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高考圆锥曲线压轴题的破解策略

范文

张方霞

【摘要】本文主要探讨了高考圆锥曲线压轴题的破解策略.

【关键词】高考;圆锥曲线;压轴题

一、轨迹问题

轨迹问题是高考中经常出现的一种考查圆锥曲线问题的习题类型.

例如，已知原点O为椭圆C的对称中心，该椭圆的焦点在x轴上，F1，F2分别是左、右两个焦点，且|F1F2|=2，点1，32在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程;（2）椭圆C与过左焦点F1的直线l，相交于A，B两点，若△AF2B的面积为1222，求与直线l相切且以F2为圆心的圆的方程.

解析（1）由题意知c=1，2a=32+322+22=4，a=2，故椭圆的方程为x24+y23=1.

（2）当直线l与x轴垂直时，可取A-1，-32，B-1，32，△AF2B的面积为3，不符合题意.

当直线l与x轴不垂直的时候，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程得

（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，显然Δ>0成立，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=-8k23+4k2，x1·x2=4k2-123+4k2，

可得|AB|=12（k2+1）3+4k2，

又圆F2的半径r=2|k|1+k2，

所以△AF2B的面積为

12|AB|r=12|k|k2+13+4k2=1227，

化简得17k4+k2-18=0，得k=±1，

∴r=2，圆的方程为（x-1）2+y2=2.

二、直线与圆锥曲线位置关系的问题

直线与圆锥曲线位置关系的问题，是高考中关于圆锥曲线问题的重点考查部分.

例如，已知椭圆C：x2+2y2=4.（1）求该椭圆的离心率;（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.

解析（1）根据题目当中的条件，椭圆C的方程为x24+y22=1，所以a2=4，b2=2，c2=a2-b2=4-2=2，

∴e=ca=22.

（2）直线AB与圆x2+y2=2相切，证明如下：

根据题意设点A（x0，y0），B（t，2），其中x0≠0，

因为OA⊥OB，所以OA×OB=0，

即tx0+2y0=0解得t=-2y0x0，

当x0=t时，y0=-t22，代入椭圆C的方程得t=±2，此时直线AB与圆x2+y2=2相切.

当x0≠t时，直线AB的方程为y-2=y0-2x0-t（x-t），

即（y0-2）x-（x0-t）y+2x0-ty0=0，

圆心到直线AB的距离为d=|2x0-ty0|（y0-2）2+（x0-t）2，

又x20+2y20=4，t=-2y0x0，

故d=2x0-2y20x0x20+y20+4y20x20x40+8x20+162x20=2，

故直线AB与圆x2+y2=2相切.

总而言之，在进行高考中圆锥曲线问题解答时，教师要引导学生根据题型进行针对性的解答，从而实现圆锥曲线问题的突破.

【参考文献】

[1]王歆越.优化圆锥曲线解题过程的有效方式分析[J].散文百家（新语文活页），2018（9）：151.

[2]彭泽海.圆锥曲线的解题妙法[J].智富时代，2018（9）：227.

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