| 标题 | 初等变换概述 |
| 范文 | 于莉琦 高恒嵩 【摘要】初等变换是线性代数中最重要的概念，同时也是线性代数中解决问题最重要的方法.本文总结了初等变化在行列式，矩阵和线性方程组中的概念和联系，并通过实例介绍了初等变换的应用. 【关鍵词】初等变换;行列式;矩阵;线性方程组 【基金项目】黑龙江省高等教育教学改革项目（SJGY20170311）. 初等变换是线性代数课程中最重要的概念和方法.初等变换具体包括行列式的初等变换，矩阵的初等变换和方程组的初等变换，在不同问题中初等变换的使用既有区别又有联系.本文将分别从行列式的计算，矩阵问题的研究和线性方程的求解中引入初等变换的概念，认识它们的区别和联系.最后通过一些具体问题来展示初等变换在实际问题中的广泛应用. 一、初等变换的概念 （一）行列式的初等变换 定义1：下列操作称为行列式的初等行变换： （1）交换行列式的某两行; （2）将行列式的某一行所有元素乘一个非零数k; （3）把行列式的某一行的所有元素同乘一个数k并加到另外一行的对应元素中去. 类似的，可以定义行列式的初等列变换.行变换和列变换统称为行列式的初等变换. 定理1：n阶行列式D≠0，行列式D经初等变换后得到行列式D′，则D′≠0;若行列式等于零，经初等变换后得到的行列式仍然为零. 结合行列式的性质很容易证明该结论，该定理表明行列式的初等变换不改变行列式是否为零的事实. （二）矩阵的初等变换[2] 定义2：矩阵的初等行变换是指下列三种操作： （1）交换矩阵的某两行; （2）将矩阵的某一行所有元素乘一个非零数k; （3）把矩阵的某一行的所有元素同乘一个数k并加到另外一行的对应元素中去. 类似的，可以定义矩阵的初等列变换.初等行变换和初等列变换统称为初等变换. 可以证明，任意矩阵经过初等行变换后都可以变成行阶梯矩阵，进而化矩阵为行最简矩阵. 定理2：若n阶矩阵A可逆，则经初等变换后所得到的矩阵亦可逆. 证明：若n阶矩阵A可逆，则|A|≠0，由定理1，初等变换不改行列式是否为零的事实，故经过初等变换后的矩阵的行列式不等于零，即可逆的矩阵经过初等变换后仍然可逆. （三）线性方程组的初等变换 采用消元法解线性方程组实际上就是反复对方程组中的方程做下面三种操作，这三种操作称为线性方程组的初等变换. 定义3：下列变换称为方程组的初等变换： （1）交换两个方程的位置; （2）用一个非零的数乘某一个方程; （3）将一个方程的倍数加到另外一个方程中. 显然，方程组的初等变换不改变方程组的解. 将线性方程组与方程的增广矩阵一一对应，上述方程组的初等变换就是对增广矩阵进行相应的初等行变换，任意线性方程组都可以经过初等行变换得到与之同解的阶梯型方程组.这对判断方程是否有解以及求解线性方程组都是至关重要的. 综上所述，行列式、矩阵和线性方程组的初等变换都是三种操作，在行列式的计算中初等行变换和列变换的作用是一样的，矩阵的相应计算中行变换和列变换使用的形式有所不同，线性方程组的求解只能进行初等行变换，以保证变换前后方程组是同解方程组. 二、初等变换的应用举例 （一）利用初等变换求过渡矩阵 设V为n维线性空间，α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βn为V的两组基，令β1在α1，α2，…，αn下的坐标为T1，β2在α1，α2，…，αn下的坐标为T2，…，βn在α1，α2，…，αn下的坐标为Tn，则称T=（T1，T2，…，Tn）为从α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵. 利用初等变换解方程的方法，我们可以计算出任意两组基下的过渡矩阵. （二）利用初等变换求二次型的标准形 将二次型化为标准形可以通过配方法或正交变换来求得，但是过程很麻烦，注意到可逆矩阵可以表示为初等矩阵的乘积，而初等矩阵的转置仍为初等矩阵，且 P（i，j）T=P（i，j），P（i（c））T=P（i（c）），P（i，j（c））T=P（j，i（c））， 分析PTAP与A的关系得： （1）若P=P（i，j），PTAP表示先将A第i，j行互换，然后再将得到矩阵的第i，j列互换; （2）若P=P（i（c）），PTAP表示先将A第i行乘c，然后再将得到矩阵的第i列乘c; （3）若P=P（i，j（c）），PTAP表示先将A第i行加上第j行的c倍，然后再将得到矩阵的第i列加上第j列的c倍. 综合上述分析，将A进行一次初等行变换，将其结果进行一次相应的列变换，如此进行下去，直至将其对角化，即 （A|In）行变换，I变进行相应的列变化，I不变（D|P）， 其中D为对角矩阵. 【参考文献】 [1]张禾瑞，郝炳新.高等代数（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2004. [2]同济大学应用数学系.线性代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003. [3]许以超.线性代数与矩阵论[M].北京：高等教育出版社，1992. [4]王晓静，崔景安，张艳.初等变换法在解线性矩阵方程中的应用[J].高师理科学刊，2017（8）：24-27. |
| 随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。