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重标极差分析法的研究

范文

于海燕

【摘要】? R S 分析法即重标极差分析法，是H.E.Hurst在1951年通过大量实证实验的基础上提出的一种通过时间序列来呈现出的统计检验方法.为了使这个度量能够在时间上标准化，Hurst通过用观测值的极差除以标准差来建立一个无量纲的比率，发现大多数自然系统都不遵循随机游走，而是遵循着一种“有偏的随机游走”，其发生机会在一个方向或者某些方向上有偏的，而且整个过程近似一个循环.在 R S 分析法中应用到了最小二乘法，最小二乘法线性拟合出的回归直线方程中的斜率就是H，即Hurst指数，最后得出相关结论，通过应用 R S 分析法的实证分析过程，可进一步为其他理论提供理论基础.

【关键词】? R S 分析法;最小二乘法;Hurst指数

一、运用 R S 分析法的具体步骤

第一步：对长度为M的时间序列，将此时间序列划分为m个不重叠的，长度为n的子区间，记为A1，A2，A3，…，Am，并记区间Ai（i=1，2，…m）中第k个元素为ak，i，k=1，2，…n，即Ai={a1，i，a2，i，…，an，i}共n个元素.

第二步：对长度为n的子区间Ai，记其样本均值为ai = 1 n ∑ n k=1 ak，i.

第三步：对长度为n的子区间Ai，记其标准差为SAi=? 1 n ∑ n k=1 （ak，i-ai ）2 .

第四步：对长度为n的子区间Ai，记其累积离差为Xj，i=∑ j k=1 （ak，i-ai ）（j=1，2，…，n）.

第五步：对长度为n的子区间Ai，记其极差为RAi=max（Xj，i）-min（Xj，i）.

第六步：对长度为n的子区间Ai，记其重标度极差为 RAi SAi .

第七步：m个区间的平均重标度极差为? R S? n= 1 m ∑ m k=1?? RAi SAi? .

第八步：改变n的取值，重复一到六步的操作，得到多个? R S? n的数值，当n无限大时，有? R S? n=cnH，对? R S? n=cnH两端取对数得ln? R S? n=lnc+Hlnn.

第九步：画出ln? R S? n关于lnn的图像，拟合直线的斜率估计值即为Hurst指数.

二、最小二乘法

设实验中的数据是x=x1，x2，…，xn，y=y1，y2，…，yn.在研究x与y的关系时，在直角坐标系中描出所有点（xi，yi），设这些点的回归直线方程为yi=kxi+b，令这些点与回归直线的接近程度最小，即η=∑ n i=1 （yi-kxi-b）2取最小值.令该式对k和b求导，并令该偏导数等于0，可得如下等式：

可解得其中k和b的值为：

k= n∑ n i=1 xiyi-∑ n i=1 xi∑ n i=1 yi 2 ，

b= ∑ n i=1 yi-k∑ n i=1 xi n ，

进而求出其回归直线的方程.

三、Hurst指数、分形维数D、相关性度量指标C的特征

在计量经济学中相关性度量指标C、Hurst指数、分形维数D之间有如下关系：C=22H-1-1;D=2-H;H为Hurst指数.

由以上关系可知：

H=0.5，则C=0，即该时间序列是相互独立随机游走的，增量之间是不相关的.也就是说此时发生的事件对未来没有丝毫影响.

0.50，即该时间序列是非随机游走的，并且是非独立的，现在发生的事件对未来有影响.若某一时间段内增量增加，那么未来的增量是增加的;反之，若某一时间段内增量下降，那么未来的增量是下降的.即该时间序列具有持久性，并且C值越趋近于1，该时间序列持久性越强;C值越趋近于0，该时间序列趋势越不稳定，噪声也就随之变大.

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