颜志华 【摘 要】在有关排列组合的计数问题中，很多时候很容易用列举的方法得出结果，但要形成一般性的结论却很困难。计数问题与其他知识经常结合在一起，解法灵活多变。用递归数列解决计数问题，把计数的结果看成数列中的项，有时会使计数问题变得简单，从本质上把握问题。 【关键词】计数；数列 【中图分类号】G620 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）31-0078-01 在排列组合的内容中，经常会碰到这样类型的练习题： 甲、乙、丙三位同学围成一圈在踢毽子，从甲开始踢，每人在踢一次毽子后都必须把毽子随意转踢给其他人，经过四次转踢之后毽子又回到甲的脚下，问一共有多少种转踢方法？ 分析：由于踢毽子的人数比较少，踢的次数也只有四次，可以用枚举的方法把所有可能的转踢方式列举出来。为了方便列举，用A、B、C分别表示甲、乙、丙三位同学。 从上面的树状图可以看出，满足题意的转踢方式共有6种：A→B→A→B→A，A→B→A→C→A， A→B→C→B→A， A→C→A→B→A， A→C→A→C→A， A→C→B→C→A。 問题：若所有的转踢方法很多时，用列举的方法显然比较麻烦，那是否有更好的办法呢？或者能以公式的形式给出呢？ 变化一：对踢毽子的次数进行变动。 甲、乙、丙三位同学围成一圈在踢毽子，从甲开始踢，每人在踢一次毽子后都必须把毽子随意转踢给其他人，经过n次转踢之后毽子又回到甲的脚下，问一共有多少种转踢方法？（用n表示） 在高中在知识体系中，有关计数的排列组合问题是比较难的。计数问题与其他知识经常结合在一起，解法灵活多变，让许多学生感到无从下手。在这里，通过数列来解决计数问题，从不同的角度来探究，既展现了数学知识之间的相互联系、渗透的特点，也增强了数学的趣味性。 |