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标题 《律吕新书》“小分”算法解析
范文 吕畅

摘要：南宋乐律学家蔡元定所著《律吕新书》在我国乐律学史上具有十分重要的地位。学界以往对《律吕新书》的研究集中于蔡元定十八律的结构及其应用，较少针对书中的律学运算原理进行专门探讨。特别是对《律吕新书》律学理论最为重要的发明之一“小分”算法，目前尚无专门研究。以此为研究对象，对《律吕新书》中3种“小分”算法的原理加以解析，并进而探讨其形成的内在原因。
关键词：《律吕新书》；小分；蔡元定；十八律
中图分类号：J609.2 文献标识码：A 文章编号：1004-2172（2016）04-0041-08
南宋乐律学家蔡元定所著《律吕新书》在我国乐律学史上具有十分重要的地位。朱载堉在《律吕精义》中曾对其高度评价：“先儒惟朱熹最知乐，其次则蔡元定，所论皆有理”“世之言律者，多宗蔡元定”。然而，学界以往对《律吕新书》的研究集中于蔡元定十八律的结构及其应用，较少针对书中的律学运算原理进行专门探讨。特别是对《律吕新书》律学理论最为重要的发明之一“小分”算法，除韩国学者南湘淑在《（律吕新书）的六十调与六变律研究》一文中略有涉及外，目前还未有对这一课题的专门研究。本文以此为研究对象，逐一解析书中3种“小分”算法的原理、应用方式，并进而探讨其形成的内在原因。
一、六变律的“小分”算法
设黄钟起始律律数为三的十一次方，即黄钟大数十七万七千一百四十七，以三分损益法生十一律，凡十一次上下相生，直至最后一次所生仲吕律数皆为整数。若自仲吕继续三分损益，其后所得各律便不能尽除。所以《律吕新书》上卷“十二律之实第四”云：
案，十二律之实，约以寸法，则黄钟、太簇得全寸；约以分法，则南吕、姑洗得全分；约以厘法，则应钟、蕤宾得全厘；约以毫法，则大吕、夷则得全毫；约以丝法，则夹钟、无射得全丝。至仲吕之实，十三万一千七十二以三分之不尽二算，其数不行。此律之所以止于十二也。
但是，蔡元定十八律需要在三分损益十二律后，还需继续上下相生六律，即所谓六变律。按照自《管子·地员》和《淮南子·天文训》以来的生律思路，若要使变律的律数仍为整数，起始律黄钟的律数必须继续扩大为三的十七次方，即一亿两千九百一十四万零一百六十三。
但是，朱熹所作《律吕新书》“序”云：“其言虽多出于近世之未讲，而实无一字不本于古人已试之成法”，“序”后黄端节按语中亦云：“朱子与西山书云：‘但用古书、古语，或注疏，而已意附其下，方甚简约而极周尽，学者一览可得梗概。其他推说之泛滥，旁证之异同，不尽载也。”所以，为了保留黄钟大数为十七万七千一百四十七的“古法”，蔡元定采用十二律之后继续求律时，先将仲吕律数乘以三的六次方（即七百二十九）的方法。下面结合六变律律数“小分”求法加以论述。
《律吕新书》上卷“变律第五”列出了以“小分”算法求出的六变律律数、律长、半律律长的数据：黄钟，十七万四千七百六十二，“小分”四百八十六，
全八寸七分八厘一毫六丝二忽不用，
半四寸三分八厘五毫三丝一忽；
林钟，十一万六千五百零八，“小分”三-f二十四，全五寸八分二厘四毫一丝一忽三初，半二寸八分五厘六毫五丝六初；
太簇，十五万五千三百四十四，“小分”四百三十二，全七寸八分二毫四丝四忽七初不用。半三寸九分四厘五毫六丝六忽八初；
南吕，十万三千五百六十三，“小分”四十五，全五寸二分三厘一毫六忽一初六秒，半二寸五分六厘七丝四忽五初三秒，
姑洗，十三万八千零八十四，“小分”六十全七寸一厘一毫二丝一初二秒不用，半三寸四分五厘一毫一丝一初一秒；
应钟，九万二千零五十六，“小分”四十全四寸六分七毫四丝三忽一初四秒余一算，半二寸三分三毫六丝六忽六秒强不用。
如上文所述，黄钟律数十七万七千一百四十七，本为三的十一次方，所以当三分损益十一次，得出的仲吕律数十三万一千零七十二，不能再为三所整除。为了使仲吕之后继续进行三分损益所生成的六律全为整数，蔡元定再继续求律时先将仲吕律数乘以三的六次方（即七百二十九），然后再三分损益。这样所得十二律以外六变律律数虽然均为整数，但是却与原来黄钟律数十七万七千一百四十七之间的比数相差了七百二十九倍。同时，无法使用前文中所定的寸法、分法、厘法、毫法、丝法、忽法来确定各变律律长。于是，这个乘以七百二十九以后所得的律数，就是“小分”。也就是说，“小分”的含义为“七百二十九分之”，如：“黄钟十七万四千七百六十二，‘小分四百八十六”，即“黄钟律数为十七万七千一百四十七又七百二十九分之四百八十六”。
对此，南湘淑在《（律吕新书）的六十调与六变律研究》中认为：“‘小分是表示把不足一的三分之二、九分之四、二十七分之十六、八十一分之五等的数用七百二十九等分的分子的数。即在‘变律第五中‘小分x意味着七百二十九分之x。”原理确实如此，但是具体到六变律的实际计算，仍有很多新的变化。下面将笔者整理出的具体算法，按照步骤归纳如下：
1.变黄钟：
仲吕律数十三万一千零七十二乘以七百二十九，得九千五百五十五万一千四百八十八。三分益一得变黄钟积数为一亿二千七百四十万一千九百八十四，再除以七百二十九得十七万七千一百四十七又七百二十九分之四百八十六，即变黄钟律数为十七万四千七百六十二，“小分”四百八十六。
先不记“小分”，将变黄钟律数之整数十七万四千七百六十二约以寸法，得八寸，余一萬七千二百九十八。余数约以分法，得七分，余一千九百八十九。余数约以厘法，得八厘，余四十五。余数约以毫法，得一毫，余十八。余数约以丝法，得三丝。丝法为三，一丝为九忽，故忽法为九分之三，即七百二十九分之二百四十三，亦即“小分”二百四十三为一忽。
“小分”四百八十六为二忽。
至此，可得变黄钟律长为八寸七分八厘一毫六丝二忽。蔡元定十八律不用。
2.清变黄钟：
将变黄钟律数十七万四千七百六十二，“小分”四百八十六，除以二，得八万七千三百八十一，“小分”二百四十三，是为清变黄钟律数。将其整数八万七千三百八十一，约以寸法，得四寸，余八千六百四十九。余数约以分法，得三分，余二千零八十八。余数约以厘法，得八厘，余一百四十四。余数约以毫法，得五毫，余九。余数约以丝法，为三丝。
“小分”二百四十三，为一忽。
至此，得清变黄钟律长为四寸三分八厘五毫三丝一忽。
3.变林钟：
变黄钟之积数一亿二千七百四十万一千九百八十四，三分损一，得变林钟之积数为八千四百九十三万四千六百五十六。除以七百二十九，得以十一万六千五百零八又七百二十九分之三百二十四，即变林钟律数为十一万六千五百零八，“小分”三百二十四。
先不记“小分”，将变林钟整数十一万六千五百零八，约以寸法，得五寸，余一万八千零九十三。余数约以分法，得八分，余五百九十七。余数约以厘法，得二厘，余一百。余数约以毫法，得四毫，余三。余数约以丝法，得一丝。
“小分”三百二十四，约以忽法，得一忽，余八十一。余数需继续约以初法。一忽为九初，得一初为七百二十九分之二十七，即“小分”二十七为一初。以余数约之，得三初。
至此，得变林钟律长为五寸八分二厘四毫一丝一忽三初。
4.清变林钟：
将变林钟律数十一万六千五百零八，“小分”三百二十四，除以二，得清变林钟律数五万八千二百五十四，“小分”一百六十二。将其整数五万八千二百五十四，约以寸法，得二寸，余一万八千八百八十八。余数约以分法，得八分，余一千三百九十。余数约以厘法，得五厘，余一百七十七。余数约以毫法，得六毫，余十五。余数约以丝法，得五丝。
“小分”一百六十二，不足一忽，约以初法，得六初。
至此，得清变林钟律长为二寸八分五厘六毫五丝六初。
5.变太簇：
将变林钟之积数八千四百九十三万四千六百五十六，三分益一，得变太簇之积数一亿一千三百二十四万六千二百零八。除以七百二十九，得十五万五千三百四十四又七百二十九分之四百三十二，即变太簇律数为十五万五千三百四十四，“小分”四百三十二。
先不记“小分”，将变太簇整数十五万五千三百四十四，约以寸法，得七寸，余一万七千五百六十三。余数约以分法，得八分，余六十七。余数不足一厘，约以毫法，得二毫，余十三。余数约以丝法，得四丝，余一。余数约以忽法，得三忽。
“小分”四百三十二，约以忽法，得一忽，余“小分”一百八十九。余数约以初法，得七初。
至此，整数与“小分”相加，得变太簇律长为七寸八分二毫四丝四忽七初。蔡元定十八律不用。
6.清变太簇：
将变太簇律数十五万五千三百四十四，“小分”四百三十二，除以二，得清变太簇律数为七万七千六百七十二，“小分”二百一十六。
先不记“小分”，将清变太簇律数整数七万七千六百七十二，约以寸法，得三寸，余一万八千六百二十三。余数约以分法，得八分，余一千一百二十七。余数约以厘法，得四厘，余一百五十五。余数约以毫法，得五毫，余二十。余数约以丝法，得六丝，余二。余数约以忽法，得六忽。
“小分”二百一十六，不足一忽，約以初法，得八初。
至此，得清变太簇律长为三寸九分四厘五毫六丝六忽八初。
7.变南吕：
将变太簇之积数一亿一千三百二十四万六千二百零八，三分损一，得变南吕之积数七千五百四十九万七千四百七十二。除以七百二十九，得变南吕律数为十万三千五百六十三又七百二十九分之四十五，即变南吕律数为十万三千五百六十三，“小分”四十五。
先不记“小分”，将变南吕律数整数十万三千五百六十三，以寸法约之，得五寸，余五千一百四十八。余数约以分法，得二分，余七百七十四。余数约以厘法，得三厘，余四十五。余数约以毫法，得一毫，余十八。余数约以丝法，得六丝。
“小分”四十五，约以初法，得一初，余十八。一初为七百二十九分之二十七，为九秒，一秒即为七百二十九分之三，即“小分”三。故余数十八约以秒法，得六秒。
至此，得变南吕律长为五寸二分三厘一毫六忽一初六秒。
8.清变南吕：
将变南吕律数十万三千五百六十三，“小分”四十五，除以二，不得尽除。乃将变南吕之积数七千五百四十九万七千四百七十二，除以二，得清变南吕积数为三千七百七十四万八千七百三十六。除以七百二十九，得五万一千七百八十一又七百二十九分之三百八十七，即清变南吕律数为五万一千七百八十一，“小分”三百八十七。
先不记“小分”，将清变南吕律数五万一千七百八十一，以寸法约之，得二寸，余一万二千四百一十五。余数以分法约之，得五分，余一千四百八十。余数约以厘法，得六厘，余二十二。余数约以丝法，得七丝，余一。余数约以忽法，得三忽。
“小分”三百八十七，约以忽法，得一忽，余一百四十四。余数约以初法，得五初，余九。余数约以秒法，得三秒。
至此，得清变南吕律长为二寸五分六厘七丝四忽五初三秒。
9.变姑冼：
将变南吕之积数七千五百四十九万七千四百七十二，三分益一，得变姑冼积数一亿零六十六万三千二百九十六。除以七百二十九，得十三万八千零八十四又七百二十九分之六十，即变姑冼律数为十三万八千零八十四，“小分”六十。
先不记“小分”，将变姑冼律数整数十三万八千零八十四，约以寸法，得七寸，余三百零三。余数不足一分，约以厘法，得一厘，余六十。余数约以毫法，得二毫，余六。余数约以丝法，得二丝。
“小分”六十，约以初法，得二初，余六。余数约以秒法，得二秒。
至此，得变姑冼律长为七寸一厘二毫二丝二初二秒。蔡元定十八律不用。
10.清变姑冼：
将变姑冼律数十三万八千零八十四，“小分”六十，除以二，得清变姑冼律数为六万九千零四十二，“小分”三十。
先不记“小分”，将清变姑冼律数整数六万九千零四十二，约以寸法，得三寸，余九千九百九十三。余数约以分法，得四分，余一千二百四十五。余数约以厘法，得五厘，余三十。余数约以毫法，得一毫，余三。余数约以丝法，得一丝。
“小分”三十，约以初法，得一初，余三。约以秒法，得一秒。
至此，得清变姑冼律长为三寸四分五厘一毫一丝一初一秒。
11.变应钟：
将变姑冼之积数一亿零六十六万三千二百九十六，三分损一，得变应钟之积数六千七百一十万八千八百六十四。除以七百二十九，得九万二千零五十六又七百二十九分之四十，即变应钟律数为九万二千零五十六，“小分”四十。
先不记“小分”，将变应钟律数整数九万二千零五十六，约以寸法，得四寸，余一万三千三百二十四。余数约以分法，得六分，余二百零二。余数不足一厘，约以毫法，得七毫，余十三。余数约以丝法，得四丝，余一。余数约以忽法，得三忽。
“小分”四十，约以初法，得一初，余十三。约以秒法，得四秒，余一。
至此，得变应钟律长为四寸六分七毫四丝三忽一初四秒余一算
12.清变应钟：
将变应钟律数九万二千零五十六，“小分”四十，除以二，得清变应钟律数为四万六千零二十八，“小分”二十。
先不记“小分”将清变应钟律数四万六千零二十八，约以寸法，得二寸，余六千六百六十二。余数约以分法，得三分，余一百零一。余数不足一厘，约以毫法，得三毫，余二十。余数约以丝法，得六丝，余二，余数约以忽法，得六忽。
“小分”二十，约以秒法，得六秒，余二。
至此，得清变应钟律长为二寸三分三毫六丝六忽六秒余二算。蔡元定十八律不用。
由上述运算过程可知，这段计算过程在第八步“清变南吕”一条中，因变南吕之律数不可整除于二，需要先使用积数运算，再利用“小分”，解决无理数的整数表示问题。
二、二变声的“小分”算法
如上文所述，三分损益十二律全为整数，黄钟起始律律数至少需为三的十一次方，十七万七千一百四十七。同理，以三分损益法求五声音阶，起始的宫音律数至少需为三的四次方，八十一。成书于先秦的《管子·地员》中便已运用这组数据记录了最早的三分损益法，并为《律吕新书》上卷“律生五声图第六”所继承：“宫声八十一，商声七十二，角声六十四，徵声五十四，羽声四十八。”
同时，蔡元定还指出：“黄钟之数九九八十一，是为五声之本。三分损一，以下生徵。徵三分益一，以上生商。商三分损一，以下生羽。羽三分益一，以上生角。至角声之数六十四，以三分之不尽一算，数不可行，此声之数所以止于五也。”即以八十一为起始律数，只能得到五声音阶整数，若继续上下相生则“数不可行”，不能整除。在不改变这组数据的前提下，想要继续生律，求出律书为整数的二变声，形成七声古音阶，又要用到“小分”算法。这与六变律时遇到的问题在原理上是一致的。
这就是《律吕新书》上卷“变声第七”的核心内容：
变宫声，四十二，“小分”六；
变徵聲，五十六，“小分”八。
案，五声宫与商，商与角，徵与羽，相去各一律。至角与徵，羽与宫，相去乃二律。相去一律则音节和，相去二律则音节远。故角徵之间，近徵收一声，比徵少下，故谓之变徵。羽宫之间，近宫收一声，少高于宫，故谓之变宫也。
角声之实六十有四，以三分之不尽一算。既不可行，当有以通之声之变者二，故置一而两三之，得九。以九，因角声之实六十有四，得五百七十六。三分损益再生变徵、变宫二声，以九归之，以从五声之数，存其余数以为强弱。至变徵之数五百一十二，以三分之又不尽二算，其数又不行。此变声所以止于二也。
变宫、变徵，宫不成宫，徵不成徵，古人谓之“和”“缪”。又曰：所以济五声之不及也。变声非正，故不为调也。
宫音律数八十一时，角音律数六十四三分损一，下生得变宫律数，再由变宫音律数三分益一，上生得变徵律数。算法原理与变律算法一致，但是“小分”之分母为九。
具体算法如下：
1.设宫音律数为三的四次方八十一，则三分损益四次后得出的角音已经不能再被三所整除。为了得出律数为整数的变宫、变徵，需要将角声律数六十四，乘以三的二次方（即九）以为“小分”，得五百七十六，为角音积数。
2.角音之积数五百七十六，三分损一，得三百八十四，为变宫音积数。变宫音积数三百八十四除九，得四十二又九分之六。至此，得变宫声律数为四十二，“小分”六。
3.将变宫声积数三百八十四，三分益一，得五百一十二，为变徵音积数。变徵音积数五百一十二除以九，得五十六又九分之八。至此，得变徵声律数为五十六，“小分”八。
这是《律吕新书》中的第二种“小分”算法，“小分”的含义为“九分之”。
三、《律吕新书》校《史记·律书》十二律律长所用的“小分”算法
在《律吕新书》下卷第二节“律长短围径之数第二”中，蔡元定对司马迁《史记·律书》中十二律律长进行了勘误，并再次用到“小分”算法。原文如下：
司马迁《律书》：
按，《律书》此章所记分寸之法与他记不同，以难晓故，多误。
盖取黄钟之律九寸，一寸九分，凡八十一分。而又以十约之为寸，故云八寸十分一。本作“七分一”者，误也。今以相生次序，列而正之。其应钟以下则有“小分”，“小分”以三为法，如历家太少余分强弱耳。其法未密也。今以二千一百八十七为全分，七百二十九为三分一，一千四百五十八为三分二，余分之多者为强，少者为弱，列于逐律之下。其误字悉正之。
先在九进位制下设黄钟律长为九寸，每寸即为九分，则黄钟律长共计八十一分。再将八十一分转为十进位制，十分一寸，则黄钟律长为八寸十分一。按照三分损益法即可求得前五律。
蔡元定的发明创造，主要体现在后七律。他认为司马迁在内的历代律学家在算法上“太少余分强弱”，没有作到绝对精确，“其法未密也”。因此，在以三为分母的分数的方式表示的基础上，蔡元定再对分数之余加以“小分”。具体的算法大致与第一卷《律吕本原》中“变律第五”“变声第七”二节的“小分”算法相同。但是，由于寸、分之后，以三为法，即以三为分母的分数作下一级单位，故而“小分”之前已有分数，而且在此算法下，还新出现了“小分”减法，因此更加复杂。下面逐一解读。
（一）前五律具体算法如下：
1.黄钟
黄钟起始律设为八十一分，再设十分为一寸，则得八又十分之一寸，即八寸十分一。
2.林钟
黄钟律长八十一分，三分损一，得五十四分，即五又十分之四寸，亦即五寸十分四。
3.太簇
林钟律长五十四分，三分益一，得七十二分，即七又十分之二寸，亦即七寸十分二。
4.南吕
太簇律长七十二分，三分损一，得四十八分，即四又十分之八寸，亦即四寸十分八。
5.姑洗
南吕律长四十八分，三分益一，得六十四分，即六又十分之四寸，亦即六寸十分四。
因黄钟起始律长八十一，本为三的四次方，故而三分损益至第五次便不可整除。至求得完备十二律，尚需继续三分损益七次，因此设“小分”为三的七次方，即二千一百八十七。将无法整除的分数之余数乘此“小分”，即可整除。此处“小分”的含义为“二千一百八十七分之”。
因设定分、寸之下一级单位，必须是以三为分母，所以“小分”是此分数之后的余数。当分、寸之下，得出三分之一、或三分之二的完整分子后，若“小分”余数为正，以“强”表示，“小分”余数为负，则以“弱”表示。
（二）后七律具体算法如下：
1.应钟
姑洗律长六十四分，三分损一，得四十二又三分之二分，即四寸二分三分二。
2.蕤宾
应钟律长四十二又三分之二分，三分益一，得五十六又九分之八分。九分之八即为三分之二余九分之二。九分之二乘二千一百八十七，得四百八十六。
至此，得蕤宾律数五寸六分三分二，强四百八十六。
3.大吕
蕤宾律长五十六又九分之八分，不计“小分”，重上生，三分益一，得七十五又二十七分之二十三。余数二十七分之二十三，即为三分之二余二十七分之五。余数二十七分之五乘二千一百八十七，得“小分”四百零五。
至此，得大吕律长为七寸五分三分二，强四百零五。
4.夷则
大吕律长七十五又二十七分之二十三，三分损一，得五十又八十一分之四十六。三分之二即为八十一分之五十四，余数八十一分之四十六尚差八十一分之八，以弱表示。八十一分之八乘二千一百八十七，得二百一十六。
至此，得夷则律长为五寸零三分二，弱二百一十六。
5.夹钟
夷则律长五十又八十一分之四十六，三分益一，得六十七又二百四十三分之一百零三。余数二百四十三分之一百零三，为三分之一，再余二百四十三分之二十二。余数二百四十三分之二十二乘以二千一百八十七，得一百九十八。
至此，得夹钟律长为六寸七分三分一，强一百九十八。
6.无射
夹钟律长六十七又二百四十三分之一百零三，三分损一，得四十四又七百二十九分之六百九十二。余數七百二十九分之六百九十二，为三分之二，再余七百二十九分之二百零六。余数七百二十九分之二百零六乘以二千一百八十七，得六百一十八。
至此，得无射律长为四寸四分三分二，强六百一十八。
7.仲吕
无射律长四十四又七百二十九分之六百九十二，三分益一，得五十九又二千一百八十七分之二千零三十九。余数二千一百八十七分之二千零三十九，为三分之二，再余二千一百八十七分之五百八十一。余数二千一百八十七分之五百八十一乘以二千一百八十七，得五百八十一。
至此，得仲吕律长为五寸九分三分二，强五百八十一。
这就是《律吕新书》中的第三种“小分”算法。“小分”的含义为“二千一百八十七分之”。
结语
通过上文对《律吕新书》“小分”算法的解读可知，可以发现蔡元定的律学理念中的两个显著特点：
第一，追求理论律学运算的完美精密度。《律吕新书》下卷“和声第五”云：“律学微妙，其生数立法，正在毫厘秒忽之间，今乃以不尽之算，不容损益。遂或弃之，或增之，则其畸赢赘亏之积，亦不得为此律矣”。可见，蔡元定在运算数据精密度上有着极为严苛的要求。正是为了完满的求得十八律中六变律律数，以及十二律律长的整数，蔡元定发明了“小分”算法。
第二，沿用古代律学文献中的已有数据，并保留原有数据。上文所论的3种算法，均体现了这一原则：对五声音阶律数的“小分”求法，沿用《管子·地员》中的数据，对十二律律数、律长的“小分”求法沿用《淮南子·天文训》的数据；即便独到的九进位制，蔡元定亦认为是延续了《史记·律书》的传统。这就是朱熹在《律吕新书》“序”中所说的：“但用古书、古语，或注疏，而已意附其下。”儒家崇古的思想，发展至宋代，达到了前所未有的极致，最终形成理学。《律吕新书》作为宋代理学主要经典之一，其律学理论亦被打上深深的崇古烙印。
笔者认为，上述两点不仅是“小分”算法，而且也是蔡元定十八律理论产生的内在原因。“小分”算法不仅是洞悉蔡元定律学理论的关键所在，而且集中反映了其律学理念。
历史的时针指向南宋，中国古代律学家在寻求十二律完满旋宫的道路上，已经经历了京房六十律、钱乐之三百六十律、何承天新律、王朴律等一系列探索。蔡元定对于完满运算数据的追求，决定了他不满足于京房和钱乐之仍然存在误差的律学理论，尽管这一误差已经很小。同时，对于古代律学文献已有数据和算法的尊重，使他恪守三分损益法，反对何承天与王朴调整生律法的尝试。在他发明的十八律理论中，则既实现了对“古法”的坚守，又解决了十二律旋宫问题。
因此，不论是“十八律”还是“小分”算法，都不仅是蔡元定的律学理论建树，也是理解南宋以后理学观念影响下乐律学理论发展趋势的重要史料。
责任编辑：李姝
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更新时间：2024/12/22 20:07:23