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Thomas数组的再发现

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【摘要】本文通过对Chaudhari-Deshpande数组和Thomas数组研究，提出了双色数和完美双色数的概念.

【关键词】Thomas数组;双色数;完美双色数

1996年印度数学家Chaudhari和Deshpande发现了一组具有奇妙特性的连续数956～968（Chaudhari-Deshpande数组），这组数的奇妙性在于：该组数中每个数的平方数，平均分拆成两部分的分段和是一个完全平方数，并且这些完全平方数的算术平方根从43一个不漏地到31也是一组连续数.

如，9562=913936913+936=1849=432.

美国数学家Thomas对此做了进一步研究，发现另一组连续数9859～9900（Thomas数组）具有与Chaudhari-Deshpande数组完全相同的性质.

如，98842=97693456，9769+3456=13225=1152.

现在我们将Chaudhari-Deshpande数组和Thomas数组的平方数的性质一般化，给出双色数的概念.

定义1：如果一个k（k≥2）次方幂数，将其平均分拆成r部分的分段和也是一个k次方幂数，则称其为k阶r元双色数.特别地，当r=k时，称其为k阶纯双色数.

如，121=112，1+2+1=4=22，121是二阶三元双色数;

7396=862，7+3+9+6=25=52，73+96=169=132，7396既是二阶四元双色数，又是二阶纯双色数;

35937=333，3+5+9+3+7=27=33，35937是三阶五元双色数;

357911=713，35+79+11=125=53，357911是三阶纯双色数.

要在n位数中找一个双色数是非常容易的事，因为1+0+…+0=1n，所以10n是一个n阶（n+1）元双色数;或在36后面添加若干个0都可以得到大量的双色数，这些10的倍数的双色数只能算作平凡双色数.现在要问：在任意n位数中都存在非平凡双色数吗？

先看一下能否找到扎堆的双色数.

有趣的是，著名的杨辉三角中就有几个.

不难发现，Chaudhari-Deshpande数组956～968和Thomas数组9859～9900的平方数都是二阶双色数.事实上，可找到批量“生产”偶数阶双色数的方法：n取足够大的正整数，S在kk2×10n≤S

一、四阶双色数

n取不小于4的正整数，S在42×10n与43×10n之间取整数值，则（10n-S）4是四阶双色数.

继续对n取值，可得到更多的四阶双色数.

二、六阶雙色数

n取不小于8的正整数，S在63×10n与64×10n之间取整数值，则（10n-S）6是六阶双色数.

n=9，S=39，38.9999999616，9999999626都是六阶纯双色数，请读者自己验证.

同样，继续对n取值，可得到更多的六阶双色数.

要得到高于六阶的偶数阶双色数，可将n取得足够大，参照上述方法如法炮制.

下面我们再讨论一类特殊的双色数.

如，7396=862，7396所有可能的平均分拆方法只有两种，且每种分拆的分段和都是完全平方数.

再看Thomas数组9859～9900中连续的两个数9884、9885的平方数：

97693456、97713225所有可能的平均分拆方法只有三种，且每种分拆的分段和都是完全平方数.

另外，99912029035741034256=999784，这个20位数的所有平均分拆方法只有5种：分成20段、10段、5段、4段、2段.而

不难发现20段、10段、5段、4段的分段和都是完全平方数，再看2段之和：

9991202903+5741034256=15732237159不是一个完全平方数，有点美中不足，可惜！

下面给出完美双色数的概念：

定义2：一个n位（n为合数）k阶非平凡双色数所有平均分拆的分段和都是k次方幂数，称这个数为完美双色数.

令人惊奇的是Thomas数组9859～9900中连续的两个数9884、9885的平方数都是完美双色数.且三种不同平均分拆的分段和的平方根也是连续数，分别是114、115;15、16;6、7.

笔者目前找到的最小的完美双色数是1521.万以内的完美双色数一共有多少个？是否存在奇数阶的完美双色数？请读者思考.

关于双色数，笔者提出以下问题，供读者思考：

（1）证明或否定任意位数中都存在非平凡双色数;

（2）证明或否定完美双色数有无穷多个;

（3）证明或否定存在任意阶的非平凡双色数.

【参考文献】

[1]俞润汝.Chaudhari-Deshpande数组的广义解[J].数学通报，2006（2）：53-54.

[2]郑成生.双色完全平方数的构造[J].中学数学月刊，1997（9）：39-40.

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