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在数形结合中感受数学的魅力

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胡余芳

摘要：数形结合是一种非常重要的数学思想，把数与形结合起来解决问题，可使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。以人教版六年级上册“数与形（例1）”一课为例，对如何使学生在数形结合下感受数学的魅力进行了实践与探索，形成了一些收获与体会。

关键词：数形结合;建构模型;沟通联系;拓展思维

数形结合的思想，在小学数学教学实践应用中由来已久，它既是一种研究、探索数学的思想方法，又是帮助学生理解、解释数学的教学方式和教学手段，可使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。

人教版六年级上册“数与形（例1）”的教学，是通过数形结合，让学生从1开始的连续奇数之和与“正方形数”之间的关系。使学生自主探究发现隐藏在图形中的数的规律，并会应用所发现的规律去解决一些有关数的问题，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。如何上好这样的课？如何使学生在数形结合中感受数学的魅力？笔者对此进行了实践与探索，现将收获和感悟分享如下。

一、以“形”代“数”，建构模型

分析教材，我们可以发现：教材先引导学生观察正方形图中的小正方形数的规律，再把正方形图与下面的算式对照，寻找它们之间的关系，最后运用规律解决相应的问题。

教学时，不少老师担心，无论是先呈现数列，还是先呈现图形，学生都比较难于想到相对应的数与形，所以不敢放手让学生自己去构造数列模型。但数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中比比皆是，其中，有的图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题;有的利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然;还有的“数”与“形”密不可分，可以用“数”来解决“形”的问题，也可用“形”来解决“数”的问题。

所以，笔者觉得这样的担心是多余的，学生是有自己构造奇数列求和直观模型的能力的。教师不作任何示范，学生能够根据经验摆出图形，只是要摆成例题呈现的形状，需要一定的引导和梳理。

【教学片段】直观构造模型

1.引导：出示一个黑色正方形，一个正方形代表1

要求摆出“1+3”，让人一目了然看明折。

2.反馈：有四种情况

优化得到第二种方法，形成算式：1+3=2×2

3.建构：出示：1+3+5，1+3+5+7，1+3+5+7+9分别该怎么摆？同桌合作

4.反馈：

由于“引导”环节的设置，学生凭借已有经验想到了不少摆法，其中就有我们需要的摆成一个更大正方形的情况。对这种情况进行详细解说后，学生心中已经对它产生了深厚的兴趣，而且对摆成正方形后可以用“平方”的方法来方便计算有了初步的体会。接着再通过“构建”的环节，让学生选择自己喜欢的方法去画图，计算1+3+5、1+3+5+7、1+3+5+7+9时，摆成正方形的优越性就自然而然地体现出来了。就这样，学生自主构造奇数列之和直观模型的难点也随之消失了。

二、以“形”释“数”，沟通联系

笔者以前一直认为“形”的直观性，有助于学生观察发现数的规律，规律的解释则主要依靠“算理”与思维。但实践却告诉我们，看数的排列常常比看图形的变化更加容易发现，而学生在做练习的时候也不是看图形来找规律的。那么数与形结合的意义究竟是什么呢？笔者觉得就是一组有规律的数可以表现为形，而形的直观性要起到解释规律的作用，也就是当我们要求解释“其中的道理”的时候，看数、看算式就无济于事了。所以教学需要有沟通数形联系的环节。

【教学片段】沟通数形联系

1.观察发现算式特点

得到：左边有几个连续奇数相加，右边就是几乘几。

即：1=1×1=12，1+3=2×2=22，1+3+5=3×3=321+3+5+7=4×4=42，1+3+5+7+9=5×5=52

2.思辨获得数形沟通

（1）讨论：这些加数为什么都是连续奇数，会不会出现偶数？为什么加数都是从1开始的？

（2）结合课件演示形成知识：

加数是从1开始的连续奇数，不会出现偶数。（如图1）

如果没有从1开始，就会缺少一个角，就不能拼成一个更大的正方形了。（如图2）

在以上的教学环节中，课件的动态演示起到了举足轻重的作用：当想要继续拼出一个较大的正方形，增加的小正方形要排成“■ ”形拼上去，所以加的数就必须是连续的奇数;当想要计算出小正方形的个数时，通过计算正方形面积的方法就能很快地获得结果。原来，图形的直观性，在这里起着解释的作用，这就是几何直观的解释力。数形结合的意义在此得到了充分的发挥。

三、以“形”扩“数”，拓展思维

就教材例1的内容呈现，各算式的和为1、4、9、16…，这样的平方数（也就是正方形数），其实这只是冰山的一角，早在2000多年前毕达哥拉斯的团队就对它作过深入的研究，得到了一些有趣的结论，能对学生的思维起到延伸和拓展的作用。

【教学片段】回顾与拓展

1.回顾联系：在以前的学习中经常使用“数形”结合，谁来举个例子？

例如：线段图帮助解决问题。学习分数乘法时，用数来表示几分之几乘几分之几的意思。……

2.拓展延伸：其實数形结合的魅力还远不止这一些，就是同一个形我们从不同角度看也会产生不同的数，就拿这些正方形来说，如果我们的角度不同，创造出来的数也会不同。其实这些知识早在2000多年前以数学家毕达哥拉斯为代表的古希腊数学家就对它做过研究，得到了不少有趣的结论。

教学实践证明，学生对这种变化非常感兴趣，更为自己能发现其中的奥秘感到自豪，数形结合的魅力得到了进一步的展现。

数学家华罗庚曾说：“形使数更直观，数使形更入微。”这就是对数学教学中“数形结合”思想的高度概括。“数形结合”无论是作用一个数学思想，还是一种教学手段，我们都是在从形对于数的直观性、数对于形的深刻性这两个方面，发挥着数形结合的作用。就让我们在数形结合中去感受数学的魅力吧！

编辑鲁翠红

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