| 标题 | 课堂对话情境下极限概念的研究 |
| 范文 | 曹荣荣 袁璐 顾庆梅 摘 要 极限是微积分的重要概念，关于极限的大量研究都是学生学习困难研究。本研究是在“交流认知模型”理论框架下探讨课堂情境下教师和学生关于极限概念的对话。结果表明参与者对话之间存在着不一致的现象，同时指出教师对话对提高课堂交流效果至关重要。 关键词 极限 交流认知模型 教师对话 学生对话 中图分类号：O211.4 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.06.023 Research on the Concept of Limit in Classroom Dialogue Context CAO Rongrong， YUAN Lu， GU Qingmei （School of Mathematics and Statistics， Wingdao University， Qingdao， Shandong 266071） Abstract Limit is an important concept of calculus. A lot of research on limit is about students' learning difficulties. This study explores the dialogue between teachers and students on the concept of limit under the framework of "communicative cognitive model". The results show that there are inconsistencies between participants' dialogues， and it is also pointed out that teacher's dialogues are very important to improve the effectiveness of classroom communication. Keywords limit； communication cognitive model； teacher dialogue； student dialogue 0 引言 作为微积分中最基本的概念之一，极限给学生学习和教师教学都带来了巨大的挑战。大量研究表明学生对极限概念的理解大都是基于动态的运动变化过程，这种认知在一定程度上妨碍了学生对极限概念的形式化理解。在Sfard的“认知主义模型”中，[1]她认为学习就是获得，学习就是在思维表征形式下的信息存储。她指出理解则是把新知识和旧知识相联系，从而达到完善已有的思维表征模式。这个“认知主义模型”强调学习的个体化特性。而后来Sfard提出的“对话式模型”则指出学习是参与，把学习看作是在一个对话共同体中个体对话的改变。 1 理论框架 Sfard的“交流认知模型”强调认知和交流之间的密切关系。[2]她认为思维是交流的一种个体化形式，个体的认知过程和个体间的交流是同一现象的不同方面，这是两个互补过程的结果。理论模型框架中的“对话”这一术语涉及到不同的类型，而这些类型则是按照对话主体、媒介种类、遵循的规则来进行分类的，它分成“语词使用”、“可视化媒介”、“常规惯例”及“命题陈述”。“语词使用”是指参与者在对话过程中对语词的使用；“可视媒介”是指所创造以及使用的所有可视对象；“常规惯例”则是指参与者在对话中反复使用的模式；而“命题陈述”则是描述对象和对象间关系的语言陈述。事实上，数学学科本身也可以看作一个具体的对话类型，它也是按照“语词使用“、“可视媒介”、“常规惯例”、“命题陈述”来进行区分的。 2 研究过程及分析 研究数据主要是来自教师的课堂教学视频、学生的问卷调查以及学生访谈。问卷调查[3]主要是了解学生在课堂结束后对极限知识的认知。而访谈部分则主要是进一步来研究学生关于极限的理解，每个学生的访谈时间大概是一个小时左右。 教师和学生的对话要从“语词使用”、“可视媒介”、“惯例规则”以及“命题陈述”四个角度进行分析。“词语使用”会依据参与者的语言划分为“口语化”、“运算化”和“对象化”三种表达方式；[4]“可视媒介”则包含书写、图形和符号表征；“惯例规则”则是教师习惯性的思维模式，比如擅长代数思维或喜欢作图等等。而“命题陈述”涉及的则是关于极限概念的定义、定理以及相关事实，这里关注的陈述即极限是个过程还是个数。 2.1 教师关于极限的对话分析 教师用了八节课的时间来讲解函数的极限与连续，在对视频分析过程中发现：教师讲解中一共有734句与极限有关的话，其中13句是口语化，129句是运算性的，592句是对象化的描述。因此，教师80%的话语是把极限看作数学对象即极限是一个数。 在讲解极限的非形式化定义和计算极限时，教师则会在“运算化”和“对象化”之间进行转换。比如，他说“当越来越趋近于零的时候，函数值是越来越逼近于1的”，教师一般会接着说“因此，极限等于1”。当涉及极限的形式化定义和利用定义证明极限时，他的“语词使用”基本都是對象化的词汇，只是使用了一些逼近思想的词语，比如“只要任意的无限接近，函数值就可以任意逼近”。教师“语词使用”表明，在非形式化定义和极限计算情境下，他使用两种不同的“元规则”即连续运动观念和离散对象观念。而在形式定义和证明情境下，则他只使用离散对象观念。 从教师的对话中，我们可以发现三种“可视媒介”即书写、图形和符号表征。他并没有把口头的运算性话语写下来，而在黑板上书写的则是对象化的词汇。当教师计算函数极限或者解释某个定义、定理时，他会考虑采用画图。 总之，教师关于极限的对话呈现两种不同的观点：“极限是一个数”和“极限是一个过程”。他所使用的对象化的词语、在黑板上的板书以及运用的符号表征，这些都表明把极限看作数；而那些运算化的词语以及计算极限时借助图形却表明他把极限看作是一个过程。 2.2 教师对话和学生对话的比较 2.2.1 学生问卷调查结果分析 学生问卷分析研究表明，学生把极限概念理解为一个过程而不是数。第一个问题包含关于极限和连续的六个命题，学生只需要回答正确与错误；第二个问题要求学生从给定的六个描述中选择出一个最能描述极限概念的陈述。 从表1看，28位同学认为命题1是正确的，这反映出学生大都是基于动态的观点来理解极限的，且有15位同学认为它是描述极限概念的最好陈述。关于极限的形式化观点，32位同学中有22位认为命题3是正确的，但是却仅仅有1位同学认为这是极限的最好描述。命题3和命题4的回答也充分表明大多学生认为极限是不可达到的或者是一种近似状态，其主要原因在于学生所关注的是函数值“越来越接近”极限值，而不是这个过程的最终结果。研究结果表明，即便是在学完极限和连续内容后，大部分学生仍然认为“极限是一个过程”，并没有把极限对象化一个具体的数。 2.2.2 学生访谈研究结果分析 根据问卷结果，访谈从中选择了4位同学来进一步研究学生对极限概念的理解。 教師：你对极限是如何理解的？ 学生甲：它是越来越接近于1。 学生乙：这其实就是趋于零时函数的极限，当时的值是1。 教师：那么，函数极限是什么？ 学生乙：它趋近于1，或者说越来越接近于1。 教师：在这种情况下，极限是什么？ 学生丙：是1，但是极限不仅仅是一个数。 教师：那是什么？ 学生丙：极限描述的是一个过程，它描述的是变化到这个点的所有过程。 教师：那么你能说说函数极限是多少呢？ 学生丙：它接近1。 教师：为什么？ 学生丁：极限从右边是趋近于1，从左边也是趋近于1，所以极限是1。 从访谈内容来看，学生并没有认为函数值是逼近极限，而是认为极限趋近于一个数。他们所谈论的极限是一个数，把它看作是运动的变量。教师尽管在“语词使用”、“常规惯例”和“命题陈述”之间不断进行转化，并且教师也能将极限过程和极限值清楚地加以区分。但研究结果表明，学生并非如此，极限的对象化过程对学生来说是个巨大的挑战。 （1）针对极限的严格形式化定义，教师的“语词使用”全部是基于离散的对象化描述，而学生是基于运动变化的运算化描述。学生是把极限看作是任意接近一个数，而不是函数值任意接近于极限值。 （2）针对“可视媒介”，在整个阶段的课堂讲解过程中，教师采用的主要媒介是符号，而学生更多地使用了图形。在极限计算时，教师会偶尔使用图形，但还是偏向于代数方法。 （3）就“元规则”来说，教师一般会在黑板上板书对象化的概念，而关于极限的过程化的词语则是在口头交流时使用。但是学生却把教师口头性的描述的一些语词作为极限的定义。 （4）学生的“命题陈述”一致地关注了极限是个过程，即便是在个别事例中谈及到“极限是个数”，但是学生的话语还是基于动态观念这样一个元规则。 总之，学生学习极限的诸多问题困惑和教师在“语词使用”、“可视媒介”、“惯例常规”以及“命题陈述”等四个方面的转化是相一致的。但是，教师似乎并没有意识到到这种转化对课堂交流的有效性具有重要的意义。因此，教师清晰地转化对提高课堂交流效果至关重要。 参考文献 [1] Sfard，A.（2001）.There is more to discourse than meets the ears： Looking at thing as communicating to learn more about mathematical learning. Educational Studies in Mathematics， 46（1/3）：13-57. [2] Sfard，A.（2008）.Thinking as communicating： Human development， the growth of discourses and mathematizing. New York： Cambridge University Press. [3] Williams，S.R.（2001）. Predications of the limit concept： An application of repertory grids. Journal for Research in Mathematics Education，32（4）：342-367. [4] Sfard， A.（1991）.On the dual nature of mathematics conceptions： Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics，22（1）：1-36. |
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