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周期数列性质的应用

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周延吉

【摘要】周期性是函数性质之一，数列是一类特殊函数，也具有周期性.本文运用函数类比研究了数列的周期性，探讨了周期数列的一些简单性质，并对性质加以应用.

【关键词】数列;周期;周期数列

类比周期函数的概念，我们可以定义：对数列{an}，如果存在确定的正整数T及n0，使对一切n≥n0，恒有an+T=an成立，则称{an}是从第n0项起的周期为T的周期数列.当n0=1时，称{an}为纯周期数列;当n0≥2时，{an}称为混周期数列.T的最小值称为最小正周期，简称周期.

通过对周期数列定义的进一步研究，类比周期函数的性质我们可以得到周期数列的一些如下简单性质：

（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集.

推论1 若周期数列{an}的周期T≥2，则an的极限不存在.

推论2 若{an}不是常数列，且an的极限存在，则{an}不是周期数列.

（2）若T是{an}的周期，则对任何k∈N*，kT也是{an}的周期.

（3）周期數列必有最小周期.

（4）若T是周期数列{an}的最小周期，T′是其任一周期，则T|T′.即T′=kT（k∈N*）.

（5）值域是有限数集的无穷递归数列必是周期数列.

（6）已知数列{an}满足an+t=an（n∈N，t为常数），Sn，Tn分别为{an}的前n项和与积.若n=q·t+r，0≤r

（7）若数列{an}满足an=an-1-an-2（n∈N*，且n>2），则6是数列的一个周期.

（8）若数列{an}满足an=aan-1-bcan-1-d，a+d=0，则数列{an}的周期T=2.

对上述定义、性质的应用举例如下;

例1 已知数列{an}，a1=1，a2n=an，a4n-1=0，a4n+1=1（n∈N*）.

（1）求a4，a7;

（2）是否存在正整数T，使得对任意的n∈N*，有an+T=an.

解（1）由题意知a4=a2=a1=1，a7=a4×2-1=0.

（2）假设存在正整数T，使得对任意n∈N*，有an+T=an.设T为其中最小的正整数.若T为基数，设T=2t-1（t∈N*），则a4n+1=a4n+1+T=a4n+1+2T=a4（n+t）-1=0.与已知a4n+1=1矛盾.若T为偶数，设T=2t（t∈N*），则a2n+T=a2n=an，而a2n+T=a2n+2t=a2（n+t），从而an+t=an，而t<T，与T为其中最小正整数矛盾.

综上所述，不存在正整数T，使得对任意的n∈N*，有an+T=an.

例2 若数列{an}满足an+2=an+1-an（n∈N*），Sn为{an}的前n项和，且S2=2 018，S3=2 010，求S2 008.

解由an+2=an+1-an及性质（7），可知数列{an}是以6为周期的周期数列.由S2=2 018，S3=2 010，知a1+a2=2 008，a1+a2+a3=2 010，在结合a3=a2-a1，可以解出a1=1 003，a2=1 005，a3=2;由递推关系式可进一步求得a4=-1 003，a5=-1 005，a6=-2，因为2 008=6×334+4，由性质（6）可以得到

S2 008=334S6+S4=334×0+1 007=1 007.

例3 设数列{an}中，a1=a2=1，a3=2，且对n∈N，有anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3（anan+1an+2≠1）成立，求该数列100项和S100.

解由已知条件，对任何自然数N*，有

anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，

把式中n换成n+1，得

an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，

两式相减得an+1an+2an+3（an-an+4）=an-an+4，

因为an+1an+2an+3≠1，所以an+4=an（n∈N*），

所以{an}是以4为周期的周期数列，再由性质（6），得

S100=25S4=25×（1+1+2+4）=200.

【参考文献】

[1]李正研.数列的周期性[J].中学生数理化（学习研究），2018（3）：49.

[2]徐广华.关于周期数列的重要性质与结论的探究[J].中学数学研究（华南师范大学版），2018（3）：2-4.

[3]刘培杰.数列的周期性[J].中等数学，2015（6）：17-19.

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