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标题 巧利用均值不等式求最值
范文

    刘鑫迪

    利用均值不等式求最值是历年高考的热点内容之一.均值不等式成立的条件可概括为“一正、二定、三相等”.当这些条件不完全具备时,需要通过巧妙变换,凑成“定和”或“定积”,从而使其具备相应的条件.下面谈谈常见的凑“定和”或“定积”的技巧,与大家共勉.

    技巧一:直接利用基本不等式求最值

    例1 (2014·山东理)若 ax6+ b x 4的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为 .

    解 将 ax2+ b x 6展开,得到Tr+1=Cr6a6-rbrx12-3r,令12-3r=3,得r=3.

    由C36a3b3=20,得ab=1,所以a2+b2≥2ab=2.

    技巧二:凑项法(和为定值或积为定值)

    例2 已知x>0,y>0,且满足3x+2y=12,求lgx+lgy的最大值.

    解 x,y>0,lgx+lgy=lg(xy)=lg 3x·2y 6 ≤lg 1 6 · 3x+2y 2 2 =lg 1 6 · 12 2 2 =lg6,

    当且仅当3x=2y,即x=2,y=3时,等号成立.

    所以lgx+lgy的最大值是lg6.

    例3 (2016·山东理稍作变动)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)= tanA cosB + tanB cosA ,且a+b=2c.求cosC的最小值.

    解 由a+b=2c得c= a+b 2 ,所以cosC= a2+b2-c2 2ab = a2+b2- a+b 2 2 2ab = 3 8 a b + b a - 1 4 ≥ 3 8 ×2- 1 4 = 1 2 ,

    当且仅当a=b时,等号成立.故cosC的最小值为 1 2 .

    技巧三:巧用“1”代换

    例4 (2015·福建文)若直线 x a + y b =1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于( )

    A.2

    B.3

    C.4

    D.5

    解 由题知 1 a + 1 b =1(a>0,b>0),

    ∴a+b= 1 a + 1 b (a+b)=2+ b a + a b ≥2+2 b a · a b =4,当且仅当 b a = a b ,即a=b=2时取等号,

    ∴a+b最小值是4,故选C.

    技巧四:利用函数单调性求最值

    例5 求函数y= x2+5 x2+4 的值域.

    解 令 x2+4 =t(t≥2),则y= x2+5 x2+4 = x2+4 + 1 x2+4 =t+ 1 t (t≥2).

    因为y=t+ 1 t 在区间[1,+∞)单调递增,所以在其子区间[2,+∞)为单调递增函数,故y≥ 5 2 .

    所以,所求函数的值域为 5 2 ,+∞ .

    技巧五:放缩后再解不等式

    例6 已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y= 1 ab 的最小值.

    解 由已知得30-ab=a+2b.

    ∵a+2b≥2 2ab ,∴30-ab≥2 2ab .

    令u= ab ,则u2+2 2 u-30≤0,-5 2 ≤u≤3 2 ,

    ∴ ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥ 1 18 .

    技巧六:换元法

    例7 求函数y= x+2 2x+5 的最大值.

    解 令 x+2 =t,t≥0,x=t2-2,则y= t 2t2+1 (t≥0),当t=0时,y=0;

    当t>0时,y= 1 2t+ 1 t ≤ 1 2 2t· 1 t = 2 4 ,

    当且仅当2t= 1 t ,即t= 2 2 时,取等号.

    所以x=- 3 2 时,y取最大值為 2 4 .

    技巧七:反复利用均值不等式

    例8 (2016·江苏理节选)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).设a=2,b= 1 2 .若对于任意x∈ R ,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值.

    解 由题意得22x+ 1 22x ≥m 2x+ 1 2x -6恒成立,

    令t=2x+ 1 2x ,则由2x>0,可得t≥2 2x× 1 2x =2,

    此时t2-2≥mt-6恒成立,即m≤ t2+4 t =t+ 4 t 恒成立.

    ∵t≥2时,t+ 4 t ≥2 t· 4 t =4,当且仅当t=2时等号成立,

    因此,实数m的最大值为4.

    总之,利用均值不等式求最值的方法多样,而且变化多端,只有掌握常见的变形技巧与常见题型的求解方法,并且加强训练、多思考,才能达到熟能生巧.

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更新时间:2025/3/10 21:29:20