| 标题 | 用函数思想解决面积的最值问题 |
| 范文 | 向兴河 【摘要】新课标要求学生通过义务教育阶段的数学学习，获得适应社会生活和进一步发展所必需的基本思想，而函数思想是各种数学思想最重要的思想之一，它是解决面积最值问题最主要、最有效的核心思想. 【关键词】自变量;取值范围;解析式;最值;三角形;四边形;扇形 《数学新课标（2011版）》要求学生能用适当的函数表示法刻画实际问题中变量之间的关系，能确定其自变量的取值范围，求出函数值，能结合对函数关系的分析，对变量的变化情况进行初步讨论.求几何图形面积的最值问题，正充分考查了学生用函数思想解决实际问题的能力.因为这类问题往往综合性较强，考查学生能力面较广，所以考查这类问题成了许多命题者的喜好. 用函数思想解决面积最值问题的步骤可归纳如下： 第一，确定自变量.这一步的关键是选定一个恰当的量作为自变量x，它可能是一条线段，也可能是一个角等.在这里，往往还需要用x去表示另一些与x相关的量. 第二，确定解析式.求表示面积的函数表达式时，有的采用直接法，即直接用面积公式求;有的采用间接法，即用面积的和或差求.这两种方法的选择，需要根据图形的特征决定. 第三，确定最值.这主要是在自变量的取值范围内根据函数的性质求面积的最值. 一、求三角形面积的最值问题 如图1所示，正方形ABCD的边长为1，E为AB边上一动点，且不与A，B重合，连接ED，过B点作BF∥DE交CD于点F，以CF为边作正方形CFMN，且点N在BC的延长线上，连接EM，DM，求△EDM面积的最小值. 分析 首先选取恰当的自变量.因为E是AB上的动点，所以可设BE为x.再分析△EDM的面积的求法.这时用三角形面积公式直接求显然不方便，所以选择间接法.不难发现S△EDM=S梯形EBCD+S梯形CNMD-S梯形BNME.而这些梯形的面积都可以用含x的代数式表示，所以S△EDM关于x的函数关系式就可以求出来，进而根据函数解析式就可以求出S△EDM的最小值. 简单解析如下： 设BE=x（0 所以S△EDM=12（x+1）×1+12（1+1-x）（1-x）-12（x+1-x）（1+1-x）=12x2-12x+12， 所以当x=12时，S△EDM最小，最小值为38. 二、求四边形面积的最值问题 如图2所示，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10.D是△ABC内部或BC边上的一个动点（不与B，C重合）.以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k>1），EF∥BC.若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值. 分析 这个问题的核心是抓住“四边形AGDH的面积最大”这个条件，从考虑这个四边形的面积入手.不难发现它是一个矩形，矩形的面积=长×宽，用直接法求面积比较合适.但有长与宽两个变量，所以关键是用其中一个量表示另一个量.不妨设AG=x，且0 三、求扇形面积的最值問题 半径为2 cm的⊙O与边长为2 cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上.以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（如图3所示），至边BC与OF重合时停止移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围. 分析 因为本题涉及的面积是扇形面积，所以应从扇形面积的求法入手，于是我们想到扇形的面积公式S扇形=nπr2360.在半径r一定的情况下，S扇形MON是关于n的一次函数，即S扇形MON=π90n，且S扇形MON随n的增大而增大.所以只需求出n的取值范围，而n的大小是由∠MON所对的弦MN的大小确定的.我们知道，当MN∥DC时，MN最小，它等于正方形的边长2，此时∠MON最小等于60°;当N与F重合或M与F重合时，MN最大，它等于正方形的对角线22，此时∠MON最大等于90°，所以60≤n≤90.然后根据一次函数的性质即可求出扇形面积的取值范围为23π≤S扇形MON≤π. 【参考文献】 [1]张焕焕.高中函数与方程思想方法学习现状与教学渗透策略研究[J].亚太教育，2016（6）：53. |
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