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当抽象的计算教学遇上几何直观

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王春琳

【摘要】谈到计算教学，总会想到“枯燥无味”这个词，学生看似不用教都会算，教师却经常教得筋疲力尽.当计算应用于生活实践，需变式应用计算时，计算错误率就会直线上升.如何在计算教学中，让学生轻松列式、理解算理、明确算法、灵活应用方法解决更多计算问题是当今面临改革的问题.在计算教学中，当计算教学遇上几何直观时，抽象的计算也会变得形象直观，可以做到：以形想式、以形明理、以形懂法、用形转化，计算教学变得丰富多彩，可以帮助学生真正理解计算，取到举一反三的效果.

【关键词】计算教学;几何直观;丰富多彩

谈到计算教学，总会想到“枯燥无味”这个词，学生看似不用教都会算，教师却经常教得筋疲力尽.同时，小学计算教学存在重算法轻算理的现象.很多教师认为，算理的教学过程麻烦，最终只要孩子们掌握算法就行了，所以就直接跳过算理教学直达算法教学.重算法、轻算理，导致学生只会依葫芦画瓢，不知其所以然.但是这样教学状况下的学生就不能灵活应用了，特别当计算应用于生活实践，需变式应用计算时，计算错误率就会直线上升.如何在计算教学中，让学生轻松列式、理解算理、明确算法、灵活应用方法解决更多计算问题，是当今教改下面临的问题之一.

《课程标准（2011）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.”小学生的思维以具体形象思维为主，几何直观能力是学好小学经验性几何知识的保证，是思考数学问题、发展数形结合思想的基础，是学生必备的一种基本数学素养.在计算教学中，当计算教学遇上几何直观时，抽象的计算也会变得形象直观，计算教学就会变得丰富多彩，可以帮助学生真正理解计算，取到举一反三的效果.

一、以形想式——几何直观帮助，明晰算式含义

计算最终的目的是解决生活中的问题，现有教材中的计算教学都在解决问题中进行.但有些题目比较抽象，学生无法正确地列出算式.如何把复杂的文字信息转化为直观的数量关系，让学生在直观的数量关系中找到列式方法？直观的事物、直观的图示都能帮助学生找到列式的方法.

如在三年级上册“倍的认识”一课中，求一个数是另一个数的几倍，是要求学生用算式表示两个数的倍数关系.例题情境中：“擦桌子的有12人，扫地的有4人，问擦桌子的人数是扫地的几倍？”学生根据生活经验不难找到答案.3倍是怎么算来的？怎么列算式，为什么这样列算式？这些是这节课的重点.根据图片可以直观地看出擦桌子的人数里有3个4人，直观地感知到就是求12里面有几个4的问题，从而把倍的问题转化成了除法问题，建立了倍与除法之间的关系.

再如，六年级下册的分数乘除法解决问题中，单位“1”变化及复杂的数量关系让学生无从下手，借助直观的线段图明晰数量之间的关系，并准确地找出数量间的对应关系，找到解决问题的方法就不难了.如，水果店原来有苹果若干千克，卖出35后，又运进了30千克，这时苹果的重量正好是原来重量的一半，水果店原来有苹果多少千克？如下图：从图中学生可以清晰地看出30千克所对应的分率即35-12，利用对应的量与对应分率之间的关系，可以列式为：30÷35-12.

这样通过直观的图将复杂的数量关系直观化，建立数与形之间的关系，让学生在理解数量之间的关系基础上找到解决问题的方法，并列出正确的算式，为顺利解决问题和计算做好准备.线段图使学生的视觉通过图示表征得到了显性化.空间视觉能力的图示表征能够加深对问题的理解，不管是线段图还是直观图，都可以很好地帮助学生理解题意，正彰显了几何直观的魅力，形使数更直观，解题更加有效.

二、以形明理——几何直观操作，理解算理

何为算理，顾名思义，算理就是计算过程的道理，是指计算过程的思维方法，是解决为什么这样算的问题.计算课教学的重点和难点是让学生理解算理，明晰算法.学生需要掌握算法，但更需要经历构建算法的过程，实现算理和算法的内在统一.著名的心理学家皮亚杰说：“儿童的思维从动作开始，切断动作和思维的联系，思维就不能发展.”可见人的思维与动作之间有着不可分割的联系，要想发展学生的计算思维，就要让学生在直观操作中理解算理，从而达到思维与知识技能双丰收.如何让学生理解抽象的计算道理？课堂教学可以借助几何直观操作启迪学生的思路，利用直观学具的操作帮助学生理解和接受抽象的内容和方法.

如，四年级下册的“小数加减法”这一课.学生根据购物生活经验，结合元、角、分的关系不难找到小数加减法计算的方法.但是当小数加减法脱离了元、角、分，对为什么要小数点对齐这一算理，不是每一名学生都能理解的.如何计算2.1+3.24=？，先让学生估一估答案大约等于几，估算可以帮助学生检验计算结果.不急着让学生正确计算，先让学生拿出准备好的学具（边长为10厘米的小正方形），利用小正方形表示出2.1和3.24这两个数.学生根据已学知识会把一个小正方形当作整体“1”，把这个正方形平均分成10分，其中的1份就是0.1，把这个正方形平均分成100份，其中的1份就是0.01.通过同桌合作，在小正方形上直观表示出了2.1和3.24两个小数（如下图）.这时再提出：“摆一摆，说一说如何将两个小数相加？”.学生通过摆学具明确：将2个整体“1”和3个整体“1”加在一起得到5个整体“1”.再将1个0.1和2个0.1加在一起得到3个0.1，还有4个0.01.最后算出结果是5.34.

这样的操作看似简单，但这样的直观操作却帮助学生理解了为什么2.1中的2与3.24中的3相加，2.1中的0.1與3.24中的0.2相加，3.24中的0.04只能加0的真正原因.因为相同大小的“形”才能直接相加，从而让学生直观地理解了为什么相同的计数单位的数才能直接相加减.学生还可从中发现，小数加减法中只要小数点对齐了，相同数位就对齐的特点，因此，推导出小数加减法中，首先做到小数点对齐，再相加减的算法，实现了算理和算法的统一.

三、以形懂法——几何直观表述，明确算法

“算法”指计算的基本程序和方法，即怎样算.算理是算法的基础，算法则是算理的抽象，因此，教学中要做到算理和算法并重，使理解算理和掌握算法相互作用、共同促进.在平时的教学中，发现重视了算理后，没有及时总结算法，练习中学生算法错误甚多，反思其中原因是教学完算理后，没有及时结合算理明晰算法.算理与算法之间的联系同样可以让学生积累丰富的几何表象，学生大脑中的表象越丰富，他们就越容易把一些抽象的问题转化为直观的表象，也容易从直观的表象抽象出本质特征.

如，教学三年级下册，两位数乘两位数，22×13，不少学生会出现下图（左图1）的错误算法，这是因为一方面，受加法计算方法的影响，相同数位对齐后直接相加转换成相同数位上的数直接相乘.另一个重要的原因是算理与算法没有联系起来，“理”明白了，“法”不会.如何讓算理与算法紧密地联系起来？借助几何直观的帮助学生架构“理”与“法”之间的桥梁.可以结合以下点子图，让学生说一说可以怎么算22×13.从图中学生能直观地看出，可以先算3个22，即3×22=66，再算10个22，即10×22=220，最后算220+66=286.

直观图与笔算的竖式相结合.再让学生说一说如何计算，学生结合直观图说出竖式中的每一步计算结果表示的含义，让学生用图形说话，用图形描述方法，用图形讨论方法，进一步构建算理与算法之间的联系，为形成生动表象并借以形成方法、发展规律.通过算理巩固算法，做到“理”与“法”并重，促进学生抽象思维的发展.

四、用形转化——几何直观演绎，转化方法

几何直观就是画图、看图、想数.几何直观与数之间有着密切的联系.有些计算如果按照传统的计算方法，会很麻烦.当计算转化为几何直观的图形时，将抽象的算式用图形直观表现出来，直观的表象会让你大吃一惊，原来如此简单.

如，计算12+14+18+116+132+164=，这样的异分母分数加减法，用常规的方法是先通分再相加，如果按常规方法计算会很烦琐.但是将这些加数用直观的图形表现出来时，思路却会峰回路转.通过以下直观图示发现：

把一张正方形纸的大小看作单位“1”，那么这样加下去最后只剩下“1”中的164没加上了，由此可以推导出12+14+18+116+132+164加法算式的答案与1-164减法算式答案是相同的.在此基础上，再次把加法算式拓展延伸12+14+18+116+132+164+1128+…=？学生已经从直观的图形中得到启发，找到了此类计算的方法，就是解决1-（最后一个加数）=的问题.通过几何直观将复杂的加法问题转化成简单的减法计算，这就是几何直观的魅力所在.

几何与数是两个不同的领域，几何的直观与数的抽象在计算教学中如此相遇，却能让学生从直观的图示中找到列式的方法，能从直观的操作中明晰计算的道理，掌握计算的方法，还能通过直观图与数相结合，转化计算的方法.几何直观让计算课教学变得更加丰富、有趣，让学生的空间思维得到发展，让数学更具有魅力.

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