    探究是自主学习、独立思考的开始，通过探究可以更加深入地了解问题的本质，进而将知识转化为能力，从而实现学习能力的提升.

    案例3? 现有两个边长为a，面积为S的正n边形，将两个正n边形进行叠合，重叠部分的中心角为 ，那么此时两多边形重叠部分的边长是多少，面积又是多少呢？

    题目分析：此题没有指明多边形的边数，也没有给出图形，其中心角概念也未明确，因此，若想理清问题的来龙去脉需要进行探究，然而因不确定因素较多，学生感觉束手无策，探究的激情难以被激发，为此教师将题目进行了改编，以提高学生参与的热情.

    如图5，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是两个大小相同的正四边形，连接AC和BD交于点O，将四边形A′B′C′D′的顶点D′与点O重合，若四边形A′B′C′D′绕O点旋转.

    （1）此时重叠部分的中心角为多少度？

    （2）AE和BF，OE和OF，△AOE和△BOF是否存在什么关系呢？

    （3）S四边形OEBF 与S 有什么关系呢？

    （4）BE+BF的长度是否可求呢？值会如何变化呢？

    （5）重叠部分的面积是否可求呢？其值是否会随着A′B′C′D′旋转位置的变化而变化呢？

    通过对题目的改编，将抽象的问题拆分成了若干思路清晰、符合学生最近发展区的小问题，学生探究的热情被激发出来了，通过探究可以发现重叠部分的中心角为90°，即 （n=4）;通过对下面问题的探究，学生得到了AE=BF，OE=OF，进而推导出△AOE与△BOF全等，同时也发现了S四边形OEBF 与S 的相等关系，因此可以得出重叠部分的面积为四边形ABCD面积的四分之一，那么该结论是否也适合其他图形呢？为了引导学生发现一般规律，教师继续进行引导.

    （6）如图6，设点O是边长为1的正方形的中心，现将一个圆心角为90°，半径大于1的扇形绕点O旋转，你会有什么发现呢？是否也可以得到上面的结论呢？

    问题（6）给出后，教师让学生进行分组交流，因有上面问题的铺垫，学生轻松地得出了与上面相同的结论.

    （7）如图7，设点O是边长为a的正三角形ABC的中心，△ABC的面积为S，现将一个圆心角为120°，半径大于a的扇形绕O点旋转，你又有什么发现呢？

    通过探究学生发现虽然形状发生了变化，然而其重合部分的线段CE+CD依然为多边形的边长，即a，其面积为 . 接下来，教师又引导学生自己尝试用其他多边形继续进行探究，学生又验证了五边形和六边形并得出了相同的结论.

    在教师的引导下，学生通过猜想经历了从特殊到一般的验证，从而得出了若圆心角为 时，则边重合的长度为定值，即多边形的边长，其面积为 . 就这样通过不断地类比、假设、推理，让学生在解决好最近发展区问题后，进行对一般问题的探究，从而总结出了一般规律. 在探究实践中需要教师的点拨与引导，也需要合作交流，更需要学生不畏艰难的精神，只有通过不断尝试、不断思考、不断总结才能勇攀高峰.

    在反思中结“果”

    任何探究结论的得出不仅需要探索，更需要总结和反思，只有经过反思才能将成功的经验进行有效总结从而形成解题方法，只有经过反思才能将错误再认识，从而走出思维的误区，实现新的突破.

    例如，在案例3中，教师通过问题的改编引导学生探究，若不引导学生反思，学生很难发现教师改编的意图，也就很难进行下面对正三角形和正五边形的探究，也就无法理解为什么将原来旋转的正方形转化为扇形，也就很难理解何为类比、何为转化、何为特殊到一般. 因此，在教学中，要多给學生一点时间进行自我反思和总结，鼓励其进行多角度、全方位的思考，进而充分发挥反思的力量，实现知识的再构造，使学生的认知更加完善和系统，从而提升学生自主解决问题的能力.

    总之，提升学生的学习能力需要问题的引导，借助小坡度的问题引导学生多角度观察、全方位思考，从而在问题的探究中形成良好的思维习惯和解题习惯.