| 标题 | 构造斜率的解题应用 |
| 范文 | 朱帅 【摘要】 近几年全国卷和大多数省高考卷中，有关数形结合的问题占的比例很大，灵活运用数形结合能起到事半功倍的效果.而构造斜率是数形结合中应用非常广泛的一类.尤其是压轴题，往往考查导数的应用，而其中又常常涉及求参数的取值范围，如果需要分类讨论，就会让很多学生觉得无从下手，如果能将这类问题转化为求斜率的取值范围，借助图形会减少许多思维过程和计算过程，达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果. 【关键词】 构造;分式;斜率 一、构造斜率在数列中的应用 例1?? 在等差数列{an}中，已知S10=100，S100=10，求S110. 分析? 等差数列前n项和公式Sn=An2+Bn，则 Sn n =An+B可以看作关于n的一次函数. 解? ∵数列{an}是等差数列，Sn=An2+Bn，∴ Sn n =An+B，数列? Sn n? 是等差数列，点A 10， S10 10? ，B 100， S100 100? ，C 110， S110 110? 在同一直线上，由kAB=kAC， 得? S100 100 - S10 10? 100-10 =? S110 110 - S10 10? 110-10 ，∴? 10 100 - 100 10? 100-10 =? S110 110 - 100 10? 110-10 ，求得S110=-110. 点评? 本题关键是善于将Sn转化为 Sn n =An+B，得到关于n的一次函數，渗透了转化与化归思想，培养了学生创造性的思维能力. 二、构造斜率在求值域中的应用 例2?? 求函数y= sinθ-1 cosθ-2 的值域. 分析? 我们可以把 sinθ-1 cosθ-2 看作点P（cosθ，sinθ）与点Q（2，1）两点连线的斜率. 解?? sinθ-1 cosθ-2 可看作点P（cosθ，sinθ）与点Q（2，1）两点连线的斜率，且点P在圆x2+y2=1上运动，过定点A作圆的两条切线AP1，AP2，则AP1斜率最小，最小值为0，AP2斜率最大，设AP2斜率为k，则直线AP2的方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0，直线AP2与圆x2+y2=1相切，圆心O（0，0）到直线AP2的距离d= |2k-1|? 1+k2? =1，求得k=0或k= 4 3 ，所以函数的值域为 0， 4 3? . 点评? 本题关键是观察分式 sinθ-1 cosθ-2 的特点，发现分式可看作点P（cosθ，sinθ）与点Q（2，1）两点连线的斜率，且点P在圆x2+y2=1上运动，从而把代数问题转化为直观图形问题，简化了计算，通过求圆的切线斜率解决问题. 三、构造斜率在不等式中的应用 例3?? 已知a，b，m都是正数，并且a<b，求证： a+m b+m > a b . 分析? 对问题我们可以把 a+m b+m 看成是经过P（b，a），Q（-m，-m）两点的直线的斜率.即kPQ= a+m b+m ，把 a b 看成是经过点P（b，a），O（0，0）两点的直线的斜率.即kPO= a-0 b-0 = a b .（如图所示） 证明? 如图所示，∵0<a<b， ∴点P（b，a）在第一象限， 且必在直线y=x的下方. 又因为m>0，所以点Q（-m，-m）在第三象限且必在直线y=x上，连接OP，PQ，则直线OP的斜率为 a b ，直线PQ的斜率为 a+m b+m .因为直线PQ的倾斜角大于直线OP的倾斜角，所以 a+m b+m > a b . 点评? 构造斜率模型解决代数问题的关键在于挖掘并抽象出代数表达式的斜率意义，本题中的分式形式使得斜率模型的建立具备了“先天”的优势. 例4?? 若a= ln2 2 ，b= ln3 3 ，c= ln5 5 ，则（? ）. A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 解? 因为 lnx x = lnx-0 x-0 ，表示函数y=lnx的图像上的点（x，y）与坐标原点O连线的斜率，如图所示，则a=kOA，b=kOB，c=kOC，由图像可知：kOC<kOA<kOB，即c<a<b，故选C. 点评? 本题的关键是观察三个分式的特点，发现a，b，c可以作为函数y= lnx x 在x=2，x=3，x=5三点的函数值，即三条直线OA，OB，OC的斜率.也可以考查函数y= lnx x 的单调性，即利用它的导数来严格求解，但对于选择题、填空题，用数形结合的思想将问题转化为过曲线y=lnx上的点与原点的直线的斜率，问题便可直观、简捷地解出，但图形须相对准确. 构造斜率只是解决恒成立问题中求参数的取值范围的一种方法，并非适用于所有的问题，但是如果条件适合，构造斜率往往能让我们变抽象为直观，减少分类讨论的麻烦，甚至简化许多烦琐的计算，达到事半功倍的效果. 【参考文献】 [1]胡小平，章敏.构造法解数学题的功能研究[J].中学数学教学参考，2015（3x）：46-47. [2]刘有良.构造解析几何模型解代数问题[J].数学教学通讯，2002（s）：50-51. |
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