在数学活动中发展学生的建模能力

    帅建卓

    [摘? 要] 高中阶段的数学核心素养也是当前小学、初中阶段数学教学的方向标. 数学核心素养对理解和深化数学学科本质、设计具体教学活动，以及开展多元评价都有着特殊的意义. 在数学活动中，发展学生的建模能力，是发展核心素养的具体操作方式，具有一定的探索和研究价值.

    [关键词] 核心素养;数学建模;数学活动

    普通高中数学课程标准（2017年版）提出了数学核心素养的6个要素：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析[1]. 高中阶段的数学核心素养也应得到初中、小学教师的关注. 因此，初中一线教师在平时的教学中，也应当致力于发展学生的学科核心素养及关键能力，并以此真正更新自身的教学观念，指导具体的教学活动设计. 本文通过在教学的不同阶段设计相应的数学活动，尝试增强学生的数学建模意识，培养和发展学生的数学建模能力，以期探索并寻找提升学生数学核心素养的一般途径.

    对数学建模的理解

    数学建模的一般过程：实际问题→数学问题→提出假设→建立模型→求解模型→讨论验证[2] . 数学建模既是思想也是方法，在平时的教学中，我们应该不断渗透应用数学模型解决问题的意识和观念，同时反复训练各种数学模型的具体思考方向和操作方法. 这样的渗透与训练往往是一个长期的、有目的的、不断完善的过程. 而数学建模一般也伴随着其他知识和多种能力互动的过程，因此，这对于结构化数学知识，增强符号意识，更新数据分析观念，培养学生的运算能力、抽象能力、批判性思考能力、独立思考能力、合作交流能力，以及形成良好的学习习惯和态度都发挥着积极的作用.

    设计情境化数学活动，自主尝试数学建模

    数学建模是高中阶段数学课程标准提出的六大数学素养之一[1] ，初中数学教学亦应引起足够的重视. 建立数学模型的过程，也是一个将数学知识高度抽象的过程. 这里，就从方程模型说起. 方程，学生都会解，但是在适当的时候运用方程模型解决问题学生却往往想不到，所以需要将方程模型情境化，让学生在熟悉的情境中主动尝试建立方程模型，这样才有助于发展学生运用方程模型解题的能力，并内化为自身的一种素养.

    案例1 在七年级上册“从问题到方程”第一课时教学中设计篮球比赛数学活动.

    问题1：篮球联赛的规则规定，胜一场得2分，负一场得1分. 某篮球队赛了12场，共得20分. 题中哪些量之间有关系？

    学生先独立思考，再讨论交流. 在学生积极参与小组或全班交流与讨论的过程中，培养学生独立思考及合作探究的能力，鼓励学生大胆表达自己的观点，展示自己的思维过程，并用数学语言表达出来. 這是发展数学建模能力的基础，也是培养学生逻辑思维及数学表达能力的一个重要手段. 不难发现，胜、负场次之间有关系，胜、负得分之间也有关系. 教师板书：①胜的场次+负的场次=12，②胜场得分+负场得分=20. 提炼题目中的相等关系，是建立方程模型的关键. 七年级的学生，抽象能力还处于初级阶段，在教学活动中，教师应更多地鼓励学生大胆用语言描述实际问题中所蕴含的数学关系，且教师适当示范，引导学生从模仿开始，用更加简洁的语言或式子描述实际问题中的数量关系，以数学的眼光来审视实际问题.

    问题2：假设该篮球队胜x场，你能用更简洁的数学式子表示题中的其他量，以及量与量之间的关系吗？

    学生已经有了代数式的知识基础，能用字母代替未知的量，于是可以用（12-x）来表示负的场次，让学生感受胜、负场次之间的变化关系，这也是函数关系的萌芽. 教师可继续追问：那胜场得分与负场得分分别是多少呢？你能表示出来吗？再利用关系②胜场得分+负场得分=20，列出方程2x+（12-x）=20.

    问题3：能假设其他量为x，列出其他等式吗？

    进一步熟悉和强化前面建立方程模型的过程，可以假设负的场次为x，于是列出方程2（12-x）+x=20. 也可以假设胜场得分为x，于是列出方程 +（20-x）=12. 接着让学生比较，选出更优方案. 从不同角度以不同的相等关系列出不一样的方程，不仅能让学生体会方程是刻画现实问题的重要模型，还能培养学生思维的深度与广度.

    上述活动是一个情境化教学的范例，学生参与的是自主体验式学习，能让他们在深度参与的过程中切实感受到方程模型客观存在于现实生活中. 这种沉浸式学习，始终以问题和任务为主线，以发展学生数学建模能力为目标，能让学生真实参与知识的发生与发展过程，知道利用方程模型解决问题的一般方法，以及何时可以运用这样的模型. 这些不仅能让学生积累一定的活动经验，还能增强他们的符号意识，提升他们的运算能力.

    在知识交汇处设计数学活动，理解和运用数学建模

    数学建模能力的培养和形成不可能一蹴而就，必须结合不同的教学情境，系统、有针对性、循序渐进地进行渗透. 比如，方程模型的形成不能局限于“方程”这一章的教学，而应该在不同知识背景下呈现，这样才能检验学生是否真正掌握和理解了. 且只有通过不断的正面强化，才能将其内化为自身的一种能力和素养.

    案例2？摇 如图1，在平面直角坐标系中，A（-3，0），B（0，4）. 若x轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，请求出点C的坐标.

    解决这个问题首先需要分类讨论. 分别以∠BAC，∠ABC为顶角时，学生都能顺利解决. 在尝试解决以∠ACB为顶角时，学生能通过作AB的垂直平分线确定点C的位置（如图2），但求坐标却碰到了困难，感觉无从下手. 原因是，这是方程模型应用过程中常见的问题，背景不同，学生就难以准确选择合适的解题模型. 此时能体现模型思想在具体解题中的重要性. 抓住这一契机，可及时通过铺垫性问题加以引导——求坐标就是求线段的长度，求线段长度可以利用什么解题模型？把求坐标的问题转化为求线段OC的长之后，学生一般会尝试在Rt△OBC中利用勾股定理来解决，但发现OB，BC都未知，思维再次碰壁. 教师继续追问：勾股定理反映的是直角三角形三边之间的相等关系，于是可以据此建立方程模型，但方程中有两个未知量，没法求解，要想求出两个未知数，该怎么办？学生展开讨论，各种思维碰撞后产生了火花，普遍可以想到找出另一个相等关系的办法. 有了问题的驱动，学生的思维不断深入，于是不难发现CB=CA=OA+OC的相等关系. 此时终于拨开迷雾——这个问题既可以用方程组解决，也可以用第二个相等关系设未知量，再用第一个相等关系列方程求解. 待学生学过相似三角形之后，这个问题还可以利用相似三角形对应边成比例这一相等关系来列方程. 像这样的知识交汇点还有很多，如果教师能重视并利用好这些活动素材，必将有助于学生将数学模型的建立方式和应用意识内化为自身的一种素养.

    从数学核心素养最为本质的内涵来看，我们的教学应当教学生学会“数学地看待世界、发现问题、表述问题、分析问题、解决问题”. 通过分析上述案例可以发现，方程是初中阶段一种非常重要的解决实际问题的数学模型，若仅仅在讲授“方程”这一章时进行建模训练，必将导致不能及时有效地将其应用在新的情境中的尴尬局面. 因此，发展学生的数学建模能力必定是一个长期积累和完善的过程，而在知识的交汇处，不断地强化训练同一种模型，才更有助于将建立模型的意识以及具体操作方式融入学生的认知结构中，学生的知识迁移能力和数学建模能力也才能真正得到发展.

    在数学活动课中，发展和深化数学建模能力

    深化数学建模能力，就是一个结构化多种数学知识的过程. 从学生对实际问题的分析和解读，到所涉及的相关数学知识的概括、抽象，再到建立方程模型、求解验证解决问题，这一系列过程的每一个细节都与学生的能力密切相关. 而能力的培养亦蕴含在这样的数学活动过程之中，最终发展的就是数学学科素养.

    案例3？摇 九年级上册综合实践活动“矩形绿地中的花圃设计”.

    在一块长32 m、宽24 m的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗[3] ？

    活动伊始，学生都在设计图纸，更多地关注了设计中的对称性及美化效果. 绝大多数学生未能关注方案的合理性及严密性. 接着，教师提问：你能求出花圃的相关尺寸吗？（引导学生用数学的眼光看待这次数学设计活动）学生纷纷开始计算. 在接下来的活动中，笔者收集了学生几种主要的设计方案.

    方案一：在矩形绿地内设计正方形花圃. 学生很轻松地发现正方形的边长与面积之间具有相等关系，可以建立方程模型解决尺寸问题. 方案二：设计矩形花圃. 学生也试图用方程模型来解决，但发现矩形花圃的长和宽都是未知量时，很多学生难以继续完成，此时笔者鼓励学生用两个未知数来建立方程，于是有了方程xy=384. 学生开始众说纷纭：如果x=3，y=128;如果x=4，y=96……有学生开始反驳，绿地的长只有32，所以128和96都不行. 有了问题和任务的驱动，学生的思维逐步深入，学生想到要考虑取值范围. 又有学生说，y就是关于x的反比例函数，可以用函数图像去研究长、宽的取值.

    在这个师生、生生交往互动的过程中，学生不仅建立了方程模型、函数模型，还能用方程和函数的眼光去看待这次实践活动并解决问题.

    有了上面的活动经验，在解决方案三“设计圆形花圃”时，学生能顺利地完成. 在方案四“设计三角形花圃”时，学生也发现了设计图纸中不合理、不严谨的地方. 通过建立方程或函数模型，学生计算后发现，三角形的底和高必须分别等于矩形的长和宽，部分学生设计了不规则花圃或组合型花圃，利用现有的知识未能解决尺寸问题，但这绝不是本次活动的败笔，反而应该是一个数学活动中的亮点. 未能解决的问题恰是推动学生进一步研究和思考数学问题的内驱力. 在解决问题的过程中，学生不仅锻炼了分析问题、解决问题的能力，还锻炼了在解决问题过程中克服困难的意志和品质，以及追求真理的求学态度，同时培养了学生的批判性思维能力. 亲历这样的过程，不仅积累了重要的活动经验，更为重要的是学會了“数学地看待现实中的问题”，学会用数学的方法解决问题服务于生活，学会与自然和谐共生.

    反思我们的教学，我们该设计怎样的数学活动，才能帮助学生数学地看待问题、深刻地思考问题、灵活地应用数学模型解决问题呢？也许上文能提供一些帮助. 最后，引用郑毓信教授的一句话：“我们并非是用眼睛在看，而是用头脑在看 ！[4]”

    参考文献：

    [1]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

    [2]许道新. 实施五个“立足”策略? 培养学生数学建模能力[J]. 新课程研究（下旬刊），2009（03）.

    [3]杨裕前，董林伟. 义务教育教科书·数学（九年级上册）[M]. 南京：江苏凤凰科学技术出版社，2013.

    [4]郑毓信. 聚焦“数学核心素养”——“学科视角下的核心素养与整合课程”系列之三[J]. 小学数学教师，2016（03）.