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一个最快到达方案问题

范文

姜红

一、问题呈现

甲、乙、丙三人要从A地沿同一路线到60千米外的B地，甲有一辆电动车，除了自己一次只能再搭载一个人.车速为30千米/时，人行走的速度为6千米/时.想要设计方案，使三人能尽快到达B地.现有如下两个方案：

1.甲先骑车送乙到B地，再返回A地接丙到B地;

2.甲先骑车送乙到离B地不远的某处，让乙下车步行前往B地，再折返A地接丙到B地;

3.丙步行往B地走，同时甲骑车送乙到离B地不远的某处，让乙下车步行前往B地，再折返接上步行前来的丙，三人同时到达B地.

二、问题分析

方案1、2中，因为没有让人与车进行充分同時行动，故必然不是最快到达方案;

方案3中，行走情况用线段图示意如下：（其中实线代表骑车，虚线代表步行），因此，关键在于何时把乙放下，让他步行到B地，同时甲回头，并在点E处遇到正在行走中的丙.

三、问题解决

依据原题题意，要求三人同时到达，故：

车走AC的时间+乙走BC的时间=丙走AE的时间+车走BE的时间

可设：BC=x千米，则AC=（60-x）千米.

方法1 因为从开始车和丙一直都在走，故

丙从A到B的时间=车走AC，CE，EB时间的和用含有x的代数式表示CE是问题的关键，

由于V车∶V人=30∶6=5∶1，

所以AD=15AC，CD=45AC，

在CD段丙与车相向而行，是相遇问题，

故CE=55+1CD=56CD=56×45AC=23AC=23（60-x），

故AC+CE+EB=（60-x）+23（60-x）+23（60-x）+x=60+43（60-x）=140-43x，

可列方程60-x30+x6=140-43x30，

解得x=15.

方法2 若要三人同时到达B地，则乙后走的CB段路程必须等于丙先走的AE段路程.

设BC=x千米，则AE=BC=x千米，CE=（60-2x）千米.

依据乙走CB的时间等于车走CE+EB的时间，可列方程如下：

x6=（60-2x）+（60-x）30，

解得x=15.

注意：此法，对车辆载人后速度发生变化时也一样适用.

方法3 若要三人最快到达，则应该三人都在行进，同时到达B地.

∵车走AC的时间+乙走BC的时间=丙走AE的时间+车走BE的时间，且车速、人行走的速度都不变，所以二者只是先后顺序不同，BC必等于AE.即只有乙、丙两人步行的路程和乘车的路程分别相等，两批人才能同时到达.而30÷6=5，即车速是步行速度的5倍，所以可得下图：

上图中，AC和AD段甲乘车、丙步行时间相同;CE和DE段甲、丙的时间也相同.所以，AC是AD的5倍，CE是DE的5倍.于是假设DE的长为y，那么CE为5y，CD=DE+CE=6y，而CD是AD的4倍，AD=6y÷4=1.5y，CB=AE=1.5y+y=2.5y.

由此，一共有1.5y+6y+2.5y=10y，点C所在的位置就是2.5y10y=14处，60的14是15，所以在离B地15千米处把甲放下来即可.

四、问题的一般化

假设车速是步行速度的k倍，依据以上方法3可得下图：

同样的方法可以得出：

CBAB=（k+1）yk-1+y（k+1）yk-1+（k+1）y+（k+1）yk-1+y=2k+3.

所以，对这种最快到达方案问题，若载人后车速发生变化，则可依据方法2列方程进行计算，若车速始终不变，只要计算2k+3的值，就可以知道该怎样设计方案了.

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