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线性代数教学中几个问题的解析及延伸

范文

田凯　张孟霞

摘要在线性代数课程中，矩阵的相关计算占据大量篇幅。从几个计算方阵的幂函数、多项式的题目出发，在详细分析解题思路的基础上，引申出更一般的矩阵知识。

关键词方阵的幂方阵的多项式方阵的可对角化 Jordan形矩阵

中图分类号：G642文献标识码：A

做为一个数学分支，线性代数主要研究行列式、矩阵、线性方程组、向量、有限维向量空间和线性变换，在自然科学、工程技术的众多领域有广泛应用. 在我国本科专业的课程体系中，线性代数是理、工、经、管类专业本科生的基础必修课. 该课程旨在介绍行列式、矩阵、线性方程组、相似矩阵、二次型、向量空间等线性代数的基本概念、理论和方法. 在线性代数课程的教学中，线性方程组、矩阵、向量组，三者的联系发挥着至关重要的作用，也是学好这门课程的关键。

矩阵的相关计算问题，例如：初等变换法计算矩阵的秩、初等变换法求逆矩阵、对称矩阵的对角化等，在线性代数的教学中占据很大比例。在线性代数课程的教学实践中，笔者发现结合具体问题将知识进行适当地延伸，有助于学生理解问题的本质、掌握方法的核心，显著提高学生运用知识解决复杂问题的能力。本文将以几个计算方阵的幂、方阵的多项式的题目为例，分析解题方法，介绍与它们相关的延伸知识.

问题一：已知3维列向量，，且，求。

同類问题参见文献[1]习题二第7题（2）。

解析：为找到合理的计算方法，不妨先尝试计算，和。我们有

因为矩阵乘法满足结合律，所以可以将以上三式分别改写为

此时注意到，是一个数，即。于是

根据数学归纳法，不难发现，对于正整数，我们有

上式中令，即可得到问题一的结果。

延伸：问题一并非个例。若阶方阵的秩为1，则必定存在维非零列向量和，使，于是我们可用上述方法，计算方阵的幂函数. 事实上，文献[1]习题三第20题，告诉我们

命题1：行列的矩阵的秩为1的充分必要条件是存在维非零列向量和维非零列向量，使。

命题1又是如下命题的特例。

命题2：行列的矩阵的秩为，则存在行列的列满秩矩阵和行列的行满秩矩阵，使。

在矩阵理论中，这个命题被称为矩阵的满秩分解. 在矩阵论的相关教材中，不难找到命题2的证明，这里不再赘述. 应该强调，矩阵的满秩分解并不唯一。矩阵的满秩分解是一种基本、但重要的矩阵分解方法，在机器识别、模式识别、人工智能等领域有广泛应用。

问题二：已知3阶方阵，求，。

同类题目参见文献[1]习题五第17题、第25题.

解析：直接计算可得，3阶方阵有三个互不相等的特征值，和，所以可断定，方阵可对角化，即存在3阶可逆矩阵，使为对角矩阵。通过计算，我们发现方阵的属于特征值，和的线性无关的特征向量分别是

令，则有，或等价地写为。

于是，对任意正整数，。对于次多项式

有。一般地，对角矩阵的幂、多项式由下式给出

因此，方阵的幂函数、多项式都可以具体算出。

方阵的对角化，尤其是实对称矩阵的对角化，是线性代数课程的重点内容。我们知道，阶方阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。

对于阶实对称矩阵，存在正交矩阵使为对角矩阵。实对称矩阵可通过正交相似变换化为对角矩阵，还被用于化简二次型，即通过正交线性变换将二次型化为标准形。

延伸：除实对称矩阵外，一些特殊矩阵，如实反称矩阵、正交矩阵、埃尔米特矩阵、酉矩阵等，都是可对角化的。接下来，我们简要解释这些事实。

考虑行列的复矩阵，的共轭矩阵为，其中是的复共轭;的共轭转置矩阵为。

定义：若级复矩阵满足，则称是一个埃尔米特矩阵。

定义：若级复矩阵满足，则称为一个酉矩阵。

容易发现，若为酉矩阵，则可逆且。

定义：若级复矩阵满足，则称是一个正规矩阵。

实对称矩阵、实反称矩阵、正交矩阵、埃尔米特矩阵、酉矩阵都是正规矩阵。

引理：对任意级复矩阵，存在级酉矩阵使为上三角矩阵，即

其中。是的特征值。

这个引理被称为Schur引理，是矩阵分解理论中的一个基本引理。对矩阵的阶数做归纳，即可证明此引理。这里不再赘述其证明过程。

引理：上（下）三角形正规矩阵是对角矩（下转第218页）（上接第188页）阵。

基于上述两个引理，可以证明：

命题：若级复矩阵是正规矩阵，则存在级酉矩阵使

其中是的特征值。

问题三：已知4阶方阵，求。

同类问题参见文献[1]习题二第6题（2）。

解析：易知方阵有一个特征值，且属于此特征值的线性无关的特征向量是，故方阵不可对角化. 我们不能用问题二的解法处理这个问题。

注意到，其中。因为单位矩阵与同阶方阵总是可交换的，所以对于正整数，可以用二项展开式将写为

又因为方阵有如下性质，即

所以，当时，

延伸：方阵是4阶Jordan块矩阵。事实上，

定义：形如

的阶方阵称为一个阶Jordan块矩阵. 由Jordan块矩阵组成的分块对角矩阵，如

称为Jordan形矩阵。

阶Jordan块矩阵的多项式的一般公式是：设多项式，则

矩阵理论中的一个重要结果是：任意阶方阵都与一个Jordan形矩阵相似. 若不考虑Jordan形矩阵中Jordan块的排列顺序，则Jordan形矩阵是被方阵唯一决定的，称为方阵的Jordan标准形。

Jordan标准形在矩阵理论中起着十分重要的作用。例如：以Jordan标准形为基础，可以给出方阵的指数函数、正（余）弦函数等矩阵函数的计算公式。感兴趣的读者，可以查阅矩阵分析方面的文献。

*通讯作者：田凯

基金项目：中国矿业大学（北京）教学团队建设项目“《线性代数》教学内容改革和资源建设”，项目编号：J180714。

作者简介：田凯（1982-），男，河北省石家庄市，理学博士，中国矿业大学（北京）理学院，副教授（通讯作者），研究方向为可积系统及其应用;张孟霞（1978-），女，山西省闻喜县，理学博士，中国矿业大学（北京）理学院，副教授，研究方向为可积系统及其应用。

参考文献

[1] 同济大学数学系.工程数学线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 苏育才，姜翠波，张跃辉.矩阵理论[M].北京：科学出版社，2006.

[3] 姜志侠，孟品超，李延忠.矩阵分析[M].北京：清华大学出版社，2015.

[4] 王萼芳，石生明.高等代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

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