标题 | 利用拉普拉斯定理计算行列式 |
范文 | 马佳奇 【摘要】拉普拉斯定理是行列式按行按列展开定理的推广,可用于简洁快速地解决某些高阶行列式的计算和证明.本文首先介绍了拉普拉斯定理的内容,然后介绍了拉普拉斯定理在证明分块矩阵乘法方面的应用,最后利用拉普拉斯定理计算某些高阶的行列式. 【关键词】行列式;拉普拉斯;子式;代数余子式 高等代数在行列式这一章中介绍了行列式按行(列)展开定理和拉普拉斯定理,前者每次展开只能降低一阶,对计算某些高阶行列式而言使用效果不佳;而拉普拉斯定理降阶速度快,对计算某些高阶行列式来说十分方便,所以为了推广这种方法,本文归纳了拉普拉斯定理,并给出了该定理在行列式计算中的应用. 一、拉普拉斯定理 (一)拉普拉斯定理 定理1[1] 设在行列式D中任意取定了k(1≤k≤n-1)行,由这k行元素所组成的一切k级子式为M1,M2,…,Mt(t=Ckn),它所对应的代数余子式为A1,A2,…,Ai,则D=M1A1+M2A2+…+MtAi=∑ti=1MiAi. (二)拉普拉斯定理求行列式的两个重要结论 定理2[2] (1)m+n阶行列式 Am×m0Bn×mCn×n=|An×m||Cn×n|; (2)m+n阶行列式 0Am×mCn×nBn×m=(-1)mn|Am×m||Cn×n|. (二)拉普拉斯定理的应用 1.利用拉普拉斯定理证明相关命题 定理3[3] 设A,B是n阶方阵,则|AB|=|A||B|. 定理4 A10000A200000000As=|A1||A2|…|As|,其中Ai是ni阶方阵,i=1,2,…,s. 定理4由定理2易得. 2.利用拉普拉斯定理計算行列式 例1 计算行列式D=a00b0cd00ef0g00h. 解 由于D的第一、四行中只有一个2阶子式不为零,因此,取这两行,然后根据拉普拉斯定理展开得 D=abgh(-1)(1+4)+(1+4)cdef=acfh-adeh+bedg-bcgh. 例2 设A=34004-30000200022,求|A8|及A4. 解 若记AA100A2,其中A1=344-3,A2=2022,则A成为一个分块对角矩阵.于是 |A8|=|A|8=(|A1||A2|)8=|A1|8|A2|8=1016; A4=A4100A42. 因为,A21=250025,所以A41=54E;A2=21041.代入即得 A4=540000540000240002624 . 三、结束语 利用拉普拉斯定理对某些高阶行列式计算和证明,可以对高阶行列式更快地降阶,并且简单易操作,因而,学习者应重视拉普拉斯定理的学习应用. 【参考文献】 [1]王文省.高等代数[M].济南:山东大学出版社,2004. [2]朱亚茹,牛泽钊.谈拉普拉斯定理及其应用[J].科技信息,2009(31):498-499. [3]蓝以中.高等代数学习指南[M].北京:北京大学出版社,2008. [4]肖马成,周概容.线性代数、概率论与数理统计证明题500例解析[M].北京:高等教育出版社,2008. |
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