《基于Cobb-Douglas生产函数的动态最优投资策略》-管理学论文，管理论文-论文范文参考-科学狗论文网

标题

基于Cobb-Douglas生产函数的动态最优投资策略

范文

李梦辉李佳娱陈清华

摘? 要：企业是经济系统的核心，企业的再投资发展是经济可持续增长的源泉。假定在完全竞争商品市场和劳动力市场中，企业根据固定资本量决定劳动量的最优配置以再投资生产。投资目标是根据企业自身的生产函数，通过对资本投资的最优控制，以实现生产利润的现值最大化。文章证明了在Cobb-Douglas生产函数型企业的长期优化投资行为中，系统存在长期稳定均衡解，并且是鞍点，这说明长期优化稳定的控制是一个精细的过程。文章具体分析了在规模报酬递减、规模报酬递增和规模报酬不变三种情况下不同的动态投资策略，为实际优化再投资提供了理论支撑。

关键词：Cobb-Douglas生产函数;最优控制;规模收益;最优投资

中图分类号：F425? ? ?文献标识码：A

Dynamic Optimal Investment Strategy with a Cobb-Douglas Production Function

Li Menghui1? ?Li Jiayu1? ?Chen Qinghua2

（1.Beijing Institute of Science and Technology Information，Beijing，100044;2.School of Systems Science，Beijing Normal University，Beijing，100875）

Abstract：Enterprise plays a core role in economic systems and reinvestment is the source of sustainable development of the economy. Assume that the company is placed in a perfect competitive commodity and labor market. The optimal labor force is determined by the fixed capital of the company. The aim of the investment for the company is to maximize its profit basing on its own production function with an optimal control method. First，the existence of stable solution is proved in the investment process with a Cobb-Douglas production function. The solution is a saddle solution. This shows that the long-time optimal investment strategy is a subtle process. Then different dynamic optimal investment strategies are obtained when the production function is diminishing return to scale，increasing returns to scale and constant returns to scale. This offers a theoretical support for practical reinvestment.

Key words：Cobb-Douglas production function;Optimal control;Return to scale;Optimal investment

一、引言

2010年，中国占世界制造业产出的比例达到19.8%，超过美国的19.4%，打破了美国连续110年的垄断地位，成为新的世界头号生产国，“世界商品中国制造”的奇迹和中国企业的蓬勃发展是密不可分的[1]。2010—2019年，中国制造业迅速拉大了和美国的差距。如何促进企业的健康发展，特别是关系国计民生的大企业的发展是管理者非常重视的问题。统计表明世界上147个最大的企业控制着社会40%的财富，而将会有737个最大的企业控制80%的社会财富，它们的衰败甚至消亡无疑会伤害到一些国家甚至整个世界的福利和效用[2]。

相关宏观经济学和微观经济学研究表明，企业的合理投资是企业健康发展的最重要手段[3-6]。无论宏观经济还是微观经济，厂商都是重要部门和主要研究对象。在经济增长理论中，Harrod-Domar模型在凯恩斯理论的基础上解释了资本投资在企业生产和经济增长中的关键作用[7]。Solow模型在考慮资本和劳动力生产两种要素前提下构建了企业生产和经济增长模型[8]。从微观经济学上看，企业追求的就是利润最大化，在追求利润最大化的过程中，企业有自己的最优投资策略。一般来说，企业投资问题主要通过均衡法和加总法进行研究[9]。均衡法由Irving Fisher提出，通过建立消费者和企业的模型分析最优投资策略[10];加总法则通过建立企业投资与资本变化的模型以分析该类问题。早期的经典模型包括凯恩斯主义方法和新古典主义方法。凯恩斯通过分析资本的边际效率与利率的关系，得出投资率与利率的反比关系[11]。新古典主义的代表模型是Jorgenson模型，在资本和劳动力两种生产要素的作用下，讨论了一般生产函数形式下的企业动态投资问题[12]。

以上文献多采用静态分析或比较静态分析，但是在现实经济构成的复杂系统中，各经济变量间常具有复杂的非线性关系，系统的演化过程中存在诸如路径依赖等特性，整体的优化和局部的优化往往不一致，甚至大相径庭。这一问题涉及经济存量消耗、积累和跨时影响的模式，通常使用变分法或最优控制论的方法来分析这类问题[9，13]。2008年，黄学祥等人在先凸后凹的由资本量要素决定的生产函数形式下，分析了企业的动态投资策略，并与静态投资结果进行了比较，为生产投资问题提供了一种更可取的研究思路[14]。但由于他们的分析没有给出确定的函数形式，在实践上的指导意义有所欠缺。

Cobb-Douglas生产函数最初是美国数学家Clifford Cobb和经济学家Paul Douglas共同探讨投入和产出的关系时提出，是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究，以及国家经济发展、企业生产、运营优化中都具有重要的地位[15-19]。

二、模型建立

假设生产企业面临固定资本和劳动力两种要素共同决定产出的投资决策问题，经营者可根据已有的固定资本量来配置劳动力，以充分发挥资本的生产效用，追求收益最大化的企业将在最优劳动力的配置情况下生产。

假定商品市场和劳动力市场均为完全竞争市场，市场价格为固定值，劳动力成本也为固定值。企业的Cobb-Douglas生产函数具体形式可通过多种方法，由产出和投入数据估计得到，方法可参照王玉杰、张良等学者的研究[20-22]。在具体形式下，生产函数体现的信息被充分利用，可直接有助于生产决策。

假定时刻投入固定资本和劳动力的产出为

（1）

资本积累动态方程为

（2）

其中为资本的折旧率。投资为控制变量，投资成本存在边际递增的彭罗斯效应[23]。

（3）

由于企业根据资本量优化劳动力配置，则企业长期投资优化的目标函数为

（4）

其中为企业的贴现率。时刻企业收入为，劳动力的工资为，利润的贴现值即整个被积函数。优化实为在资本积累动态方程的限制条件下，实现企业的现值利润最大化的最优控制过程。

该最优控制的哈密顿量可表示为

（5）

其中共态变量表示资本对利润的边际贡献。为实现目标函数最大化需满足现值哈密顿正则方程组[24]。当劳动力配置最优时

（6）

进一步可得出最优劳动力配置时的劳动力边际产量为

（7）

由（1）（7）可得出劳动力关于资本量为

（8）

最优资本量应满足

（9）

最优资本对目标函数的边际贡献可表示为

（10）

由此可得出最优资本配置时的资本边际产出为

（11）

投资量应满足

（12）

由于，所以投资关于共态变量的反函数为递增函数，即。

在最优控制过程中，资本量的变化和共态变量的变化满足如下方程

（13）

方程的特征向量矩阵为

（14）

一般来说固定资本产出的弹性系数，求解特征根方程（15），并由判别式（16）和韦达定理（17）得出

（15）

（16）

（17）

即一定存在两异号特征根，所以均衡点为鞍点。

由公式（1）（8）（9）（10）可得

（18）

为简化表达式，不妨令

（19）

则当时表示规模报酬递减，时表示规模报酬不变，时表示规模报酬递增。不妨考虑投资成本为最简形式。由此现值哈密顿正则方程可表示为

（20）

三、不同规模报酬形式

（一）规模报酬递减

当企业的生产函数为规模报酬递减时，其最优控制相图如图1。

图1? 规模报酬递减情况下的相图

据图1可得到如下指导性投资建议：当企业生产处于状态Ⅰ时，应适度减小投资量，以达到均衡点;当企业生产处于状态Ⅲ时，应适度增大投资量，以达到均衡点;当企业生产处于状态Ⅱ和状态Ⅳ时，无法直接达到均衡点。由轨线图可看出，实现均衡的控制轨线是关于资本量的单调递减函数。

它表明企业资本量低于均衡点时，应在大于均衡投资量的策略下使资本量增加，并逐步减少投资量以达到均衡点。企业资本量高于均衡点时，应在小于均衡投资量的策略下使资本量减少，并逐步增加投资量以达到均衡点。

（二）规模报酬递增

当企业的生产函数为规模报酬递增时，其最优控制相图如图2。

图2? 规模报酬递增情况下的相图

据图2可得到如下指导性投资建议：当企业生产处于状态Ⅰ时，应适度增大投资量，以达到均衡点;当企业生产处于状态Ⅲ时，应适度减小投资量，以达到均衡点;当企业生产处于状态Ⅱ和状态Ⅳ時，无法直接达到均衡点。由轨线图可看出，实现均衡的控制轨线是关于资本量的单调递增函数。

它表明企业资本量低于均衡点时，应在小于均衡投资量的策略下使资本量增加，并逐步增加投资量以达到均衡点。企业资本量高于均衡点时，应在大于均衡投资量的策略下使资本量减少，并逐步减少投资量以达到均衡点。

（三）规模报酬不变

当企业的生产函数为规模报酬不变时，哈密顿正则方程为

（21）

在满足初始条件和横截条件

（22）

情况下，可求得最优控制的解析解为

（23）

据上可得到如下指导性投资建议：企业应维持固定的投资额，使资本量最终维持在的最优值。

当初始资本量小于最优值时，该投资策略将使得资本量逐渐增加至最优值;当初始资本量大于最优值时，该投资策略将使得资本量逐渐减小至最优值。

四、结论

笔者在生产函数为Cobb-Douglas生产函数的形式下，对企业的动态生产投资问题给出了一定的指导性建议。在生产函数为Cobb-Douglas生产函数的形式下，最优控制投资问题总是存在唯一的鞍点解。

在不同的规模报酬形式下，企业存在不同的最优投资策略。

（一）规模报酬递减：企业资本量低于均衡点时，应在大于均衡投资量的策略下使资本量增加，并逐步减少投资量以达到均衡点。企业资本量高于均衡点时，应在小于均衡投资量的策略下使资本量减少，并逐步增加投资量以达到均衡点。

（二）规模报酬递增：企业资本量低于均衡点时，应在小于均衡投资量的策略下使资本量增加，并逐步增加投资量以达到均衡点。企业资本量高于均衡点时，应在大于均衡投资量的策略下使资本量减少，并逐步减少投资量以达到均衡点。

（三）规模报酬不变：可以求得最优控制的解析解形式，企业应维持固定投资额，使资本量达到最优值。

参考文献：

[1]Morrison W M.Chinas economic rise：history，trends，challenges，and implications for the United?States[C].Library of Congress，Congressional Research Service，2013.

[2]Upbin B.The 147 companies that control everything[EB/OL].（2011-10-22）[2016-03-01].http：//www.?forbes.com/44sites/bruceupbin/2011/10/22/the-147-companies-that-control-everything.

[3]Pindyck R S，Rubinfeld D L.Microeconomics[M].New Jersey：Prentice-Hall，2001.

[4]Romer D.Advanced macroeconomics[M].New York：McGraw Hill，2001.

[5]Mankiw N G.Principles of macroeconomics[M].South-Western：Cengage Learning distributor，2012.

[6]Mankiw N G.Principles of microeconomics[M].South-Western：Cengage Learning distributor，2012.

[7]Harrod R F.An essay in dynamic theory[J].The Economic Journal，1939（193）：14.

[8]Solow R M.A contribution to the theory of economic growth[J].The Quarterly Journal of Economics，1956（1）：65-94.

[9]拉本德拉.现代公共经济学[M].王浦劬，方敏，译.北京：中国青年出版社，2004.

[10]Fisher I.The theory of interest[M].London：Macmillan，1930.

[11]Maynard K J.The general theory of employment，interest and money[M].New York：Harcourt Brace，1936.

[12]Jorgenson D W.Capital theory and investment behavior[J].The American Economic Review，1963（2）：??247-259.

[13]斯奈德，尼科尔森.微观经济理论：基本原理与扩展[M].朱幼为，等，译.北京：北京大学出版社，2008.

[14]黄学祥，张荣.凸-凹生产函数条件下的动态投资策略[J].系统工程理论与实践，2008（12）：19-29.

[15]张樨樨，陆世晴.经济新常态下高技术产业人力资本投资组合优化研究[J].山东大学学报（哲学社会科学版），?2015（03）：18-27.

[16]李经路，胡振飞.中国企业研发投入的宏观效应研究[J].管理现代化，2015，35（06）：25-27.

[17]张永安，闫瑾.技术创新政策对企业创新绩效影响研究 [J].科技進步与对策，2016（01）：108-113.

[18]郭克良，张子麟，蒙运芳.基于柯布-道格拉斯模型的人才贡献率研究 [J].学术论坛，2015（01）：55-59.

[19]杜明坚，张文松，吴海兵.中国与越南的经济改革比较分析[J].经济与管理研究，2015（12）：19-25.

[20]王玉杰，张大克.Cobb-Douglas生产函数经典参数估计模型的修正[J].哈尔滨工业大学学报，2004（11）：1575-1577.

[21]张良，窦春轶，时书丽.Cobb-Douglas生产函数的模糊分析[J].运筹与管理，2006（01）：58-61.

[22]张良.Cobb-Douglas生产函数的模糊分析[J].数学的实践与认识，2008（08）：73-76.

[23]Phelps E.The golden rule of accumulation：a fable for growthmen[J].American Economic Review，? ?1961（04）：638-643.

[24]蒋中一.动态最优化基础[M].王永宏，译.北京：商务印书馆，1999.

随便看

科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。