| 标题 | 运用函数思想解决数学问题 |
| 范文 | 吴思明 函数是高中数学最重要的概念之一，函数概念的出现，是人类思维从静飞跃到动的必然.变量的观点是函数的基础，对应关系是函数的本质.函数思想是数学思想的重要组成部分，在高中数学中起到横向联系和纽带联结的主干作用.函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括.构造函数是函数思想的重要体现，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更加有效地解决问题.运用函数思想解决数学问题要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质. 纵观高中的数学学习，如果我们能立足于函数的观点来处理数学问题，便能深剖其本质，善于发现其内在联系，并建立起良好的知识结构.函数的思想一旦为我们所掌握并灵活地运用它，使各方面知识相互渗透，解题时，思路将大大开阔，方法将更加灵活.下面简单介绍一下运用函数思想来解决方程、不等式、参数的取值范围等数学问题. 一、函數与最值问题 例3设z∈C，且满足|z-（2+3i）|+|z-（2-3i）|=4，求d=|z|的最大值和最小值. 解设z=x+yi（x，y∈R）， 则由|z-（2+3i）|+|z-（2-3i）|=4， 得到（x-2）2+y24=1，∴y2=4[1-（x-2）2]. ∴d2=x2+y2=x2+4[1-（x-2）2]=-3x-832+283. ∵-1≤x-2≤1，即1≤x≤3. 于是，问题转化为求d2=f（x）在闭区间[1，3]上的最值问题.不难看出. 当z=1时，dmin=1；当x=83，y=±253， 即z=83±253i时，dmax=2213. 解题分析：此题的解题关键是借助复数的代数形式设法转化为关于复数z的实部x的二次函数来解决. 例4已知抛物线y=（x+1）2，直线y=x-1，求抛物线上的点到直线的最短距离. 解设（x0，y0）是抛物线上任意一点，它到直线y=x-1的距离为d. d=|x0-y0-1|1+1，又∵y0=（x0+1）2代入，得 d=|x0-（x0+1）2-1|2=|x20+x0+2|2. 令m=x20+x0+2，据此抛物线的形状，开口向上，Δ<0， ∴m恒为正，∴d=x20+x0+22， ∴问题转化为求二次函数y=x20+x0+2的最小值为74. ∴dmin=742=728. 解题方法：求最大值、最小值问题关键是把握好函数关系，通过构造函数，使例题中条件与结论间的内在联系充分暴露，并借助于函数（例如二次函数）图像，利用其性质，通过数形结合来启发学生的解题思路，使问题迎刃而解. 二、构造函数比较大小 例5比较log0.35与log0.34的大小. 解log0.35与log0.34可以看作对数函数y=log0.3x，当自变量x取5和4时，分别对应的函数值，根据0<0.3<1，根据对数函数y=log0.3x在（0，+∞）上是减函数的性质，得出log0.35 例6log20.3，20.3，0.32这三个数间的大小顺序是（）. A.0.32<20.3 B.log20.3<0.32<20.3 C.0.32<20.3 D.0.32 解在同一坐标系中，画出y=2x，y=0.3x，y=log2x的图像， 并找出yA=20.3，yB=0.32，yC=log20.3. 观察图像知log20.3<0.32<20.3，故选B. 解题关键：根据需要分别构造幂、指、对函数，根据函数图像的单调性进行比较大小，此类题常与不等式知识相结合. 三、方程与函数（解方程f（x）=0就是求函数f（x）的零点） 例7已知方程x2+2px+1=0有一根大于1，一根小于1，求p的范围. 解根据题意作二次函数y=x2+2px+1的草图，如图，当x=1时，y=1+2p+1=2p+2， 解题分析：方程与不等式，可看作是对函数值加的制约条件，满足这个条件的变量的值就是方程和不等式的解，从例题可以看出，有些题的已知条件和结论间似乎缺少必然的联系，如何设法跨越这道鸿沟，突破思维定式，关键通过寻找，建立函数关系作为辅助工具，化难为易，化繁为简，这就是将难点转化、寻求最佳方案的有效方法. 总之，在数学的学习中，应自觉运用函数的思想方法，对提高学生分析问题、解决问题的能力都有极大好处，有助于培养学生用运动、变化、联系的观点来解决问题的意识，增强学生对知识的横向联系，构造函数的思想就是利用知识的相关性将各部分知识融会贯通，相互转化.可见，在解题中掌握一定的思想方法是不容忽略的，应给予重视，它将使学生的创造力得到发展，思维的灵活性得到提高，长此训练下去，学生将受益终生. |
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