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求解极坐标与参数方程题目的三种策略

范文

吴爱国张继莲

【摘要】本文从一道典型例题出发，给出从参数方程，直角坐标方程，极坐标方程三个角度探讨极坐标与参数方程问题的具体解题策略，希望对读者有所启发.

【关键词】例题;极坐标;解题策略

例题? 已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x=1+t，y=2-2t （t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程.

（2）若点P的坐标为（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值.

解? （1）直线l的普通方程为2x+y-4=0，曲线C的直角坐标方程为y2=8x.

关于问题（2），下面我们从三个角度分析.

策略（一）? 参数方程

方法（1）直线参数方程的标准形式（利用直线参数的几何意义）

解? 由题意，易得直线参数方程的标准形式：

x=1-? 5? 5 u，y=2+ 2 5? 5 u （u为参数）.

将其代入y2=8x并整理得u2+4 5 u-5=0，

设点A，B对应的参数为u1，u2，则 u1+u2=-4 5 ，u1u2=-5，

所以|PA|+|PB|=|u1|+|u2|=|u1-u2|=10.

【另解】 u2+4 5 u-5=0得u1=-2 5 +5，u2=-2 5 - 5，所以|PA|+|PB|=|u1|+|u2|=10.

评注：此时|u1|，|u2|等于|PA|，|PB|.

方法（2）直线参数方程的一般形式（直线参数无明显几何意义）

解? 将代入并整理得设点A，B对应的参数为t1，t2，则 t1+t2=4，t1t2=-1，? A（1+t1，2-2t1），B（1+t2，2-2t2），

所以|PA|+|PB|=|AB|=10.

方法（3）抛物线参数方程

解? y2=8x的参数方程为 x=8m2，y=8m? （m为参数），将其与2x+y-4=0联立，得4m2+2m-1=0，设点A，B对应的参数为m1，m2，则A（8m21，8m1），B（8m22，8m2），所以|PA|+|PB|=|AB|= （8m22-8m21）2+（8m2-8m1）2 =10.

策略（二）? 直角坐标方程

方法（4）弦长公式

解? 联立 2x+y-4=0，y2=8x，? 消去y，得x2-6x+4=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=6，x1x2=4.

由弦长公式AB= （1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2] ，

易得|PA|+|PB|=|AB|=10.

方法（5）两点间距离公式

解? 联立 2x+y-4=0，y2=8x，

易得A（3- 5 ，2 5 -2），B（3+ 5 ，-2 5 -2）.

由两点间距离公式，得|PA|+|PB|=|AB|=10.

【另解1】AB =（2 5 ，-4 5 ），得|AB |=10，

所以|PA|+|PB|=|AB|=10.

【另解2】P（1，2），得|PA|= 45-20 5? ，|PB|= 45+20 5? ，所以（|PA|+|PB|）2=100，

所以|PA|+|PB|=10.

方法（6）抛物线焦点弦公式

解? y2=8x的焦点F（2，0）显然在2x+y-4=0上，

联立 2x+y-4=0，y2=8x，? 消去y，得x2-6x+4=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，

所以|PA|+|PB|=|AB|=|FA|+|FB|=x1+x2=10.

【另解】记l的倾斜角为α，易知tanα=-2，

则sinα= 2 5? 5 .

所以|PA|+|PB|=|FA|+|FB|=|AB|= 2p sin2α =10.

策略（三）? 极坐标方程

方法（7）极坐标与直角坐标的互化

解? 2x+y-4=0的极坐标方程为

2ρcosθ+ρsinθ-4=0，

联立 2ρcosθ+ρsinθ-4=0，ρsin2θ=8cosθ，? 解得 ρcosθ=3- 5 ，ρsinθ=2 5 -2

或 ρcosθ=3+ 5 ，ρsinθ=-2 5 -2，

A（3- 5 ，2 5 -2），B（3+ 5 ，-2 5 -2）.

由两点间距离公式，得|PA|+|PB|=|AB|=10.

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