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标题 利用向量方法求空间角问题
范文

    陈菊芳

    

    摘 要:向量一般用于高中数学中,利用向量导入法可以更好地进行高中数学几何运算。对向量基本概念做了简析,并通过举例来证明在高中几何中,使用向量法来开启各种解题思路,最终造成高中数学空间角度的详解。

    关键词:向量;辅助线;异面

    在高中数学中,几何知识属于重点与难点内容,而几何知识中空间角度的求解更是让学生感到望而却步。学生在脑海中没有形成一个立体的几何概念,对于几何图形的面与角的求解会感觉到非常困难,没办法用正确的方法打开解题思路,使得一部分学生对于空间几何的求解无从下手。

    一、向量在数学中的概念

    向量遵循的是平行四边形法则,并且含方向和大小,一般在空间几何中被广泛应用。

    二、利用向量方法求空间角问题

    1.平面与平面的夹角

    ■

    图1 ?图2

    用向量法求二面角的大小原理,设■、■分别为平面α、β的法向量。二面角大α-l-β小为θ,向量■、■的夹角为φ,那么θ+φ=π(如:下图1)或者θ=φ(如:下图2)

    那么结论为:构成二面角两个平面的法向量,其夹角和夹脚的补角,等于这个二面角的平面角。

    因此,在图一中可以看出,■的方向相对于平面α而言,向内,■的方向相对于平面α而言,也向内;在图一中可以看出■的方向相对于平面α而言,向内,■的方向相对于平面α而言,是向外的。

    2.直线与平面的夹角

    例题:设θ1是直线a为平面α所成的角,θ2是直线a的方向向量与平面α的法向量■之间的夹角,那么θ2=■-θ1,或者θ2=■+θ1(如右图所示)

    当θ2=0时,那么θ1=■,a⊥α;当θ2=■-θ1时,那么θ1=0,a?哿α或a∥α。那么θ1=arcsin■。如果直线a是平面α的斜线,a∩α=A,那么B∈a,B?埸α,■即为直线l的方向向量,则θ=arcsin■

    3.建立空间夹角坐标求异面直线所成的角

    如图1,右图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,FD⊥底面ABCD,E是FB的中点。已知AD=2,DC=2■,FD=2。

    现求:(1)△FBC的面积;(2)异面直线AB与DE所成的角的大小。

    解题:(1)∵FD⊥底面ABCD,∴FD⊥BC,所以BC⊥△FDC,因此BC⊥FC,又∵FC=■=2■,BC=2,∴△PBC的面積=■×2×2■。

    解题:(2)如右图,在图形上建空间直角坐标系,∴A(2,0,0),∴B(2,2■,0),∴E(1,■,1),∴■=(1,■,1),∴■=(0,2■,0)。设■与■的夹角是θ,那么cosθ=■=■=■,∴θ=■。从上可得,异面直线AB与DE所成的角为■。

    异面直线求角在高中数学几何运算中难度比较大,教师要想办法让学生能够打开思维,利用好垂直辅助线来求证空间几何的论证,通过向量能够更好的求出空间角的大小。

    参考文献:

    [1]吴天德.从一道高考题谈异面直线所成角的求法[J].中学数学研究(华南师范大学版),2018(3).

    [2]李文东.对向量法解立体几何问题的几点补充[J].中学数学研究(华南师范大学版),2017(13):26-28.

    [3]王统文.例说异面直线所成角求法的优化[J].数学学习与研究,2017(13):108-109.

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更新时间:2025/3/10 10:39:07